Страница 5 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 1 $AB = c$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle CAD = \beta$, $\angle D = \gamma$. Найдите отрезок $AD$.

2. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{2}$ см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{2} : 1$.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 11. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

Рис. 1

1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle B = 90^\circ$. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения $\angle BAC = \alpha$ и $AB = c$:

$\cos(\alpha) = \frac{c}{AC}$

Отсюда выразим гипотенузу $AC$, которая является общей стороной для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$:

$AC = \frac{c}{\cos(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Нам известна сторона $AC$ и два угла: $\angle CAD = \beta$ и $\angle D = \gamma$. Найдем третий угол треугольника, $\angle ACD$, используя теорему о сумме углов треугольника:

$\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle D) = 180^\circ - (\beta + \gamma)$

Применим теорему синусов для треугольника $\triangle ACD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle D)}$

Подставим известные значения углов:

$\frac{AD}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получим:

$\frac{AD}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$

Выразим искомую сторону $AD$:

$AD = AC \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)}$

Наконец, подставим ранее найденное выражение для стороны $AC$:

$AD = \frac{c}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)} = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

Ответ: $AD = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

2.

Пусть в треугольнике известны стороны $a = 3\sqrt{2}$ см и $b = 4$ см. Третью сторону обозначим $c$, а противолежащий ей угол — $C$. Радиус описанной окружности обозначим как $R$.

По условию, отношение третьей стороны к радиусу описанной окружности равно $\sqrt{2} : 1$, что можно записать в виде:

$\frac{c}{R} = \sqrt{2}$

Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Из соотношения $\frac{c}{\sin C} = 2R$ выразим отношение $\frac{c}{R}$:

$\frac{c}{R} = 2 \sin C$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\frac{c}{R}$:

$2 \sin C = \sqrt{2}$

$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для угла треугольника ($0^\circ < C < 180^\circ$) это уравнение имеет два возможных решения: $C_1 = 45^\circ$ и $C_2 = 135^\circ$. Рассмотрим оба случая, используя теорему косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ для нахождения стороны $c$.

Случай 1: $C = 45^\circ$.

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)$

$c^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 18 + 16 - 24 = 10$

$c = \sqrt{10}$ см.

Случай 2: $C = 135^\circ$.

$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$

$c^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 34 + 24 = 58$

$c = \sqrt{58}$ см.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $\sqrt{10}$ см или $\sqrt{58}$ см.

3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Обозначим этот угол $\angle DAB = \alpha$.

Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle BAC = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BCA = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Из этого следует, что $AB = BC = CD$, то есть боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.

По условию, основания относятся как 5:11. Пусть меньшее основание $BC = 5x$, а большее $AD = 11x$. Тогда боковая сторона $CD = BC = 5x$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $DH$, который является проекцией боковой стороны на большее основание, равна полуразности оснований:

$DH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{11x - 5x}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$. Острый угол трапеции при основании $AD$ — это $\angle D = \angle A = \alpha$. По определению косинуса:

$\cos(\alpha) = \cos(\angle D) = \frac{DH}{CD} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Так как $\alpha$ — острый угол, $\sin(\alpha)$ будет положительным. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для треугольника $\triangle ACD$. Применим для этого треугольника обобщенную теорему синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle D)} = 2R$

В этом соотношении $AC$ — искомая диагональ (обозначим ее $d$), $\angle D = \alpha$, а радиус описанной окружности по условию $R = 6$ см.

$\frac{d}{\sin(\alpha)} = 2 \cdot 6 = 12$

Выразим диагональ $d$:

$d = 12 \sin(\alpha) = 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.

Самостоятельная работа № 4

Решение треугольников

1. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см;

2) $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $\angle A = 20^\circ$.

2. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 4 см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$. Найдите стороны трапеции.

3. Меньшая сторона треугольника равна 4 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 8 : 9$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

1.

1) Дано: треугольник $ABC$, $AB = c = 3$ см, $BC = a = 4$ см, $AC = b = 6$ см.

Необходимо найти углы $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

Используем теорему косинусов:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{6^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 6 \cdot 3} = \frac{36 + 9 - 16}{36} = \frac{29}{36}$

$\angle A = \arccos\left(\frac{29}{36}\right) \approx 36.3^\circ$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 3^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{16 + 9 - 36}{24} = -\frac{11}{24}$

$\angle B = \arccos\left(-\frac{11}{24}\right) \approx 117.3^\circ$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 6^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 9}{48} = \frac{43}{48}$

$\angle C = \arccos\left(\frac{43}{48}\right) \approx 26.4^\circ$

Проверка: $\angle A + \angle B + \angle C \approx 36.3^\circ + 117.3^\circ + 26.4^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle A \approx 36.3^\circ$, $\angle B \approx 117.3^\circ$, $\angle C \approx 26.4^\circ$.

2) Дано: треугольник $ABC$, $AB = c = 6$ см, $BC = a = 5$ см, $\angle A = 20^\circ$.

Необходимо найти сторону $AC = b$ и углы $\angle B$, $\angle C$.

Используем теорему синусов для нахождения угла $C$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{6 \cdot \sin 20^\circ}{5} \approx \frac{6 \cdot 0.3420}{5} \approx 0.4104$

Уравнение $\sin C \approx 0.4104$ имеет два возможных решения для угла треугольника ($0^\circ < C < 180^\circ$):

$C_1 \approx \arcsin(0.4104) \approx 24.2^\circ$

$C_2 \approx 180^\circ - 24.2^\circ = 155.8^\circ$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\angle C_1 \approx 24.2^\circ$.

Тогда $\angle B_1 = 180^\circ - (\angle A + \angle C_1) \approx 180^\circ - (20^\circ + 24.2^\circ) = 135.8^\circ$.

