Страница 21 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $F (-6; 4)$ будет точка $K (3; -2)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $F$.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $3x - 4y = 5$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку $K (3; -2)$.

3. Даны две прямые и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали двум данным прямым.

1.

Параллельный перенос, переводящий точку с координатами $(x, y)$ в точку $(x', y')$ на вектор $\vec{v} = (a, b)$, задается формулами $x' = x + a$, $y' = y + b$. Координаты вектора переноса можно найти, вычитая из координат конечной точки координаты начальной точки.

Найдем вектор $\vec{v_1}$, при параллельном переносе на который точка $F(-6; 4)$ переходит в точку $K(3; -2)$.
Координаты вектора $\vec{v_1}$ равны разности координат точек $K$ и $F$:
$\vec{v_1} = (3 - (-6); -2 - 4) = (9; -6)$.

Теперь найдем вектор $\vec{v_2}$, при параллельном переносе на который точка $K(3; -2)$ переходит в точку $F(-6; 4)$.
Координаты вектора $\vec{v_2}$ равны разности координат точек $F$ и $K$:
$\vec{v_2} = (-6 - 3; 4 - (-2)) = (-9; 6)$.

Заметим, что $\vec{v_2} = -\vec{v_1}$, так как это два взаимно обратных переноса.

Ответ: Вектор для переноса $F \rightarrow K$ равен $(9; -6)$, а для переноса $K \rightarrow F$ равен $(-9; 6)$.

2.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной прямой $Ax + By = C$, имеет вид $Ax + By = C'$, где $C'$ — некоторая константа.

Исходная прямая задана уравнением $3x - 4y = 5$. Следовательно, уравнение полученной после переноса прямой будет иметь вид $3x - 4y = C'$ для некоторого $C'$.

По условию, полученная прямая проходит через точку $K(3; -2)$. Чтобы найти значение $C'$, подставим координаты этой точки в уравнение прямой:

$3 \cdot (3) - 4 \cdot (-2) = C'$
$9 - (-8) = C'$
$9 + 8 = C'$
$C' = 17$

Таким образом, уравнение полученной прямой: $3x - 4y = 17$.

Ответ: $3x - 4y = 17$.

3.

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$ и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $CD$, равный и параллельный $AB$, концы которого лежат на данных прямых ($C$ на $l_1$, $D$ на $l_2$). Равенство и параллельность отрезков $CD$ и $AB$ означает, что один можно получить из другого параллельным переносом на вектор $\vec{AB}$ или $\vec{BA}$.

Алгоритм построения искомого отрезка:

1. Выполним параллельный перенос одной из прямых, например $l_2$, на вектор $\vec{v} = \vec{BA}$. Для этого выберем на прямой $l_2$ произвольную точку $P$, отложим от нее вектор $\vec{PP'} = \vec{BA}$ и через точку $P'$ проведем прямую $l_2'$, параллельную $l_2$.
2. Найдем точку пересечения прямой $l_1$ и построенной прямой $l_2'$. Обозначим эту точку буквой $C$. Эта точка будет одним из концов искомого отрезка, и по построению она лежит на прямой $l_1$. (Если $l_1$ и $l_2'$ параллельны, то задача либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений).
3. Теперь найдем второй конец отрезка — точку $D$. Так как точка $C$ лежит на $l_2'$ (образе $l_2$), то ее прообраз при данном переносе будет лежать на прямой $l_2$. Чтобы найти этот прообраз, нужно выполнить перенос точки $C$ на вектор, противоположный вектору переноса $\vec{BA}$, то есть на вектор $\vec{AB}$. Построим точку $D$ такую, что $\vec{CD} = \vec{AB}$.
4. Отрезок $CD$ является искомым. Его конец $C$ лежит на прямой $l_1$, конец $D$ — на прямой $l_2$, и по построению он равен и параллелен отрезку $AB$.

Примечание: в общем случае существует второе решение, которое можно получить, если на первом шаге выполнить перенос на вектор $\vec{AB}$ вместо $\vec{BA}$.

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью параллельного переноса одной из данных прямых на вектор, заданный отрезком $AB$. Точка пересечения перенесенной прямой с другой данной прямой будет одним концом искомого отрезка.

