Номер 19, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $F (-6; 4)$ будет точка $K (3; -2)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $F$.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $3x - 4y = 5$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку $K (3; -2)$.

3. Даны две прямые и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали двум данным прямым.

1.

Параллельный перенос, переводящий точку с координатами $(x, y)$ в точку $(x', y')$ на вектор $\vec{v} = (a, b)$, задается формулами $x' = x + a$, $y' = y + b$. Координаты вектора переноса можно найти, вычитая из координат конечной точки координаты начальной точки.

Найдем вектор $\vec{v_1}$, при параллельном переносе на который точка $F(-6; 4)$ переходит в точку $K(3; -2)$.
Координаты вектора $\vec{v_1}$ равны разности координат точек $K$ и $F$:
$\vec{v_1} = (3 - (-6); -2 - 4) = (9; -6)$.

Теперь найдем вектор $\vec{v_2}$, при параллельном переносе на который точка $K(3; -2)$ переходит в точку $F(-6; 4)$.
Координаты вектора $\vec{v_2}$ равны разности координат точек $F$ и $K$:
$\vec{v_2} = (-6 - 3; 4 - (-2)) = (-9; 6)$.

Заметим, что $\vec{v_2} = -\vec{v_1}$, так как это два взаимно обратных переноса.

Ответ: Вектор для переноса $F \rightarrow K$ равен $(9; -6)$, а для переноса $K \rightarrow F$ равен $(-9; 6)$.

2.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной прямой $Ax + By = C$, имеет вид $Ax + By = C'$, где $C'$ — некоторая константа.

Исходная прямая задана уравнением $3x - 4y = 5$. Следовательно, уравнение полученной после переноса прямой будет иметь вид $3x - 4y = C'$ для некоторого $C'$.

По условию, полученная прямая проходит через точку $K(3; -2)$. Чтобы найти значение $C'$, подставим координаты этой точки в уравнение прямой:

$3 \cdot (3) - 4 \cdot (-2) = C'$
$9 - (-8) = C'$
$9 + 8 = C'$
$C' = 17$

Таким образом, уравнение полученной прямой: $3x - 4y = 17$.

Ответ: $3x - 4y = 17$.

3.

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$ и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $CD$, равный и параллельный $AB$, концы которого лежат на данных прямых ($C$ на $l_1$, $D$ на $l_2$). Равенство и параллельность отрезков $CD$ и $AB$ означает, что один можно получить из другого параллельным переносом на вектор $\vec{AB}$ или $\vec{BA}$.

Алгоритм построения искомого отрезка:

1. Выполним параллельный перенос одной из прямых, например $l_2$, на вектор $\vec{v} = \vec{BA}$. Для этого выберем на прямой $l_2$ произвольную точку $P$, отложим от нее вектор $\vec{PP'} = \vec{BA}$ и через точку $P'$ проведем прямую $l_2'$, параллельную $l_2$.
2. Найдем точку пересечения прямой $l_1$ и построенной прямой $l_2'$. Обозначим эту точку буквой $C$. Эта точка будет одним из концов искомого отрезка, и по построению она лежит на прямой $l_1$. (Если $l_1$ и $l_2'$ параллельны, то задача либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений).
3. Теперь найдем второй конец отрезка — точку $D$. Так как точка $C$ лежит на $l_2'$ (образе $l_2$), то ее прообраз при данном переносе будет лежать на прямой $l_2$. Чтобы найти этот прообраз, нужно выполнить перенос точки $C$ на вектор, противоположный вектору переноса $\vec{BA}$, то есть на вектор $\vec{AB}$. Построим точку $D$ такую, что $\vec{CD} = \vec{AB}$.
4. Отрезок $CD$ является искомым. Его конец $C$ лежит на прямой $l_1$, конец $D$ — на прямой $l_2$, и по построению он равен и параллелен отрезку $AB$.

Примечание: в общем случае существует второе решение, которое можно получить, если на первом шаге выполнить перенос на вектор $\vec{AB}$ вместо $\vec{BA}$.

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью параллельного переноса одной из данных прямых на вектор, заданный отрезком $AB$. Точка пересечения перенесенной прямой с другой данной прямой будет одним концом искомого отрезка.