Номер 21, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $A(5; y)$ и $B(x; -7)$ симметричны относительно точки $P(3; -8)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x - 4y = 9$ относительно точки $M(-1; -2)$.

3. Даны угол, окружность и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной окружности, а другой — стороне данного угла.

1.

Поскольку точки $A(5; y)$ и $B(x; -7)$ симметричны относительно точки $P(3; -8)$, точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.

Формула для координат середины отрезка $P(x_P; y_P)$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ выглядит так:

$x_P = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_P = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные координаты точек $A$, $B$ и $P$ в эти формулы для нахождения $x$ и $y$.

Для координаты $x$:

$3 = \frac{5 + x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$6 = 5 + x$

$x = 6 - 5 = 1$

Для координаты $y$:

$-8 = \frac{y + (-7)}{2}$

Умножим обе части на 2:

$-16 = y - 7$

$y = -16 + 7 = -9$

Ответ: $x = 1$, $y = -9$.

2.

Прямая, симметричная данной прямой относительно точки, параллельна исходной прямой. Уравнение прямой, параллельной прямой $3x - 4y = 9$, имеет вид $3x - 4y = C$, где $C$ — некоторая константа.

Чтобы найти значение $C$, найдем координаты одной точки на искомой прямой. Для этого выберем произвольную точку на исходной прямой $3x - 4y = 9$ и найдем точку, симметричную ей относительно точки $M(-1; -2)$.

1. Возьмем точку $K$ на прямой $3x - 4y = 9$. Пусть $x = 3$. Тогда $3 \cdot 3 - 4y = 9 \Rightarrow 9 - 4y = 9 \Rightarrow -4y = 0 \Rightarrow y = 0$. Таким образом, точка $K$ имеет координаты $(3; 0)$.

2. Найдем координаты точки $K'(x'; y')$, симметричной точке $K(3; 0)$ относительно точки $M(-1; -2)$. Точка $M$ является серединой отрезка $KK'$.

$x_M = \frac{x_K + x'}{2} \Rightarrow -1 = \frac{3 + x'}{2} \Rightarrow -2 = 3 + x' \Rightarrow x' = -5$.

$y_M = \frac{y_K + y'}{2} \Rightarrow -2 = \frac{0 + y'}{2} \Rightarrow -4 = 0 + y' \Rightarrow y' = -4$.

Точка $K'$ имеет координаты $(-5; -4)$. Эта точка лежит на искомой прямой.

3. Подставим координаты точки $K'(-5; -4)$ в уравнение искомой прямой $3x - 4y = C$:

$3(-5) - 4(-4) = C$

$-15 + 16 = C$

$C = 1$

Следовательно, уравнение искомой прямой $3x - 4y = 1$.

Ответ: $3x - 4y = 1$.

3.

Пусть дан угол со сторонами $l_1$ и $l_2$, окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и точка $P$. Требуется построить отрезок $AB$ с серединой в точке $P$ такой, что один его конец (например, $A$) лежит на одной из сторон угла (например, на $l_1$), а другой конец ($B$) — на окружности $\omega$.

Анализ и план построения:

1. Поскольку точка $P$ — середина отрезка $AB$, то точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $P$.

2. Точка $B$ по условию лежит на окружности $\omega$. Это означает, что симметричная ей точка $A$ должна лежать на фигуре, симметричной окружности $\omega$ относительно точки $P$. Такой фигурой является окружность $\omega'$.

3. Окружность $\omega'$, симметричная окружности $\omega$, имеет тот же радиус, а ее центр $O'$ симметричен центру $O$ исходной окружности относительно точки $P$.

4. По условию точка $A$ также должна лежать на стороне угла, например, на прямой $l_1$.

5. Таким образом, точка $A$ является точкой пересечения построенной окружности $\omega'$ и прямой $l_1$.

Алгоритм построения:

1. Строим точку $O'$, симметричную центру $O$ данной окружности $\omega$ относительно точки $P$. Для этого проводим луч $OP$ и откладываем на нем от точки $P$ отрезок $PO'$, равный $PO$.

2. Строим окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и радиусом, равным радиусу данной окружности $\omega$.

3. Находим точку (или точки) пересечения окружности $\omega'$ с одной из сторон угла, например, со стороной $l_1$. Обозначим одну из таких точек как $A$.

4. Строим точку $B$, симметричную точке $A$ относительно точки $P$. Для этого проводим луч $AP$ и откладываем на нем от точки $P$ отрезок $PB$, равный $AP$. По построению точка $B$ будет лежать на исходной окружности $\omega$.

5. Отрезок $AB$ является искомым.

Примечание: В зависимости от взаимного расположения фигур задача может иметь от 0 до 4 решений (поскольку у угла две стороны, и каждая может пересекать симметричную окружность в 0, 1 или 2 точках).

Ответ: План построения описан выше. Он состоит в построении окружности, симметричной данной окружности относительно данной точки, нахождении ее точки пересечения со стороной угла, что дает один конец отрезка, и последующем нахождении второго конца отрезка как симметричной точки относительно данной.