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-3; 5)$.

3. Даны точки $C (2; 4)$ и $D (-1; 1)$. Точка $X$ принадлежит оси абсцисс. Найдите наименьшее значение выражения $CX + DX$.

1. Прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$ в двух случаях:

• Прямая $m$ совпадает с прямой $AB$.
• Прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$.

В первом случае при симметричном отображении каждая точка прямой $AB$ переходит в саму себя. Во втором случае любая точка прямой $AB$ отображается в другую точку, также принадлежащую прямой $AB$, так что вся прямая $AB$ отображается на себя.

Ответ: Прямая $m$ совпадает с прямой $AB$ или перпендикулярна ей.

2. Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, его вершины также лежат на осях и симметричны относительно начала координат. Пусть координаты вершин ромба: $(a, 0)$, $(-a, 0)$, $(0, b)$ и $(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Найдем координаты середин сторон этого ромба. Возьмем, к примеру, сторону, соединяющую вершины $(a, 0)$ и $(0, b)$. Координаты ее середины вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$

$y_M = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$

В зависимости от того, в какой координатной четверти находится сторона, координаты ее середины будут $(\pm\frac{a}{2}, \pm\frac{b}{2})$.

По условию, середина одной из сторон имеет координаты $(-3; 5)$. Эта точка лежит во второй координатной четверти, где $x < 0$ и $y > 0$. Следовательно, для этой середины выполняются равенства:

$-\frac{a}{2} = -3$

$\frac{b}{2} = 5$

Решая эти уравнения, находим $a$ и $b$:

$a = 6$

$b = 10$

Таким образом, вершины ромба имеют следующие координаты: $(6, 0)$, $(-6, 0)$, $(0, 10)$ и $(0, -10)$.

Ответ: Координаты вершин ромба: $(6; 0)$, $(-6; 0)$, $(0; 10)$, $(0; -10)$.

3. Требуется найти наименьшее значение суммы расстояний $CX + DX$, где $C(2; 4)$, $D(-1; 1)$, а точка $X$ принадлежит оси абсцисс (оси $Ox$).

Точки $C$ и $D$ находятся по одну сторону от оси абсцисс, так как их ординаты (4 и 1) одного знака (положительные). Для нахождения наименьшего значения суммы расстояний применим метод осевой симметрии.

Отразим симметрично одну из точек, например $D$, относительно оси абсцисс. Получим точку $D'$. Если координаты точки $D$ были $(-1; 1)$, то координаты ее образа $D'$ будут $(-1; -1)$.

Для любой точки $X$ на оси абсцисс расстояние до точки $D$ равно расстоянию до точки $D'$ ($DX = D'X$), поскольку ось $Ox$ является серединным перпендикуляром к отрезку $DD'$.

Таким образом, сумма расстояний $CX + DX$ равна сумме $CX + D'X$.

Наименьшее значение суммы $CX + D'X$ достигается тогда, когда точки $C$, $X$ и $D'$ лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника, $CX + D'X \ge CD'$). Это наименьшее значение равно длине отрезка $CD'$.

Найдем расстояние между точками $C(2; 4)$ и $D'(-1; -1)$ по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$CD' = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно $\sqrt{34}$.

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $A(5; y)$ и $B(x; -7)$ симметричны относительно точки $P(3; -8)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x - 4y = 9$ относительно точки $M(-1; -2)$.

3. Даны угол, окружность и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной окружности, а другой — стороне данного угла.

1.

Поскольку точки $A(5; y)$ и $B(x; -7)$ симметричны относительно точки $P(3; -8)$, точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.

Формула для координат середины отрезка $P(x_P; y_P)$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ выглядит так:

$x_P = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_P = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные координаты точек $A$, $B$ и $P$ в эти формулы для нахождения $x$ и $y$.

Для координаты $x$:

$3 = \frac{5 + x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$6 = 5 + x$

$x = 6 - 5 = 1$

Для координаты $y$:

$-8 = \frac{y + (-7)}{2}$

Умножим обе части на 2:

$-16 = y - 7$

$y = -16 + 7 = -9$

Ответ: $x = 1$, $y = -9$.

