Страница 25 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Решение треугольников

1. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $AC = 16$ см;

2) $AB = 14$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 25^\circ$.

2. Диагональ равнобокой трапеции ABCD ($BC \parallel AD$) равна 6 см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$. Найдите стороны трапеции.

3. Меньшая сторона треугольника равна 7 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как 9 : 10 : 11. Найдите неизвестные стороны треугольника.

1)

Даны три стороны треугольника $ABC$: $c = AB = 7$ см, $a = BC = 11$ см, $b = AC = 16$ см. Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов.

Найдем угол $A$ по формуле: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\angle A)$.
$\cos(\angle A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{16^2 + 7^2 - 11^2}{2 \cdot 16 \cdot 7} = \frac{256 + 49 - 121}{224} = \frac{184}{224} \approx 0.8214$
$\angle A = \arccos(0.8214) \approx 34.77^\circ$.

Найдем угол $B$ по формуле: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\angle B)$.
$\cos(\angle B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{11^2 + 7^2 - 16^2}{2 \cdot 11 \cdot 7} = \frac{121 + 49 - 256}{154} = \frac{-86}{154} \approx -0.5584$
$\angle B = \arccos(-0.5584) \approx 123.96^\circ$.

Третий угол $C$ найдем из свойства суммы углов треугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 34.77^\circ - 123.96^\circ = 21.27^\circ$.

Ответ: $\angle A \approx 34.77^\circ$, $\angle B \approx 123.96^\circ$, $\angle C \approx 21.27^\circ$.

2)

Даны две стороны и угол, не лежащий между ними: $c = AB = 14$ см, $a = BC = 9$ см, $\angle A = 25^\circ$. Воспользуемся теоремой синусов.

$\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$
$\sin(\angle C) = \frac{c \cdot \sin(\angle A)}{a} = \frac{14 \cdot \sin(25^\circ)}{9} \approx \frac{14 \cdot 0.4226}{9} \approx 0.6574$.

Так как $\sin(\angle C) < 1$, задача может иметь два решения. Найдем два возможных угла $C$:
1. $\angle C_1 = \arcsin(0.6574) \approx 41.1^\circ$.
2. $\angle C_2 = 180^\circ - \angle C_1 \approx 180^\circ - 41.1^\circ = 138.9^\circ$.

Проверим оба случая.
Случай 1: $\angle C_1 \approx 41.1^\circ$.
Тогда $\angle B_1 = 180^\circ - \angle A - \angle C_1 \approx 180^\circ - 25^\circ - 41.1^\circ = 113.9^\circ$.
Найдем сторону $b_1 = AC$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b_1}{\sin(\angle B_1)} \Rightarrow b_1 = \frac{a \cdot \sin(\angle B_1)}{\sin(\angle A)} \approx \frac{9 \cdot \sin(113.9^\circ)}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{9 \cdot 0.9143}{0.4226} \approx 19.45$ см.

Случай 2: $\angle C_2 \approx 138.9^\circ$.
Тогда $\angle B_2 = 180^\circ - \angle A - \angle C_2 \approx 180^\circ - 25^\circ - 138.9^\circ = 16.1^\circ$.
Найдем сторону $b_2 = AC$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b_2}{\sin(\angle B_2)} \Rightarrow b_2 = \frac{a \cdot \sin(\angle B_2)}{\sin(\angle A)} \approx \frac{9 \cdot \sin(16.1^\circ)}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{9 \cdot 0.2773}{0.4226} \approx 5.9$ см.

Ответ: Существует два треугольника, удовлетворяющих условию.
1) $\angle C \approx 41.1^\circ$, $\angle B \approx 113.9^\circ$, $AC \approx 19.45$ см.
2) $\angle C \approx 138.9^\circ$, $\angle B \approx 16.1^\circ$, $AC \approx 5.9$ см.

2.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $AB=CD$). Диагональ $AC = 6$ см. Углы $\angle CAD = 42^\circ$ и $\angle BAD = 74^\circ$.

1. Найдем угол $\angle BAC$: $\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 74^\circ - 42^\circ = 32^\circ$.
2. Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD = 42^\circ$ как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
3. Рассмотрим $\triangle ABC$. Мы знаем два угла: $\angle BAC = 32^\circ$ и $\angle BCA = 42^\circ$. Третий угол $\angle ABC = 180^\circ - (32^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.
4. Используя теорему синусов для $\triangle ABC$, найдем стороны $AB$ и $BC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
$AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle BCA)}{\sin(\angle ABC)} = \frac{6 \cdot \sin(42^\circ)}{\sin(106^\circ)} \approx \frac{6 \cdot 0.6691}{0.9613} \approx 4.18$ см.
$BC = \frac{AC \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)} = \frac{6 \cdot \sin(32^\circ)}{\sin(106^\circ)} \approx \frac{6 \cdot 0.5299}{0.9613} \approx 3.31$ см.
5. Так как трапеция равнобокая, $CD = AB \approx 4.18$ см.
6. Рассмотрим $\triangle ACD$. Мы знаем сторону $AC=6$ и угол $\angle CAD = 42^\circ$. В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 74^\circ$.
7. Найдем третий угол $\triangle ACD$: $\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle CDA = 180^\circ - 42^\circ - 74^\circ = 64^\circ$.
8. Используя теорему синусов для $\triangle ACD$, найдем сторону $AD$:
$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle CDA)}$
$AD = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle CDA)} = \frac{6 \cdot \sin(64^\circ)}{\sin(74^\circ)} \approx \frac{6 \cdot 0.8988}{0.9613} \approx 5.61$ см.

