Страница 18 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку K (2; −3) и:

1) параллельна прямой $y = -3x + 1$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

2. Найдите расстояние от точки A (−2; 2) до прямой $5x + 12y = -6$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки A (−2; 0) и B (0; 6) и центр которой принадлежит прямой $2x - 3y = -2$.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = -3x + 1$ равен $-3$. Следовательно, для искомой прямой $k = -3$, и ее уравнение принимает вид $y = -3x + b$.
Поскольку прямая проходит через точку $K(2; -3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим значения $x = 2$ и $y = -3$:
$-3 = -3 \cdot 2 + b$
$-3 = -6 + b$
$b = 3$
Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -3x + 3$.
Ответ: $y = -3x + 3$.

2) Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то есть $k = \tan \alpha$.
По условию, $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент:
$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.
Уравнение прямой принимает вид $y = -x + b$. Подставим координаты точки $K(2; -3)$, через которую проходит прямая:
$-3 = -1 \cdot 2 + b$
$-3 = -2 + b$
$b = -1$
Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -x - 1$.
Ответ: $y = -x - 1$.

2. Расстояние $d$ от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Сначала приведем уравнение прямой $5x + 12y = -6$ к общему виду: $5x + 12y + 6 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты $A = 5$, $B = 12$, $C = 6$. Координаты точки $A(-2; 2)$, то есть $x_0 = -2$, $y_0 = 2$.
Подставим эти значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|5 \cdot (-2) + 12 \cdot 2 + 6|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|-10 + 24 + 6|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|20|}{\sqrt{169}} = \frac{20}{13}$.
Ответ: $\frac{20}{13}$.

3. Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$, где $(x_c; y_c)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.
Пусть центр окружности — точка $C(x_c; y_c)$. Поскольку окружность проходит через точки $A(-2; 0)$ и $B(0; 6)$, расстояния от центра до этих точек равны радиусу: $CA = CB = R$, а значит $CA^2 = CB^2$.
$CA^2 = (x_c - (-2))^2 + (y_c - 0)^2 = (x_c + 2)^2 + y_c^2$
$CB^2 = (x_c - 0)^2 + (y_c - 6)^2 = x_c^2 + (y_c - 6)^2$
Приравняем эти два выражения:
$(x_c + 2)^2 + y_c^2 = x_c^2 + (y_c - 6)^2$
Раскроем скобки: $x_c^2 + 4x_c + 4 + y_c^2 = x_c^2 + y_c^2 - 12y_c + 36$
Упростим уравнение: $4x_c + 4 = -12y_c + 36 \implies 4x_c + 12y_c = 32 \implies x_c + 3y_c = 8$.
По условию, центр окружности принадлежит прямой $2x - 3y = -2$. Значит, координаты центра $(x_c; y_c)$ удовлетворяют и этому уравнению: $2x_c - 3y_c = -2$.
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения координат центра:
$\begin{cases} x_c + 3y_c = 8 \\ 2x_c - 3y_c = -2 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим: $3x_c = 6 \implies x_c = 2$.
Подставим $x_c = 2$ в первое уравнение: $2 + 3y_c = 8 \implies 3y_c = 6 \implies y_c = 2$.
Итак, центр окружности — точка $C(2; 2)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя, например, точку $A(-2; 0)$:
$R^2 = CA^2 = (2 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.
Подставим координаты центра и значение квадрата радиуса в стандартное уравнение окружности:
$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 20$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 20$.

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 5. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $XB^2 - XA^2 = 7$.

2. Катеты $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ равны 24 см и 32 см соответственно. На медиане $CM$ отметили точку $D$ так, что $CD : DM = 1 : 3$. Найдите расстояние от точки $D$ до середины катета $BC$.

3. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 3 см. Найдите геометрическое место точек $C$ таких, что медиана $BM$ треугольника $ABC$ равна 5 см.

1.

Введем декартову систему координат. Для удобства расположим точки $A$ и $B$ на оси абсцисс ($Ox$). Поскольку расстояние $AB$ равно 5, пусть координаты точек будут $A(0, 0)$ и $B(5, 0)$.

Пусть $X(x, y)$ — произвольная точка искомого геометрического места.

