Номер 14, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. От точки A$(4; -3)$ отложен вектор $\vec{m}(-1; 8)$. Найдите координаты конца вектора $\vec{m}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A$(3; -2)$, B$(-4; 1)$, C$(-2; -3)$. Используя векторы, найдите координаты вершины D.

3. Точки C$(-1; 4)$ и D$(11; 4)$ — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $\vec{BD}$ равен 13. Найдите координаты точек А и В.

1.

Пусть точка $A(x_A; y_A)$ — начало вектора, а точка $B(x_B; y_B)$ — его конец. Тогда вектор $\vec{m} = \vec{AB}$ имеет координаты $(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
По условию, нам даны координаты начальной точки $A(4; -3)$ и координаты вектора $\vec{m}(-1; 8)$. Нам нужно найти координаты конечной точки $B(x_B; y_B)$.

Составим систему уравнений:

$x_B - x_A = -1 \implies x_B - 4 = -1$
$y_B - y_A = 8 \implies y_B - (-3) = 8$

Решим эти уравнения:

$x_B = -1 + 4 = 3$
$y_B + 3 = 8 \implies y_B = 8 - 3 = 5$

Таким образом, координаты конца вектора: $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$

2.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, векторы, представляющие эти стороны, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Пусть координаты вершины $D$ будут $(x; y)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(-4; 1)$ и $C(-2; -3)$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-2 - (-4); -3 - 1) = (2; -4)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точки $A(3; -2)$ и неизвестной точки $D(x; y)$:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 3; y - (-2)) = (x - 3; y + 2)$

Приравняем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$x - 3 = 2 \implies x = 5$
$y + 2 = -4 \implies y = -6$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(5; -6)$.

Ответ: $D(5; -6)$

3.

Даны вершины $C(-1; 4)$ и $D(11; 4)$ прямоугольника $ABCD$. Найдем вектор $\vec{CD}$:
$\vec{CD} = (11 - (-1); 4 - 4) = (12; 0)$.
Так как y-координата вектора равна нулю, сторона $CD$ лежит на горизонтальной прямой $y=4$.

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, стороны $BC$ и $AD$ должны быть перпендикулярны стороне $CD$, то есть они должны быть вертикальными. Это означает, что x-координата точки $B$ совпадает с x-координатой точки $C$, а x-координата точки $A$ совпадает с x-координатой точки $D$.
$x_B = x_C = -1$
$x_A = x_D = 11$

Пусть координаты точки $B$ будут $(-1; y_B)$. По условию, модуль (длина) вектора $\vec{BD}$ равен 13. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (11 - (-1); 4 - y_B) = (12; 4 - y_B)$

Теперь запишем уравнение для модуля вектора $\vec{BD}$:
$|\vec{BD}| = \sqrt{12^2 + (4 - y_B)^2} = 13$
Возведем обе части в квадрат:
$144 + (4 - y_B)^2 = 169$
$(4 - y_B)^2 = 169 - 144$
$(4 - y_B)^2 = 25$

Отсюда получаем два возможных решения для $y_B$:
1) $4 - y_B = 5 \implies y_B = -1$. Таким образом, $B_1(-1; -1)$.
2) $4 - y_B = -5 \implies y_B = 9$. Таким образом, $B_2(-1; 9)$.

Теперь найдем координаты точки $A$ для каждого из случаев. В прямоугольнике $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Найдем вектор $\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C)$.

Случай 1: $B(-1; -1)$.
$\vec{CB} = (-1 - (-1); -1 - 4) = (0; -5)$.
Вектор $\vec{DA} = (x_A - x_D; y_A - y_D) = (11 - 11; y_A - 4) = (0; y_A - 4)$.
Приравнивая векторы, получаем: $y_A - 4 = -5 \implies y_A = -1$.
Координаты вершин: $A(11; -1)$ и $B(-1; -1)$.

Случай 2: $B(-1; 9)$.
$\vec{CB} = (-1 - (-1); 9 - 4) = (0; 5)$.
Вектор $\vec{DA} = (0; y_A - 4)$.
Приравнивая векторы, получаем: $y_A - 4 = 5 \implies y_A = 9$.
Координаты вершин: $A(11; 9)$ и $B(-1; 9)$.

Таким образом, существуют два возможных решения.

Ответ: $A(11; -1)$ и $B(-1; -1)$, или $A(11; 9)$ и $B(-1; 9)$.