Номер 14, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. Точка K $(-8; 3)$ — конец вектора $\vec{a}$ $(6; -9)$. Найдите координаты начала вектора $\vec{a}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A $(4; -5)$, B $(2; 3)$, D $(-3; -4)$. Используя векторы, найдите координаты вершины C.

3. Точки A $(3; -3)$ и B $(3; 12)$ — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 17. Найдите координаты вершин B и C.

1. Пусть начало вектора $\vec{a}$ — точка $M(x_m; y_m)$, а конец — точка $K(-8; 3)$. Координаты вектора, соединяющего две точки, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: $\vec{a} = \{x_k - x_m; y_k - y_m\}$.
Нам даны координаты вектора $\vec{a}(6; -9)$ и координаты его конечной точки $K(-8; 3)$. Подставим известные значения в формулу:
$6 = -8 - x_m$
$-9 = 3 - y_m$
Теперь решим эти два уравнения, чтобы найти координаты начала вектора $M(x_m; y_m)$.
Из первого уравнения: $x_m = -8 - 6 = -14$.
Из второго уравнения: $y_m = 3 - (-9) = 3 + 9 = 12$.
Таким образом, координаты начала вектора $\vec{a}$ — это точка $M(-14; 12)$.
Ответ: $(-14; 12)$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, что означает равенство векторов, представляющих эти стороны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Даны координаты вершин: $A(4; -5)$, $B(2; 3)$, $D(-3; -4)$. Обозначим искомую вершину как $C(x; y)$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = \{x_d - x_a; y_d - y_a\} = \{-3 - 4; -4 - (-5)\} = \{-7; 1\}$.
Теперь выразим координаты вектора $\vec{BC}$ через неизвестные координаты точки $C(x; y)$:
$\vec{BC} = \{x_c - x_b; y_c - y_b\} = \{x - 2; y - 3\}$.
Поскольку $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Приравняем их:
$x - 2 = -7$
$y - 3 = 1$
Решим уравнения:
$x = -7 + 2 = -5$
$y = 1 + 3 = 4$
Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4)$.
Ответ: $C(-5; 4)$.

3. Даны координаты двух вершин прямоугольника: $A(3; -3)$ и $B(3; 12)$. Так как у этих точек одинаковая координата $x=3$, то сторона $AB$ является вертикальным отрезком, параллельным оси $Oy$.
В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Значит, сторона $BC$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$, то есть должна быть горизонтальным отрезком, параллельным оси $Ox$. Это означает, что у точек $B$ и $C$ одинаковая координата $y$.
Пусть координаты вершины $C$ равны $(x; y)$. Поскольку $y_c = y_b$, то $y=12$. Таким образом, $C(x; 12)$.
По условию, модуль (длина) вектора $\vec{AC}$ равен 17. Найдем координаты этого вектора:
$\vec{AC} = \{x_c - x_a; y_c - y_a\} = \{x - 3; 12 - (-3)\} = \{x - 3; 15\}$.
Модуль вектора вычисляется по формуле $|\vec{AC}| = \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2}$. Составим уравнение:
$|\vec{AC}| = \sqrt{(x - 3)^2 + 15^2} = 17$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(x - 3)^2 + 15^2 = 17^2$
$(x - 3)^2 + 225 = 289$
$(x - 3)^2 = 289 - 225$
$(x - 3)^2 = 64$
Из этого уравнения получаем два возможных решения для $x-3$:
1) $x - 3 = 8 \implies x = 11$
2) $x - 3 = -8 \implies x = -5$
Таким образом, для вершины $C$ есть два возможных варианта координат: $(11; 12)$ или $(-5; 12)$.
В задаче требуется найти координаты вершин $B$ и $C$. Координаты вершины $B$ даны в условии: $B(3; 12)$.
Ответ: $B(3; 12)$ и $C(11; 12)$ или $B(3; 12)$ и $C(-5; 12)$.