Найдем квадраты расстояний от точки $X$ до точек $A$ и $B$:
$XA^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$XB^2 = (x - 5)^2 + (y - 0)^2 = (x - 5)^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2$

Согласно условию задачи, $XB^2 - XA^2 = 7$. Подставим найденные выражения в это равенство:
$(x^2 - 10x + 25 + y^2) - (x^2 + y^2) = 7$

Теперь упростим полученное уравнение:
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - x^2 - y^2 = 7$
$-10x + 25 = 7$
$-10x = 7 - 25$
$-10x = -18$
$x = \frac{-18}{-10} = 1.8$

Уравнение $x = 1.8$ определяет прямую, параллельную оси ординат ($Oy$). Так как отрезок $AB$ лежит на оси $Ox$, эта прямая перпендикулярна прямой, содержащей отрезок $AB$.

Ответ: Геометрическое место точек $X$ — это прямая, перпендикулярная отрезку $AB$.

2.

Введем систему координат с началом в точке $C$ — вершине прямого угла. Направим ось $Ox$ вдоль катета $BC$, а ось $Oy$ — вдоль катета $AC$.

В этой системе координат вершины треугольника $ABC$ имеют следующие координаты:
$C(0, 0)$
$A(0, 24)$ (поскольку $AC = 24$ см)
$B(32, 0)$ (поскольку $BC = 32$ см)

$CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. Точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Найдем ее координаты:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 32}{2} = 16$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{24 + 0}{2} = 12$
Следовательно, $M(16, 12)$.

Точка $D$ делит медиану $CM$ в отношении $CD : DM = 1 : 3$. Найдем координаты точки $D$ по формуле деления отрезка в данном отношении. Так как $C$ — начало координат, то $D = \frac{1}{1+3} M = \frac{1}{4}M$:
$x_D = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$
$y_D = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$
Координаты точки $D$ — $(4, 3)$.

Найдем координаты середины катета $BC$. Обозначим эту точку $K$.
$x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{32 + 0}{2} = 16$
$y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$
Координаты точки $K$ — $(16, 0)$.

Искомое расстояние — это длина отрезка $DK$. Вычислим ее по формуле расстояния между двумя точками $D(4, 3)$ и $K(16, 0)$:
$DK = \sqrt{(x_K - x_D)^2 + (y_K - y_D)^2} = \sqrt{(16 - 4)^2 + (0 - 3)^2}$
$DK = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}$

Упростим корень: $\sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

Ответ: $3\sqrt{17}$ см.

3.

Введем систему координат. Расположим точки $A$ и $B$ на оси $Ox$. Пусть $A$ имеет координаты $(0, 0)$, а $B$ — $(3, 0)$. Тогда расстояние $AB$ равно 3.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x, y)$.

По определению, медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ противоположной стороны $AC$. Найдем координаты точки $M$:
$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$
Таким образом, $M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$.

По условию задачи, длина медианы $BM$ равна 5. Используем формулу расстояния между точками $B(3, 0)$ и $M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$:
$BM^2 = (x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2 = 5^2$
$(\frac{x}{2} - 3)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2 = 25$

Преобразуем полученное уравнение:
$(\frac{x - 6}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 25$
$\frac{(x - 6)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 25$
$(x - 6)^2 + y^2 = 100$
$(x - 6)^2 + y^2 = 10^2$

Это каноническое уравнение окружности. Центр окружности находится в точке $O(6, 0)$, а ее радиус $R = 10$.

Опишем геометрическое положение центра $O(6, 0)$ относительно точек $A(0, 0)$ и $B(3, 0)$. Все три точки лежат на оси $Ox$. Расстояние $AB = 3$, расстояние $BO = 6 - 3 = 3$. Следовательно, точка $B$ является серединой отрезка $AO$.

Ответ: Окружность с радиусом 10 см. Центр этой окружности — точка $O$, которая лежит на прямой $AB$ так, что точка $B$ является серединой отрезка $AO$.

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали параллелограмма $MKPE$ пересекаются в точке $O$. Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{KP}$; 2) $\vec{PK}$; 3) $\vec{MO}$; 4) $\vec{PO}$.