2.

Прямая, симметричная данной прямой относительно точки, параллельна исходной прямой. Уравнение прямой, параллельной прямой $3x - 4y = 9$, имеет вид $3x - 4y = C$, где $C$ — некоторая константа.

Чтобы найти значение $C$, найдем координаты одной точки на искомой прямой. Для этого выберем произвольную точку на исходной прямой $3x - 4y = 9$ и найдем точку, симметричную ей относительно точки $M(-1; -2)$.

1. Возьмем точку $K$ на прямой $3x - 4y = 9$. Пусть $x = 3$. Тогда $3 \cdot 3 - 4y = 9 \Rightarrow 9 - 4y = 9 \Rightarrow -4y = 0 \Rightarrow y = 0$. Таким образом, точка $K$ имеет координаты $(3; 0)$.

2. Найдем координаты точки $K'(x'; y')$, симметричной точке $K(3; 0)$ относительно точки $M(-1; -2)$. Точка $M$ является серединой отрезка $KK'$.

$x_M = \frac{x_K + x'}{2} \Rightarrow -1 = \frac{3 + x'}{2} \Rightarrow -2 = 3 + x' \Rightarrow x' = -5$.

$y_M = \frac{y_K + y'}{2} \Rightarrow -2 = \frac{0 + y'}{2} \Rightarrow -4 = 0 + y' \Rightarrow y' = -4$.

Точка $K'$ имеет координаты $(-5; -4)$. Эта точка лежит на искомой прямой.

3. Подставим координаты точки $K'(-5; -4)$ в уравнение искомой прямой $3x - 4y = C$:

$3(-5) - 4(-4) = C$

$-15 + 16 = C$

$C = 1$

Следовательно, уравнение искомой прямой $3x - 4y = 1$.

Ответ: $3x - 4y = 1$.

3.

Пусть дан угол со сторонами $l_1$ и $l_2$, окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и точка $P$. Требуется построить отрезок $AB$ с серединой в точке $P$ такой, что один его конец (например, $A$) лежит на одной из сторон угла (например, на $l_1$), а другой конец ($B$) — на окружности $\omega$.

Анализ и план построения:

1. Поскольку точка $P$ — середина отрезка $AB$, то точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $P$.

2. Точка $B$ по условию лежит на окружности $\omega$. Это означает, что симметричная ей точка $A$ должна лежать на фигуре, симметричной окружности $\omega$ относительно точки $P$. Такой фигурой является окружность $\omega'$.

3. Окружность $\omega'$, симметричная окружности $\omega$, имеет тот же радиус, а ее центр $O'$ симметричен центру $O$ исходной окружности относительно точки $P$.

4. По условию точка $A$ также должна лежать на стороне угла, например, на прямой $l_1$.

5. Таким образом, точка $A$ является точкой пересечения построенной окружности $\omega'$ и прямой $l_1$.

Алгоритм построения:

1. Строим точку $O'$, симметричную центру $O$ данной окружности $\omega$ относительно точки $P$. Для этого проводим луч $OP$ и откладываем на нем от точки $P$ отрезок $PO'$, равный $PO$.

2. Строим окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и радиусом, равным радиусу данной окружности $\omega$.

3. Находим точку (или точки) пересечения окружности $\omega'$ с одной из сторон угла, например, со стороной $l_1$. Обозначим одну из таких точек как $A$.

4. Строим точку $B$, симметричную точке $A$ относительно точки $P$. Для этого проводим луч $AP$ и откладываем на нем от точки $P$ отрезок $PB$, равный $AP$. По построению точка $B$ будет лежать на исходной окружности $\omega$.

5. Отрезок $AB$ является искомым.

Примечание: В зависимости от взаимного расположения фигур задача может иметь от 0 до 4 решений (поскольку у угла две стороны, и каждая может пересекать симметричную окружность в 0, 1 или 2 точках).

Ответ: План построения описан выше. Он состоит в построении окружности, симметричной данной окружности относительно данной точки, нахождении ее точки пересечения со стороной угла, что дает один конец отрезка, и последующем нахождении второго конца отрезка как симметричной точки относительно данной.