Номер 1, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sin150^\circ \cos135^\circ \operatorname{tg}120^\circ; $

2) $ \operatorname{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \operatorname{tg}179^\circ. $

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $ \frac{\cos11^\circ}{\cos169^\circ} - \frac{\sin112^\circ}{\sin68^\circ}; $

2) $ \frac{\operatorname{tg}133^\circ}{\operatorname{tg}47^\circ} - \frac{\operatorname{ctg}152^\circ}{\operatorname{ctg}28^\circ}. $

3. Найдите:

1) $ \operatorname{tg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{1}{7}; $

2) $ \cos\alpha $, если $ \sin\alpha = \frac{3}{8}. $

1. Найдите значение выражения:

1) Для нахождения значения выражения $sin150° \cdot cos135° \cdot tg120°$ воспользуемся формулами приведения, чтобы привести углы к первой четверти:
$sin150° = sin(180° - 30°) = sin30° = \frac{1}{2}$
$cos135° = cos(180° - 45°) = -cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$tg120° = tg(180° - 60°) = -tg60° = -\sqrt{3}$
Теперь перемножим полученные значения:
$sin150° \cdot cos135° \cdot tg120° = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

2) Для нахождения значения выражения $ctg^2 150° - 2sin^2 135° + 6sin0° \cdot tg179°$ найдем значение каждого слагаемого:
$ctg150° = ctg(180° - 30°) = -ctg30° = -\sqrt{3}$, следовательно, $ctg^2 150° = (-\sqrt{3})^2 = 3$.
$sin135° = sin(180° - 45°) = sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $2sin^2 135° = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$.
$sin0° = 0$, следовательно, $6sin0° \cdot tg179° = 6 \cdot 0 \cdot tg179° = 0$.
Подставим значения в исходное выражение:
$3 - 1 + 0 = 2$.
Ответ: $2$.

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) Упростим выражение $\frac{cos11°}{cos169°} - \frac{sin112°}{sin68°}$ с помощью формул приведения:
Для первой дроби: $cos169° = cos(180° - 11°) = -cos11°$.
Для второй дроби: $sin112° = sin(180° - 68°) = sin68°$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{cos11°}{-cos11°} - \frac{sin68°}{sin68°} = -1 - 1 = -2$.
Ответ: $-2$.

2) Упростим выражение $\frac{tg133°}{tg47°} - \frac{ctg152°}{ctg28°}$ с помощью формул приведения:
Для первой дроби: $tg133° = tg(180° - 47°) = -tg47°$.
Для второй дроби: $ctg152° = ctg(180° - 28°) = -ctg28°$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{-tg47°}{tg47°} - \frac{-ctg28°}{ctg28°} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.
Ответ: $0$.

3. Найдите:

1) Чтобы найти $tg \alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{7}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0°$ до $180°$, а его косинус положителен ($cos \alpha > 0$), угол $\alpha$ принадлежит первой четверти ($0° < \alpha < 90°$). В первой четверти синус и тангенс также положительны.
Найдем синус угла $\alpha$:
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$.
$sin \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.
Теперь найдем тангенс по формуле $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$:
$tg \alpha = \frac{4\sqrt{3}/7}{1/7} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$.

2) Чтобы найти $cos \alpha$, если $sin \alpha = \frac{3}{8}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0°$ до $180°$, а его синус положителен ($sin \alpha > 0$), угол $\alpha$ может принадлежать как первой ($0° < \alpha < 90°$), так и второй ($90° < \alpha < 180°$) четверти. В первом случае косинус будет положительным, а во втором — отрицательным. Поэтому задача имеет два возможных решения.
Найдем квадрат косинуса:
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64 - 9}{64} = \frac{55}{64}$.
Извлечем квадратный корень, учитывая оба возможных знака:
$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{55}{64}} = \pm\frac{\sqrt{55}}{8}$.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{55}}{8}$.