2. В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{BD}|$; 2) $|\vec{AO}|$; 3) $|\vec{DO}|$.

3. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

1. В параллелограмме $MKPE$ противоположные стороны попарно параллельны и равны ($MK || PE$, $KP || ME$ и $MK=PE$, $KP=ME$). Диагонали $MP$ и $KE$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($MO=OP$, $KO=OE$).

1) $\overrightarrow{KP}$
Векторы равны, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. В параллелограмме $MKPE$ сторона $KP$ параллельна стороне $ME$. Вектор $\overrightarrow{KP}$ (направленный от $K$ к $P$) сонаправлен вектору $\overrightarrow{ME}$ (направленному от $M$ к $E$). Длины этих сторон равны. Следовательно, $\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{ME}$.
Ответ: $\overrightarrow{ME}$.

2) $\overrightarrow{PK}$
Вектор $\overrightarrow{PK}$ противоположен вектору $\overrightarrow{KP}$. Он сонаправлен вектору $\overrightarrow{EM}$, так как $PK || EM$ и направление от $P$ к $K$ такое же, как от $E$ к $M$. Их длины равны. Следовательно, $\overrightarrow{PK} = \overrightarrow{EM}$.
Ответ: $\overrightarrow{EM}$.

3) $\overrightarrow{MO}$
Точка $O$ — середина диагонали $MP$. Вектор $\overrightarrow{MO}$ направлен от точки $M$ к середине диагонали $O$. Вектор $\overrightarrow{OP}$ направлен от середины диагонали $O$ к точке $P$. Они сонаправлены и их длины равны ($|\overrightarrow{MO}| = |\overrightarrow{OP}|$). Следовательно, $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{OP}$.
Ответ: $\overrightarrow{OP}$.

4) $\overrightarrow{PO}$
Вектор $\overrightarrow{PO}$ направлен от точки $P$ к середине диагонали $O$. Он сонаправлен вектору $\overrightarrow{OM}$ (направленному от $O$ к $M$). Их длины равны, так как $O$ — середина $MP$. Следовательно, $\overrightarrow{PO} = \overrightarrow{OM}$.
Ответ: $\overrightarrow{OM}$.

2. В ромбе $ABCD$ все стороны равны ($AB=10$ см), а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся этой точкой пополам.

1) $|\overrightarrow{BD}|$
Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является прямоугольным, так как диагонали ромба перпендикулярны ($\angle AOB = 90^\circ$). Гипотенуза $AB=10$ см. Катет $AO$ равен половине диагонали $AC$, так как диагонали делятся точкой пересечения пополам. $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$10^2 = 6^2 + BO^2$
$100 = 36 + BO^2$
$BO^2 = 64$
$BO = \sqrt{64} = 8$ см.
Так как $O$ — середина диагонали $BD$, то $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 8 = 16$ см. Модуль вектора $|\overrightarrow{BD}|$ равен длине отрезка $BD$.
Ответ: 16 см.

2) $|\overrightarrow{AO}|$
Длина отрезка $AO$ была найдена в предыдущем пункте. $AO$ — это половина диагонали $AC$.
$|\overrightarrow{AO}| = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Ответ: 6 см.

3) $|\overrightarrow{DO}|$
Длина отрезка $DO$ равна длине отрезка $BO$, так как диагональ $BD$ делится точкой $O$ пополам. Длина $BO$ была найдена в пункте 1) и равна 8 см.
$|\overrightarrow{DO}| = DO = BO = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. Проанализируем свойства четырёхугольника $ABCD$ на основе данных условий.

1. Условие, что векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ коллинеарны, означает, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC || AD$). Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Основаниями этой трапеции являются $BC$ и $AD$.

2. Условие $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$ означает, что длины диагоналей $AC$ и $BD$ равны.

Свойством равнобедренной (равнобокой) трапеции является равенство её диагоналей. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — это равнобедренная трапеция.

Если бы основания трапеции были равны ($BC=AD$), то она была бы параллелограммом. Параллелограмм с равными диагоналями — это прямоугольник. Прямоугольник является частным случаем равнобедренной трапеции. Таким образом, наиболее общее определение для данного четырёхугольника — равнобедренная трапеция.
Ответ: Равнобедренная трапеция.