Страница 9 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Укажите вектор, равный вектору:

1) $ \overrightarrow{CD} $;

2) $ \overrightarrow{DC} $;

3) $ \overrightarrow{BO} $;

4) $ \overrightarrow{DO} $.

2. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AB = 5$ см, $BD = 13$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $ |\overrightarrow{CD}| $;

2) $ |\overrightarrow{AO}| $;

3) $ |\overrightarrow{BC}| $.

3. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что векторы $ \overrightarrow{BC} $ и $ \overrightarrow{AD} $ коллинеарны и $ |\overrightarrow{AC}| \neq |\overrightarrow{BD}| $. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

1. В ромбе ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине, а диагонали в точке пересечения O делятся пополам.

2. В прямоугольнике ABCD противоположные стороны равны, все углы прямые, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

3.

Проанализируем условия задачи для четырёхугольника $ABCD$.

1. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны. Это означает, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, называется трапецией. Значит, $ABCD$ — трапеция.

2. $|\vec{AC}| \neq |\vec{BD}|$. Это означает, что длины диагоналей $AC$ и $BD$ не равны. У равнобедренной трапеции диагонали равны. Поскольку диагонали $ABCD$ не равны, эта трапеция не является равнобедренной.

Совмещая оба условия, мы приходим к выводу, что четырёхугольник $ABCD$ — это трапеция, не являющаяся равнобедренной.

Ответ: Трапеция (не равнобедренная).

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. От точки A$(4; -3)$ отложен вектор $\vec{m}(-1; 8)$. Найдите координаты конца вектора $\vec{m}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A$(3; -2)$, B$(-4; 1)$, C$(-2; -3)$. Используя векторы, найдите координаты вершины D.

3. Точки C$(-1; 4)$ и D$(11; 4)$ — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $\vec{BD}$ равен 13. Найдите координаты точек А и В.

1.

Пусть точка $A(x_A; y_A)$ — начало вектора, а точка $B(x_B; y_B)$ — его конец. Тогда вектор $\vec{m} = \vec{AB}$ имеет координаты $(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
По условию, нам даны координаты начальной точки $A(4; -3)$ и координаты вектора $\vec{m}(-1; 8)$. Нам нужно найти координаты конечной точки $B(x_B; y_B)$.

Составим систему уравнений:

$x_B - x_A = -1 \implies x_B - 4 = -1$
$y_B - y_A = 8 \implies y_B - (-3) = 8$

Решим эти уравнения:

$x_B = -1 + 4 = 3$
$y_B + 3 = 8 \implies y_B = 8 - 3 = 5$

Таким образом, координаты конца вектора: $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$

2.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, векторы, представляющие эти стороны, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Пусть координаты вершины $D$ будут $(x; y)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(-4; 1)$ и $C(-2; -3)$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-2 - (-4); -3 - 1) = (2; -4)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точки $A(3; -2)$ и неизвестной точки $D(x; y)$:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 3; y - (-2)) = (x - 3; y + 2)$

Приравняем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$x - 3 = 2 \implies x = 5$
$y + 2 = -4 \implies y = -6$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(5; -6)$.

Ответ: $D(5; -6)$

3.

Даны вершины $C(-1; 4)$ и $D(11; 4)$ прямоугольника $ABCD$. Найдем вектор $\vec{CD}$:
$\vec{CD} = (11 - (-1); 4 - 4) = (12; 0)$.
Так как y-координата вектора равна нулю, сторона $CD$ лежит на горизонтальной прямой $y=4$.

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, стороны $BC$ и $AD$ должны быть перпендикулярны стороне $CD$, то есть они должны быть вертикальными. Это означает, что x-координата точки $B$ совпадает с x-координатой точки $C$, а x-координата точки $A$ совпадает с x-координатой точки $D$.
$x_B = x_C = -1$
$x_A = x_D = 11$

Пусть координаты точки $B$ будут $(-1; y_B)$. По условию, модуль (длина) вектора $\vec{BD}$ равен 13. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (11 - (-1); 4 - y_B) = (12; 4 - y_B)$

Теперь запишем уравнение для модуля вектора $\vec{BD}$:
$|\vec{BD}| = \sqrt{12^2 + (4 - y_B)^2} = 13$
Возведем обе части в квадрат:
$144 + (4 - y_B)^2 = 169$
$(4 - y_B)^2 = 169 - 144$
$(4 - y_B)^2 = 25$

Отсюда получаем два возможных решения для $y_B$:
1) $4 - y_B = 5 \implies y_B = -1$. Таким образом, $B_1(-1; -1)$.
2) $4 - y_B = -5 \implies y_B = 9$. Таким образом, $B_2(-1; 9)$.

