Страница 8 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) C (-2; 3) и D (1; 3);

2) M (2; 6) и K (2; -3);

3) A (-1; 4) и B (3; -8).

2. Докажите, что окружность $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 13 и которые отсекают на оси ординат хорду длиной 24.

1) Даны точки $C(-2; 3)$ и $D(1; 3)$. Поскольку ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы и равны 3, прямая, проходящая через эти точки, является горизонтальной. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ - постоянное значение ординаты.
Следовательно, уравнение прямой: $y = 3$.
Ответ: $y = 3$.

2) Даны точки $M(2; 6)$ и $K(2; -3)$. Поскольку абсциссы (координаты $x$) обеих точек одинаковы и равны 2, прямая, проходящая через эти точки, является вертикальной. Уравнение такой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ - постоянное значение абсциссы.
Следовательно, уравнение прямой: $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

3) Для точек $A(-1; 4)$ и $B(3; -8)$ используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставляем координаты точек A и B:
$\frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 4}{-8 - 4}$
$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{-12}$
Умножим обе части на 4, чтобы упростить:
$x + 1 = \frac{y - 4}{-3}$
$-3(x + 1) = y - 4$
$-3x - 3 = y - 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:
$3x + y - 1 = 0$
Ответ: $3x + y - 1 = 0$.

2. Чтобы доказать, что окружность $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найти их точки пересечения, нужно решить систему уравнений:
$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17 \\ x - y = 8 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 8$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$((y + 8) - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$
$(y + 6)^2 + (y + 3)^2 = 17$
Раскроем скобки:
$(y^2 + 12y + 36) + (y^2 + 6y + 9) = 17$
$2y^2 + 18y + 45 = 17$
$2y^2 + 18y + 28 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$y^2 + 9y + 14 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$
Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Найдем корни уравнения (значения $y$):
$y_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2}$
$y_1 = \frac{-9 - 5}{2} = -7$
$y_2 = \frac{-9 + 5}{2} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x = y + 8$:
При $y_1 = -7$, $x_1 = -7 + 8 = 1$. Координаты первой точки: $(1; -7)$.
При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 + 8 = 6$. Координаты второй точки: $(6; -2)$.
Ответ: Прямая и окружность пересекаются, точки пересечения имеют координаты $(1; -7)$ и $(6; -2)$.

3. Пусть центр окружности имеет координаты $(x_0, y_0)$. Радиус окружности $R = 13$. Окружность отсекает на оси ординат (прямой $x=0$) хорду длиной $L = 24$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, проведенным к одному из концов хорды, половиной хорды и перпендикуляром, опущенным из центра окружности на ось ординат.
Катетами этого треугольника являются:
1. Расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до оси ординат. Это расстояние равно $|x_0|$.
2. Половина длины хорды, то есть $L/2 = 24/2 = 12$.
Гипотенузой является радиус окружности $R = 13$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = (|x_0|)^2 + (L/2)^2$
Подставим известные значения:
$13^2 = x_0^2 + 12^2$
$169 = x_0^2 + 144$
$x_0^2 = 169 - 144$
$x_0^2 = 25$
Это уравнение связывает координаты центров $(x_0, y_0)$ всех окружностей, удовлетворяющих условию. Заметим, что на координату $y_0$ нет никаких ограничений, она может быть любой. Таким образом, геометрическое место центров - это все точки, у которых абсцисса удовлетворяет уравнению $x^2 = 25$. Это уравнение описывает две вертикальные прямые $x = 5$ и $x = -5$.
Ответ: $x^2 = 25$.

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через

точку $K (-2; 5)$ и:

1) параллельна прямой $y = 4x - 2$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс

угол $45^\circ$.

2. Найдите расстояние от точки $A (4; -1)$ до прямой

$3x - 4y = 4$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки $A (2; 0)$ и $B (0; 4)$ и центр которой принадлежит прямой $3x - y = 6$.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 4x - 2$ равен $k=4$. Следовательно, искомая прямая также имеет угловой коэффициент $k=4$, и её уравнение имеет вид $y = 4x + b$. Так как прямая проходит через точку $K(-2; 5)$, подставим её координаты в уравнение, чтобы найти $b$: $5 = 4(-2) + b$. Отсюда $5 = -8 + b$, и $b = 13$. Уравнение искомой прямой: $y = 4x + 13$.
Ответ: $y = 4x + 13$.

2) Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$. По условию, $\alpha = 45°$. Тогда $k = \tan(45°) = 1$. Уравнение прямой имеет вид $y = 1 \cdot x + b$ или $y = x + b$. Так как прямая проходит через точку $K(-2; 5)$, подставим её координаты в уравнение: $5 = -2 + b$. Отсюда $b = 7$. Уравнение искомой прямой: $y = x + 7$.
Ответ: $y = x + 7$.

2. Для нахождения расстояния от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, используется формула: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Приведем уравнение прямой $3x - 4y = 4$ к общему виду: $3x - 4y - 4 = 0$. В этом уравнении $A=3$, $B=-4$, $C=-4$. Координаты точки $A(4; -1)$, то есть $x_0=4$, $y_0=-1$. Подставим эти значения в формулу: $d = \frac{|3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-1) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 + 4 - 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|12|}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Ответ: $2.4$.

