Номер 22, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 7). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

2. Образом точки $A(a; -2)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ по часовой стрелке является точка $B(b; 3)$. Найдите $a$ и $b$.

3. Даны прямая, окружность и точка $A$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с точкой $A$, а две другие принадлежат данной окружности и данной прямой.

Рис. 7

Для построения образа отрезка $AB$ необходимо построить образы его конечных точек, $A$ и $B$, при заданном повороте. Пусть образами точек $A$ и $B$ будут точки $A'$ и $B'$ соответственно. Тогда отрезок $A'B'$ будет искомым образом отрезка $AB$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Построение образа точки $A$ (точки $A'$):

1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $A$ отрезком $OA$.
2. Построим угол $\angle AOA'$, равный $60^\circ$, откладывая его от луча $OA$ против часовой стрелки. Самый простой способ построить угол $60^\circ$ — это построить равносторонний треугольник $OAA'$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AO$.
   • Точка пересечения этих дуг (в направлении против часовой стрелки от $A$) и будет искомой точкой $A'$.
3. По определению поворота, $OA' = OA$, и угол $\angle AOA' = 60^\circ$. Наше построение это гарантирует.

Построение образа точки $B$ (точки $B'$):

1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $B$ отрезком $OB$.
2. Аналогично построению точки $A'$, построим точку $B'$ так, чтобы треугольник $OBB'$ был равносторонним, и поворот от $OB$ к $OB'$ был против часовой стрелки.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OB$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BO$.
   • Точка пересечения этих дуг (в направлении против часовой стрелки от $B$) и будет искомой точкой $B'$.
3. Угол $\angle BOB'$ будет равен $60^\circ$, и $OB' = OB$.

Завершающий шаг:

1. Соединим полученные точки $A'$ и $B'$ отрезком.

Отрезок $A'B'$ является образом отрезка $AB$ при повороте на $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Ответ: Построение описано выше. Отрезок $A'B'$ является искомым образом.

Поворот точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат $(0; 0)$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке переводит ее в точку с координатами $(y; -x)$.

В нашей задаче исходная точка — это $A(a; -2)$, то есть $x = a$ и $y = -2$.

Применяя правило поворота, мы получаем координаты образа точки $A$:

$(y; -x) = (-2; -a)$

По условию, образом точки $A$ является точка $B(b; 3)$. Следовательно, мы можем приравнять координаты полученного образа и точки $B$:

$(-2; -a) = (b; 3)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} b = -2 \\ 3 = -a \end{cases}$

Из этой системы находим значения $a$ и $b$:

$b = -2$

$a = -3$

Ответ: $a = -3$, $b = -2$.

Пусть данная прямая — $l$, данная окружность — $c$ (с центром $O$ и радиусом $r$), и данная точка — $A$. Искомый треугольник — $ABC$, где $A$ — заданная вершина, $B$ лежит на окружности $c$ ($B \in c$), и $C$ лежит на прямой $l$ ($C \in l$).

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то все его углы равны $60^\circ$. Это означает, что вершина $C$ может быть получена из вершины $B$ поворотом вокруг вершины $A$ на угол $60^\circ$ (или $-60^\circ$).

Рассмотрим поворот $R_{A, 60^\circ}$ вокруг точки $A$ на угол $60^\circ$ (например, против часовой стрелки). При этом повороте точка $B$ переходит в точку $C$: $C = R_{A, 60^\circ}(B)$.

Поскольку точка $B$ принадлежит окружности $c$, ее образ, точка $C$, будет принадлежать образу окружности $c$ при данном повороте. Обозначим образ окружности $c$ как $c'$.

Таким образом, точка $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она принадлежит прямой $l$ (по условию).
2. Она принадлежит окружности $c'$ (как образ точки $B$ с окружности $c$).

Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения прямой $l$ и окружности $c'$. Это дает нам следующий алгоритм построения:

План построения:

1. Построим образ $c'$ окружности $c$ при повороте вокруг точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки. Для этого:
   • Находим центр $O$ данной окружности $c$.
   • Строим точку $O'$ — образ точки $O$ при повороте вокруг $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки (аналогично задаче 1, построив равносторонний треугольник $AOO'$).
   • Строим окружность $c'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$, что и у окружности $c$.
2. Находим точки пересечения построенной окружности $c'$ и данной прямой $l$. Если точки пересечения существуют, обозначим одну из них как $C$. (Может быть 0, 1 или 2 решения).
3. Теперь, когда у нас есть вершина $C$, найдем вершину $B$. Так как $C$ — это образ $B$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки, то $B$ — это образ $C$ при обратном повороте, то есть на $60^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $A$.
4. Строим точку $B$ поворотом точки $C$ вокруг $A$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. По построению, точка $B$ будет лежать на исходной окружности $c$.
5. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый, так как $A$ — данная точка, $C \in l$, $B \in c$ и по построению он является равносторонним.

Примечание: Аналогичное построение можно выполнить, используя поворот на $60^\circ$ по часовой стрелке. Это может дать другие решения.

Ответ: Построение описано выше. Искомый треугольник $ABC$ имеет вершины: данную точку $A$, точку $C$ на пересечении прямой $l$ и образа окружности $c'$, и точку $B$, полученную обратным поворотом точки $C$.