Номер 24, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Прямая призма. Пирамида

1. Каждое ребро прямой четырёхугольной призмы равно 8 см, а один из углов основания — $120^\circ$. Найдите площадь поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6 см.

3. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 5 см, диаметр вписанной окружности — 3 см, а боковое ребро призмы равно 6 см. Найдите объём призмы.

1. Дано: прямая четырёхугольная призма, у которой все рёбра равны 8 см. Так как все стороны основания равны, основанием является ромб. Один из углов основания равен 120°. Высота призмы $H$ равна длине бокового ребра, то есть $H = 8$ см.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Сначала найдём площадь основания. Основание — это ромб со стороной $a = 8$ см и углом $\alpha = 120°$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$.

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(120°) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

Далее найдём площадь боковой поверхности. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Периметр основания (ромба) $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Высота призмы $H = 8$ см.

$S_{бок} = 32 \cdot 8 = 256$ см².

Теперь можем найти площадь полной поверхности призмы.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 256 + 2 \cdot 32\sqrt{3} = 256 + 64\sqrt{3}$ см².

Ответ: $(256 + 64\sqrt{3})$ см².

2. Дано: пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник. Гипотенуза треугольника $c = 13$ см, один из катетов $a = 12$ см. Высота пирамиды $H = 6$ см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Для этого нужно найти длину второго катета $b$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$12^2 + b^2 = 13^2$

$144 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 144 = 25$

$b = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, найдём её объём.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$ см³.

Ответ: 60 см³.

3. Дано: прямая призма, в основании которой лежит равнобокая трапеция. Боковая сторона трапеции $c = 5$ см. В трапецию вписана окружность диаметром $d = 3$ см. Боковое ребро (высота) призмы $H = 6$ см.

Объём призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Сначала найдём площадь основания. Основание — равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Таким образом, высота трапеции $h = d = 3$ см.

Свойство описанного четырёхугольника (в который можно вписать окружность) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает: $a + b = c + c = 2c$.

Подставляем известное значение боковой стороны $c = 5$ см:

$a + b = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S_{осн} = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, найдём её объём.

$V = S_{осн} \cdot H = 15 \cdot 6 = 90$ см³.

Ответ: 90 см³.