Найдем сторону $b_1$ по теореме синусов:

$\frac{b_1}{\sin B_1} = \frac{a}{\sin A} \implies b_1 = \frac{a \cdot \sin B_1}{\sin A} \approx \frac{5 \cdot \sin 135.8^\circ}{\sin 20^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.6972}{0.3420} \approx 10.2$ см.

Случай 2: $\angle C_2 \approx 155.8^\circ$.

Тогда $\angle B_2 = 180^\circ - (\angle A + \angle C_2) \approx 180^\circ - (20^\circ + 155.8^\circ) = 4.2^\circ$.

Найдем сторону $b_2$ по теореме синусов:

$\frac{b_2}{\sin B_2} = \frac{a}{\sin A} \implies b_2 = \frac{a \cdot \sin B_2}{\sin A} \approx \frac{5 \cdot \sin 4.2^\circ}{\sin 20^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.0732}{0.3420} \approx 1.1$ см.

Задача имеет два решения.

Ответ: 1) $AC \approx 10.2$ см, $\angle B \approx 135.8^\circ$, $\angle C \approx 24.2^\circ$; 2) $AC \approx 1.1$ см, $\angle B \approx 4.2^\circ$, $\angle C \approx 155.8^\circ$.

2.

Дано: равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \| AD$). Диагональ $BD = 4$ см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$.

Необходимо найти стороны трапеции $AB$, $CD$, $BC$, $AD$.

В равнобокой трапеции боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях равны.

Угол при большем основании $AD$: $\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 36^\circ + 48^\circ = 84^\circ$.

Следовательно, другой угол при этом основании $\angle DAB = \angle CDA = 84^\circ$.

Углы при меньшем основании $BC$: $\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем сторону $BD=4$ см и два угла:

$\angle DAB = 84^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$.

Третий угол $\angle ABD = 180^\circ - (84^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$.

Так как $\angle ABD = \angle BDA = 48^\circ$, треугольник $ABD$ равнобедренный, $AB = AD$.

Применим теорему синусов для $\triangle ABD$:

$\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{BD}{\sin(\angle DAB)}$

$\frac{AB}{\sin 48^\circ} = \frac{4}{\sin 84^\circ} \implies AB = \frac{4 \cdot \sin 48^\circ}{\sin 84^\circ} \approx \frac{4 \cdot 0.7431}{0.9945} \approx 2.99$ см.

Поскольку трапеция равнобокая ($AB=CD$) и $\triangle ABD$ равнобедренный ($AB=AD$), то $AB = CD = AD \approx 2.99$ см.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Мы знаем сторону $BD=4$ см и углы:

$\angle BCD = 96^\circ$, $\angle CDB = 36^\circ$.

Так как $BC \| AD$, то $\angle CBD = \angle BDA = 48^\circ$ (накрест лежащие углы).

Применим теорему синусов для $\triangle BCD$:

$\frac{BC}{\sin(\angle CDB)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$

$BC = \frac{BD \cdot \sin(\angle CDB)}{\sin(\angle BCD)} = \frac{4 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 96^\circ} = \frac{4 \cdot \sin 36^\circ}{\sin(180^\circ - 84^\circ)} = \frac{4 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 84^\circ}$

$BC \approx \frac{4 \cdot 0.5878}{0.9945} \approx 2.36$ см.

Ответ: $AB = CD = AD \approx 2.99$ см, $BC \approx 2.36$ см.

3.

Пусть в треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB, BC, AC$ в точках $F, D, E$ соответственно. Градусные меры дуг, на которые точки касания делят окружность, относятся как $3:8:9$.

Пусть градусные меры дуг $\overset{\frown}{FE}, \overset{\frown}{ED}, \overset{\frown}{DF}$ равны $3x, 8x, 9x$.

Сумма дуг окружности равна $360^\circ$:

$3x + 8x + 9x = 360^\circ \implies 20x = 360^\circ \implies x = 18^\circ$.

Тогда градусные меры дуг равны:

$\overset{\frown}{FE} = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$ (между точками касания на сторонах $AC$ и $AB$)

$\overset{\frown}{ED} = 8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$ (между точками касания на сторонах $AC$ и $BC$)

$\overset{\frown}{DF} = 9 \cdot 18^\circ = 162^\circ$ (между точками касания на сторонах $BC$ и $AB$)

Углы треугольника $ABC$ связаны с величинами этих дуг. Угол треугольника и соответствующий центральный угол, опирающийся на дугу между точками касания на прилежащих сторонах, в сумме дают $180^\circ$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги.

$\angle A = 180^\circ - \overset{\frown}{FE} = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$

$\angle B = 180^\circ - \overset{\frown}{DF} = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$

$\angle C = 180^\circ - \overset{\frown}{ED} = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Проверка: $126^\circ + 18^\circ + 36^\circ = 180^\circ$.

Меньшая сторона треугольника лежит против меньшего угла. Меньший угол - $\angle B = 18^\circ$. Значит, противолежащая ему сторона $AC$ (обозначим $b$) является наименьшей.

По условию, $b = 4$ см.

Найдем остальные стороны $a$ (против $\angle A$) и $c$ (против $\angle C$) с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 126^\circ} = \frac{4}{\sin 18^\circ} = \frac{c}{\sin 36^\circ}$

Находим сторону $a$:

$a = \frac{4 \cdot \sin 126^\circ}{\sin 18^\circ} \approx \frac{4 \cdot 0.8090}{0.3090} \approx 10.47$ см.

Находим сторону $c$:

$c = \frac{4 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 18^\circ} \approx \frac{4 \cdot 0.5878}{0.3090} \approx 7.61$ см.

Ответ: Две другие стороны треугольника равны примерно $7.61$ см и $10.47$ см.