Страница 15 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Решение треугольников

1. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$;

2) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см}$, $\angle B = 10^\circ$;

2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 8 \text{ см}$, $\angle CBD = 58^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$. Найдите основания и диагональ трапеции.

3. Большая сторона треугольника равна 5 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 3 : 4. Найдите неизвестные стороны треугольника.

1)

Даны три стороны треугольника: $c = AB = 6$ см, $a = BC = 7$ см, $b = AC = 10$ см. Необходимо найти углы $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов.

Найдем угол $A$ (противолежащий стороне $a=BC$):

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{10^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 6} = \frac{100 + 36 - 49}{120} = \frac{87}{120} = 0.725$

$\angle A = \arccos(0.725) \approx 43.53^\circ$

Найдем угол $B$ (противолежащий стороне $b=AC$):

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 6^2 - 10^2}{2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{49 + 36 - 100}{84} = \frac{-15}{84} \approx -0.1786$

$\angle B = \arccos(-0.1786) \approx 100.29^\circ$

Найдем угол $C$ (противолежащий стороне $c=AB$). Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 43.53^\circ - 100.29^\circ \approx 36.18^\circ$

Проверка по теореме косинусов для угла $C$:

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 7 \cdot 10} = \frac{49 + 100 - 36}{140} = \frac{113}{140} \approx 0.8071$

$\angle C = \arccos(0.8071) \approx 36.18^\circ$

Ответ: $\angle A \approx 43.53^\circ, \angle B \approx 100.29^\circ, \angle C \approx 36.18^\circ$.

2)

Даны две стороны и угол, не лежащий между ними: $a = BC = 8$ см, $b = AC = 7$ см, $\angle B = 10^\circ$. Необходимо найти сторону $c=AB$, углы $\angle A$ и $\angle C$.

Используем теорему синусов для нахождения угла $A$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{8 \cdot \sin 10^\circ}{7} \approx \frac{8 \cdot 0.1736}{7} \approx 0.1984$

Уравнение $\sin A \approx 0.1984$ имеет два возможных решения для угла $A$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$:

$A_1 = \arcsin(0.1984) \approx 11.45^\circ$

$A_2 = 180^\circ - A_1 \approx 180^\circ - 11.45^\circ = 168.55^\circ$

Поскольку в обоих случаях сумма $\angle A + \angle B < 180^\circ$, существуют два возможных треугольника.

Случай 1: $\angle A \approx 11.45^\circ$

Находим угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 11.45^\circ - 10^\circ = 158.55^\circ$

Находим сторону $c = AB$ по теореме синусов:

$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \implies c = \frac{b \sin C}{\sin B} \approx \frac{7 \cdot \sin 158.55^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.3657}{0.1736} \approx 14.75$ см.

Случай 2: $\angle A \approx 168.55^\circ$

Находим угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 168.55^\circ - 10^\circ = 1.45^\circ$

Находим сторону $c = AB$ по теореме синусов:

$c = \frac{b \sin C}{\sin B} \approx \frac{7 \cdot \sin 1.45^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.0253}{0.1736} \approx 1.02$ см.

Ответ: Существует два решения. 1) $AB \approx 14.75$ см, $\angle A \approx 11.45^\circ$, $\angle C \approx 158.55^\circ$. 2) $AB \approx 1.02$ см, $\angle A \approx 168.55^\circ$, $\angle C \approx 1.45^\circ$.

2.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известно, что $AB = CD = 8$ см, значит, трапеция равнобедренная. Также даны углы $\angle CBD = 58^\circ$ и $\angle ABD = 46^\circ$.

1. Найдем угол $\angle ABC$ всей трапеции: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 46^\circ + 58^\circ = 104^\circ$.

2. Так как трапеция равнобедренная, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle DAB$: $\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.

3. Основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), поэтому накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle ADB = \angle CBD = 58^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем сторону $AB=8$ см и все три угла: $\angle DAB = 76^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$, $\angle ADB = 58^\circ$. (Проверка: $76+46+58 = 180^\circ$).

5. По теореме синусов найдем основание $AD$ и диагональ $BD$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle DAB)}$

$\frac{8}{\sin 58^\circ} = \frac{AD}{\sin 46^\circ} = \frac{BD}{\sin 76^\circ}$

Находим большее основание $AD$:

$AD = \frac{8 \cdot \sin 46^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.7193}{0.8480} \approx 6.79$ см.

Находим диагональ $BD$:

$BD = \frac{8 \cdot \sin 76^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.9703}{0.8480} \approx 9.15$ см.

6. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Мы знаем стороны $CD=8$ см, $BD \approx 9.15$ см и угол $\angle CBD = 58^\circ$. Угол $\angle BCD = \angle ABC = 104^\circ$. Найдем третий угол треугольника: $\angle BDC = 180^\circ - \angle BCD - \angle CBD = 180^\circ - 104^\circ - 58^\circ = 18^\circ$.

7. По теореме синусов найдем меньшее основание $BC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{CD}{\sin(\angle CBD)}$

$BC = \frac{CD \cdot \sin(\angle BDC)}{\sin(\angle CBD)} = \frac{8 \cdot \sin 18^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3090}{0.8480} \approx 2.92$ см.

