Номер 6, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, $\angle BNC = 170^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 18 см вписан правильный шестиугольник. В этот шестиугольник вписана окружность, а в окружность — правильный треугольник. Найдите сторону треугольника.

3. Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 4 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1.

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, образуя треугольник $NBC$, одной из сторон которого является сторона многоугольника $BC$.

Углы $\angle NBC$ и $\angle NCB$ этого треугольника являются внешними углами правильного многоугольника. Так как многоугольник правильный, все его внешние углы равны. Обозначим величину внешнего угла как $\beta$. Следовательно, $\angle NBC = \angle NCB = \beta$.

Сумма углов в треугольнике $NBC$ равна $180^\circ$: $\angle BNC + \angle NBC + \angle NCB = 180^\circ$.

Подставим известные значения из условия задачи: $170^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$ $2\beta = 180^\circ - 170^\circ$ $2\beta = 10^\circ$ $\beta = 5^\circ$.

Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$. Найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{5^\circ} = 72$.

Ответ: 72 стороны.

2.

Задача решается последовательными вычислениями.

1. В окружность радиуса $R_1 = 18$ см вписан правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника ($a_6$), вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R_1 = 18$ см.

2. В этот шестиугольник вписана вторая окружность. Её радиус ($r_2$) равен апофеме правильного шестиугольника. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a_6$, находится по формуле: $r_2 = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$. $r_2 = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

3. Во вторую окружность вписан правильный треугольник. Это означает, что вторая окружность является описанной для этого треугольника, и её радиус $r_2$ является радиусом описанной окружности для треугольника ($R_3$). $R_3 = r_2 = 9\sqrt{3}$ см.

4. Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность радиуса $R_3$, вычисляется по формуле: $a_3 = R_3 \sqrt{3}$. $a_3 = (9\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Ответ: 27 см.

3.

Дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$, у которого радиус вписанной окружности $r = 4$ см. Требуется найти длины диагоналей $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Для решения задачи найдем радиус описанной окружности $R$. Связь между радиусом вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей для правильного $n$-угольника дается формулой $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для восьмиугольника ($n=8$): $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = R \cos(22.5^\circ)$.

Найдем $R$, выразив его через $r$: $R = \frac{r}{\cos(22.5^\circ)} = \frac{4}{\cos(22.5^\circ)}$.

Диагональ $A_1A_4$
Длина диагонали, соединяющей вершины $A_1$ и $A_4$, определяется длиной хорды, стягивающей центральный угол $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 135^\circ$. Длина хорды вычисляется по формуле $d = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ - центральный угол. $A_1A_4 = 2R \sin\left(\frac{135^\circ}{2}\right) = 2R \sin(67.5^\circ)$. Используя формулу приведения $\sin(67.5^\circ) = \cos(90^\circ - 67.5^\circ) = \cos(22.5^\circ)$, получаем: $A_1A_4 = 2R \cos(22.5^\circ)$. Так как $r = R \cos(22.5^\circ)$, то $A_1A_4 = 2r$. $A_1A_4 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Диагональ $A_1A_3$ и $A_1A_5$
Для нахождения длин других диагоналей нам понадобится значение $R$. Вычислим $\cos(22.5^\circ)$ по формуле половинного угла: $\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$. Теперь найдем $R$: $R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ см.

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины и является диаметром описанной окружности: $A_1A_5 = 2R = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \frac{16}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Упростим выражение: $A_1A_5 = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2(2-\sqrt{2})} = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ см.

Диагональ $A_1A_3$ стягивает центральный угол $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 90^\circ$. Треугольник $A_1OA_3$ является равнобедренным прямоугольным с катетами $R$. По теореме Пифагора: $A_1A_3 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$. $A_1A_3 = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Упростим: $A_1A_3 = \frac{8\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = \frac{8\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $A_1A_3 = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см, $A_1A_4 = 8$ см, $A_1A_5 = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ см.