Ответ: $AB = CD \approx 4.18$ см, $BC \approx 3.31$ см, $AD \approx 5.61$ см.

3.

Пусть в треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон в точках $K, L, M$. Эти точки делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся как $9:10:11$.

1. Найдем градусные меры дуг. Сумма дуг составляет $360^\circ$. Пусть одна часть равна $x$.
$9x + 10x + 11x = 360^\circ$
$30x = 360^\circ$
$x = 12^\circ$.
Градусные меры дуг равны: $9 \cdot 12^\circ = 108^\circ$, $10 \cdot 12^\circ = 120^\circ$, $11 \cdot 12^\circ = 132^\circ$.

2. Углы треугольника связаны с градусными мерами дуг вписанной окружности, заключенными между точками касания. Угол треугольника равен $180^\circ$ минус градусная мера дуги, лежащей напротив этого угла.
Пусть $\angle A$ лежит напротив дуги $132^\circ$, $\angle B$ - напротив дуги $120^\circ$, $\angle C$ - напротив дуги $108^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$
$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$
Проверка: $48^\circ + 60^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.

3. В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Меньший угол - $\angle A = 48^\circ$. По условию, меньшая сторона равна 7 см. Значит, сторона $a$, лежащая напротив угла $A$, равна 7 см.

4. Найдем две другие стороны $b$ и $c$ с помощью теоремы синусов:
$\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$
$b = \frac{a \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{7 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(48^\circ)} \approx \frac{7 \cdot 0.8660}{0.7431} \approx 8.15$ см.
$c = \frac{a \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{7 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(48^\circ)} \approx \frac{7 \cdot 0.9511}{0.7431} \approx 8.96$ см.

Ответ: Две другие стороны треугольника равны примерно 8.15 см и 8.96 см.

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AM = 6$ см, $MB = 4$ см, $AK = 3$ см, $KC = 9$ см (рис. 10).

Найдите отношение площадей треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$.

Рис. 10

2. Медианы $BD$ и $CP$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$.

Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BD = 21$ см, $CP = 12$ см, $\angle BMC = 30^\circ$.

3. Основания трапеции равны $5$ см и $10$ см, а диагонали — $13$ см и $14$ см. Найдите площадь трапеции.

1.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Для треугольника $AMK$ площадь равна: $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin A$.

Для треугольника $ABC$ найдем длины сторон $AB$ и $AC$:

$AB = AM + MB = 6 + 4 = 10$ см.

$AC = AK + KC = 3 + 9 = 12$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$.

Найдем отношение площадей треугольников $AMK$ и $ABC$:

$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin A}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{AM \cdot AK}{AB \cdot AC} = \frac{6 \cdot 3}{10 \cdot 12} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$.

Площадь четырехугольника $BCKM$ можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $AMK$:

$S_{BCKM} = S_{ABC} - S_{AMK}$.

Из найденного отношения плошадей имеем $S_{AMK} = \frac{3}{20} S_{ABC}$. Тогда:

$S_{BCKM} = S_{ABC} - \frac{3}{20} S_{ABC} = \frac{17}{20} S_{ABC}$.

Теперь найдем искомое отношение площадей треугольника $AMK$ и четырехугольника $BCKM$:

$\frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{\frac{3}{20} S_{ABC}}{\frac{17}{20} S_{ABC}} = \frac{3}{17}$.

Ответ: $3/17$.

2.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $M$ — точка пересечения медиан $BD$ и $CP$.

Найдем длины отрезков $BM$ и $CM$:

$BM = \frac{2}{3} BD = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ см.

$CM = \frac{2}{3} CP = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы знаем длины двух его сторон ($BM$ и $CM$) и угол между ними ($\angle BMC = 30^\circ$). Найдем его площадь по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CM \cdot \sin(\angle BMC) = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 7 \cdot 4 = 28$ см$^2$.

Точка пересечения медиан делит треугольник на три треугольника равной площади ($S_{AMB} = S_{BMC} = S_{AMC}$). Следовательно, площадь всего треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BMC$.

$S_{ABC} = 3 \cdot S_{BMC} = 3 \cdot 28 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.

3.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=5$ см и $AD=10$ см и диагоналями $AC=13$ см и $BD=14$ см. Для нахождения площади трапеции воспользуемся дополнительным построением.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel AE$ (по определению трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $DE = BC = 5$ см и $CE = BD = 14$ см.

Площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Это следует из того, что $S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC}$, а $S_{ACE} = S_{ACD} + S_{CDE}$. Треугольники $ABC$ и $CDE$ равновелики, так как у них равны основания ($BC=DE=5$) и общая высота (высота трапеции).

Найдем площадь треугольника $ACE$. Мы знаем длины всех его сторон:

$AC = 13$ см.

$CE = 14$ см.

$AE = AD + DE = 10 + 5 = 15$ см.

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр.

Найдем полупериметр треугольника $ACE$:

$s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь:

$S_{ACE} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

Так как $S_{ABCD} = S_{ACE}$, то площадь трапеции равна 84 см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.