Ответ: Основания трапеции равны примерно $2.92$ см и $6.79$ см, диагональ равна примерно $9.15$ см.

3.

1. Найдем градусные меры дуг вписанной окружности. Сумма дуг составляет $360^\circ$. Пусть меры дуг равны $2x, 3x, 4x$.

$2x + 3x + 4x = 360^\circ \implies 9x = 360^\circ \implies x = 40^\circ$.

Градусные меры дуг: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$, $3 \cdot 40^\circ = 120^\circ$, $4 \cdot 40^\circ = 160^\circ$.

2. Углы треугольника связаны с дугами вписанной окружности между точками касания. Угол треугольника равен $180^\circ$ минус соответствующая дуга. Найдем углы треугольника:

$\angle A = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Проверка: $20^\circ + 60^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

3. По условию, большая сторона треугольника равна 5 см. Большая сторона лежит напротив большего угла. В нашем случае, больший угол - $100^\circ$. Обозначим противолежащую ему сторону как $c$. Итак, $c = 5$ см, $\angle C = 100^\circ$. Соответственно, $a$ - сторона напротив $\angle A=20^\circ$, $b$ - сторона напротив $\angle B=60^\circ$.

4. Найдем неизвестные стороны $a$ и $b$ с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 20^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 100^\circ}$

Находим сторону $a$:

$a = \frac{5 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 100^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.3420}{0.9848} \approx 1.74$ см.

Находим сторону $b$:

$b = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 100^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.8660}{0.9848} \approx 4.40$ см.

Ответ: Неизвестные стороны треугольника равны примерно $1.74$ см и $4.40$ см.

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла O отложены отрезки $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см (рис. 6). Найдите отношение площадей треугольника $OBD$ и четырёхугольника $ABDC$.

2. Медианы $BP$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BP = 6$ см, $CM = 15$ см, $\angle BDC = 45^\circ$.

3. Основания трапеции равны 6 см и 11 см, а диагонали — 10 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

1. Для решения задачи используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Пусть угол при вершине O равен $\alpha$.

Сначала найдем длины сторон OB и OD треугольника OBD:

$OB = OA + AB = 8 + 3 = 11$ см.

$OD = OC + CD = 5 + 7 = 12$ см.

Теперь можем выразить площади треугольников OBD и OAC через $\sin \alpha$:

$S_{OBD} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin \alpha = 66 \sin \alpha$.

$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin \alpha = 20 \sin \alpha$.

Площадь четырёхугольника ABDC равна разности площадей треугольников OBD и OAC:

$S_{ABDC} = S_{OBD} - S_{OAC} = 66 \sin \alpha - 20 \sin \alpha = 46 \sin \alpha$.

Найдём искомое отношение площадей:

$\frac{S_{OBD}}{S_{ABDC}} = \frac{66 \sin \alpha}{46 \sin \alpha} = \frac{66}{46} = \frac{33}{23}$.

Ответ: 33:23.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан BP и CM как D. Тогда:

$BD = \frac{2}{3} BP = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

$CD = \frac{2}{3} CM = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BDC, зная две его стороны (BD и CD) и угол между ними ($\angle BDC = 45^\circ$):

$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ)$.

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см².

Известно, что медианы делят треугольник на 6 малых треугольников равной площади. Также известно, что три треугольника, образованные соединением центроида с вершинами, равновелики, то есть имеют одинаковую площадь ($S_{ADB} = S_{BDC} = S_{CDA}$).

Следовательно, площадь всего треугольника ABC в три раза больше площади треугольника BDC:

$S_{ABC} = 3 \cdot S_{BDC} = 3 \cdot 10\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$ см².

Ответ: $30\sqrt{2}$ см².

3. Пусть дана трапеция с основаниями $a = 11$ см и $b = 6$ см, и диагоналями $d_1 = 10$ см и $d_2 = 9$ см. Для нахождения площади применим метод построения вспомогательного треугольника.

Пусть в трапеции ABCD основания $AD=11$ и $BC=6$, диагонали $AC=10$ и $BD=9$. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E.

В полученном четырёхугольнике BCED противоположные стороны параллельны ($BC \parallel DE$ и $CE \parallel BD$), значит, BCED — параллелограмм. Отсюда следует, что $DE = BC = 6$ см и $CE = BD = 9$ см.

Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE. Это можно показать так: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$, а $S_{ACE} = S_{ABC} + S_{BCE}$. Треугольники ACD и BCE имеют равные площади, так как их основания ($AD$ и $BE$) равны ($DE=BC=6$) и у них общая высота (высота трапеции). Таким образом, $S_{ABCD} = S_{ACE}$.

Теперь найдём площадь треугольника ACE. Мы знаем длины всех его сторон:

• $AC = 10$ см
• $CE = 9$ см
• $AE = AD + DE = 11 + 6 = 17$ см

Используем формулу Герона для вычисления площади треугольника: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр.

Полупериметр $s = \frac{10 + 9 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Площадь треугольника ACE:

$S_{ACE} = \sqrt{18(18-10)(18-9)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см².

Так как $S_{ABCD} = S_{ACE}$, площадь трапеции равна 36 см².

Ответ: 36 см².