3. Уравнение окружности с центром в точке $C(x_c; y_c)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$. Так как окружность проходит через точки $A(2; 0)$ и $B(0; 4)$, её центр $C(x_c; y_c)$ равноудален от этих точек, то есть $CA = CB$, или $CA^2 = CB^2$. Запишем это условие в координатах: $(x_c - 2)^2 + (y_c - 0)^2 = (x_c - 0)^2 + (y_c - 4)^2$. Раскроем скобки и упростим: $x_c^2 - 4x_c + 4 + y_c^2 = x_c^2 + y_c^2 - 8y_c + 16$. Отсюда $-4x_c + 4 = -8y_c + 16$, что приводит к уравнению $8y_c - 4x_c = 12$, или $2y_c - x_c = 3$. По условию, центр окружности принадлежит прямой $3x - y = 6$, значит, его координаты удовлетворяют этому уравнению: $3x_c - y_c = 6$. Решим систему из двух уравнений: $\begin{cases} -x_c + 2y_c = 3 \\ 3x_c - y_c = 6 \end{cases}$. Из второго уравнения выразим $y_c = 3x_c - 6$ и подставим в первое: $-x_c + 2(3x_c - 6) = 3$. Получаем $-x_c + 6x_c - 12 = 3$, откуда $5x_c = 15$ и $x_c = 3$. Тогда $y_c = 3(3) - 6 = 3$. Центр окружности — точка $C(3; 3)$. Теперь найдем квадрат радиуса как квадрат расстояния от центра до точки $A$: $R^2 = CA^2 = (2 - 3)^2 + (0 - 3)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$. Итоговое уравнение окружности: $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$.
Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$.

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками A и B равно 4. Найдите геометрическое место точек X таких, что $XA^2 - XB^2 = 6$.

2. Катеты $\text{AC}$ и $\text{BC}$ прямоугольного треугольника $\text{ABC}$ равны 18 см и 24 см соответственно. На медиане $\text{CM}$ отметили точку $\text{K}$ так, что $\text{CK} : \text{KM} = 1 : 2$. Найдите расстояние от точки $\text{K}$ до середины катета $\text{AC}$.

3. Расстояние между точками A и B равно 2 см. Найдите геометрическое место точек C таких, что медиана $\text{AM}$ треугольника $\text{ABC}$ равна 3 см.

1.

Введем систему координат. Пусть отрезок AB лежит на оси Ox, а начало координат O — его середина. Так как расстояние между A и B равно 4, то координаты точек будут A(-2; 0) и B(2; 0). Пусть точка X имеет произвольные координаты (x; y). Найдем квадраты расстояний от точки X до точек A и B по формуле квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$XA^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2$

$XB^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$

Подставим эти выражения в заданное условие $XA^2 - XB^2 = 6$:

$(x^2 + 4x + 4 + y^2) - (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - x^2 + 4x - 4 - y^2 = 6$

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Полученное уравнение $x = \frac{3}{4}$ является уравнением прямой, параллельной оси Oy. Так как ось Oy в нашей системе координат является серединным перпендикуляром к отрезку AB, то искомое геометрическое место точек — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая на расстоянии $3/4$ от середины отрезка AB в сторону точки B.

Ответ: Прямая, перпендикулярная отрезку AB.

2.

Введем прямоугольную систему координат. Так как треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, удобно поместить вершину C в начало координат C(0; 0). Расположим катеты AC и BC вдоль осей координат. Пусть катет AC лежит на оси Ox, а катет BC — на оси Oy.

Исходя из длин катетов, координаты вершин треугольника будут:

C(0; 0)

A(18; 0)

B(0; 24)

CM — медиана, проведенная к гипотенузе AB, значит, точка M является серединой отрезка AB. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{18 + 0}{2} = 9$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 24}{2} = 12$

Таким образом, M(9; 12).

Точка K лежит на медиане CM и делит ее в отношении CK : KM = 1 : 2. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ составляет $1/3$ от вектора $\vec{CM}$. Так как C — начало координат, координаты точки K равны $1/3$ от координат точки M:

$x_K = \frac{1}{3} x_M = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$

$y_K = \frac{1}{3} y_M = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$

Итак, K(3; 4).

Теперь найдем координаты середины катета AC. Обозначим ее точкой P.

$x_P = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{18 + 0}{2} = 9$

$y_P = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$

Точка P имеет координаты P(9; 0).

Нам нужно найти расстояние от точки K до середины катета AC, то есть длину отрезка KP. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками K(3; 4) и P(9; 0):

$d(K, P) = \sqrt{(x_P - x_K)^2 + (y_P - y_K)^2} = \sqrt{(9 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

Упростим полученное значение: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

3.

Введем систему координат. Расположим точку A в начале координат A(0; 0), а точку B на оси Ox. Так как расстояние между A и B равно 2 см, координаты точки B будут B(2; 0). Пусть точка C имеет произвольные координаты (x; y).

Медиана AM соединяет вершину A с серединой M стороны BC. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + x}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Таким образом, M($\frac{x+2}{2}$; $\frac{y}{2}$).

По условию, длина медианы AM равна 3 см. Запишем квадрат длины отрезка AM, используя формулу расстояния между точками A(0; 0) и M:

$AM^2 = (\frac{x+2}{2} - 0)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2 = 3^2$

$(\frac{x+2}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 9$

$\frac{(x+2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 9$

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x+2)^2 + y^2 = 36$

$(x+2)^2 + (y-0)^2 = 6^2$

Это уравнение окружности с центром в точке O'(-2; 0) и радиусом R = 6.

Опишем это геометрическое место точек. Центр окружности O'(-2; 0) лежит на одной прямой с точками A(0; 0) и B(2; 0). При этом точка A является серединой отрезка O'B, так как ее координаты равны $(\frac{-2+2}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0;0)$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек C — это окружность с радиусом 6 см и центром в такой точке O', что точка A является серединой отрезка O'B.

Ответ: Окружность с радиусом 6 см и центром в точке O', для которой точка A является серединой отрезка O'B.