Номер 5, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AM = 6$ см, $MB = 4$ см, $AK = 3$ см, $KC = 9$ см (рис. 10).

Найдите отношение площадей треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$.

Рис. 10

2. Медианы $BD$ и $CP$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$.

Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BD = 21$ см, $CP = 12$ см, $\angle BMC = 30^\circ$.

3. Основания трапеции равны $5$ см и $10$ см, а диагонали — $13$ см и $14$ см. Найдите площадь трапеции.

1.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Для треугольника $AMK$ площадь равна: $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin A$.

Для треугольника $ABC$ найдем длины сторон $AB$ и $AC$:

$AB = AM + MB = 6 + 4 = 10$ см.

$AC = AK + KC = 3 + 9 = 12$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$.

Найдем отношение площадей треугольников $AMK$ и $ABC$:

$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin A}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{AM \cdot AK}{AB \cdot AC} = \frac{6 \cdot 3}{10 \cdot 12} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$.

Площадь четырехугольника $BCKM$ можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $AMK$:

$S_{BCKM} = S_{ABC} - S_{AMK}$.

Из найденного отношения плошадей имеем $S_{AMK} = \frac{3}{20} S_{ABC}$. Тогда:

$S_{BCKM} = S_{ABC} - \frac{3}{20} S_{ABC} = \frac{17}{20} S_{ABC}$.

Теперь найдем искомое отношение площадей треугольника $AMK$ и четырехугольника $BCKM$:

$\frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{\frac{3}{20} S_{ABC}}{\frac{17}{20} S_{ABC}} = \frac{3}{17}$.

Ответ: $3/17$.

2.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $M$ — точка пересечения медиан $BD$ и $CP$.

Найдем длины отрезков $BM$ и $CM$:

$BM = \frac{2}{3} BD = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ см.

$CM = \frac{2}{3} CP = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы знаем длины двух его сторон ($BM$ и $CM$) и угол между ними ($\angle BMC = 30^\circ$). Найдем его площадь по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CM \cdot \sin(\angle BMC) = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 7 \cdot 4 = 28$ см$^2$.

Точка пересечения медиан делит треугольник на три треугольника равной площади ($S_{AMB} = S_{BMC} = S_{AMC}$). Следовательно, площадь всего треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BMC$.

$S_{ABC} = 3 \cdot S_{BMC} = 3 \cdot 28 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.

3.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=5$ см и $AD=10$ см и диагоналями $AC=13$ см и $BD=14$ см. Для нахождения площади трапеции воспользуемся дополнительным построением.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel AE$ (по определению трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $DE = BC = 5$ см и $CE = BD = 14$ см.

Площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Это следует из того, что $S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC}$, а $S_{ACE} = S_{ACD} + S_{CDE}$. Треугольники $ABC$ и $CDE$ равновелики, так как у них равны основания ($BC=DE=5$) и общая высота (высота трапеции).

Найдем площадь треугольника $ACE$. Мы знаем длины всех его сторон:

$AC = 13$ см.

$CE = 14$ см.

$AE = AD + DE = 10 + 5 = 15$ см.

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр.

Найдем полупериметр треугольника $ACE$:

$s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь:

$S_{ACE} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

Так как $S_{ABCD} = S_{ACE}$, то площадь трапеции равна 84 см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.