Теперь найдем координаты точки $A$ для каждого из случаев. В прямоугольнике $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Найдем вектор $\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C)$.

Случай 1: $B(-1; -1)$.
$\vec{CB} = (-1 - (-1); -1 - 4) = (0; -5)$.
Вектор $\vec{DA} = (x_A - x_D; y_A - y_D) = (11 - 11; y_A - 4) = (0; y_A - 4)$.
Приравнивая векторы, получаем: $y_A - 4 = -5 \implies y_A = -1$.
Координаты вершин: $A(11; -1)$ и $B(-1; -1)$.

Случай 2: $B(-1; 9)$.
$\vec{CB} = (-1 - (-1); 9 - 4) = (0; 5)$.
Вектор $\vec{DA} = (0; y_A - 4)$.
Приравнивая векторы, получаем: $y_A - 4 = 5 \implies y_A = 9$.
Координаты вершин: $A(11; 9)$ и $B(-1; 9)$.

Таким образом, существуют два возможных решения.

Ответ: $A(11; -1)$ и $B(-1; -1)$, или $A(11; 9)$ и $B(-1; 9)$.

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC};$

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD};$

3) $\vec{BC} + \vec{DA} - \vec{DC} - \vec{BA}.$

2. Даны точки A (4; 1) и B (−2; −3). Найдите координаты точки C такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}.$

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $|\vec{AX} - \vec{XB}| = 8$, если $|\vec{AB}| = 2.$

1.

Поскольку четырёхугольник ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что соответствующие им векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$.

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC}$
Используем свойство параллелограмма $\vec{DC} = \vec{AB}$. Подставим это в выражение:
$\vec{AB} - \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{BC} = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$.

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD}$
Сгруппируем слагаемые: $(\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AC}$.
По правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной вершины, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Подставим это в наше выражение:
$\vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

3) $\vec{BC} + \vec{DA} - \vec{DC} - \vec{BA}$
Заменим вычитание на сложение с противоположным вектором: $\vec{BC} + \vec{DA} + \vec{CD} + \vec{AB}$.
Переставим векторы для удобства сложения по правилу многоугольника (правилу цепи):
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.
Эта сумма представляет собой путь по замкнутому контуру из точки A в точку A, поэтому результат — нулевой вектор.
$(\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DA}) = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

2.

Пусть искомая точка C имеет координаты $(x_C; y_C)$. Координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (4 - x_C; 1 - y_C)$
$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-2 - x_C; -3 - y_C)$
По условию $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$. Сумма векторов в координатах:
$\vec{CA} + \vec{CB} = ((4 - x_C) + (-2 - x_C); (1 - y_C) + (-3 - y_C)) = (2 - 2x_C; -2 - 2y_C)$.
Так как эта сумма равна нулевому вектору $\vec{0} = (0; 0)$, приравниваем соответствующие координаты к нулю:
$2 - 2x_C = 0 \implies 2x_C = 2 \implies x_C = 1$
$-2 - 2y_C = 0 \implies 2y_C = -2 \implies y_C = -1$
Таким образом, точка C имеет координаты (1; -1). Отметим, что условие $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$ означает, что C — середина отрезка AB.
Ответ: $C(1; -1)$.

3.

Требуется найти геометрическое место точек X, для которых выполняется равенство $|\vec{AX} - \vec{XB}| = 8$.
Преобразуем векторное выражение $\vec{AX} - \vec{XB}$. Пусть M — середина отрезка AB. Выразим векторы, входящие в выражение, через точку M по правилу треугольника:
$\vec{AX} = \vec{AM} + \vec{MX}$
$\vec{XB} = \vec{XM} + \vec{MB}$
Подставим это в исходное выражение:
$\vec{AX} - \vec{XB} = (\vec{AM} + \vec{MX}) - (\vec{XM} + \vec{MB})$
Учитывая, что $\vec{XM} = -\vec{MX}$, получаем:
$\vec{AM} + \vec{MX} - (-\vec{MX}) - \vec{MB} = \vec{AM} + 2\vec{MX} - \vec{MB}$
Поскольку M — середина отрезка AB, то $\vec{AM} = \vec{MB}$. Заменим $\vec{MB}$ на $\vec{AM}$:
$\vec{AM} + 2\vec{MX} - \vec{AM} = 2\vec{MX}$
Таким образом, исходное равенство принимает вид:
$|2\vec{MX}| = 8$
$2|\vec{MX}| = 8$
$|\vec{MX}| = 4$
Это уравнение означает, что расстояние от точки X до точки M (середины отрезка AB) постоянно и равно 4. Геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки, является окружностью.
Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом 4.