Страница 31 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $A (-5; 2)$ будет точка $B (3; -1)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $B$ будет точка $A$.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $3x + 5y = 2$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку $A (-2; 1)$.

3. Даны луч, прямая и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали данному лучу и данной прямой.

Пусть вектор параллельного переноса, переводящий точку $A(x_A; y_A)$ в точку $B(x_B; y_B)$, имеет координаты $\vec{p} = (a; b)$. Координаты этого вектора находятся по формулам: $a = x_B - x_A$ и $b = y_B - y_A$.

Найдем вектор $\vec{p_1}$, при параллельном переносе на который образом точки $A(–5; 2)$ будет точка $B(3; –1)$. $a_1 = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$ $b_1 = -1 - 2 = -3$ Следовательно, искомый вектор $\vec{p_1} = (8; -3)$.

Найдем вектор $\vec{p_2}$, при параллельном переносе на который образом точки $B(3; –1)$ будет точка $A(–5; 2)$. $a_2 = -5 - 3 = -8$ $b_2 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$ Следовательно, искомый вектор $\vec{p_2} = (-8; 3)$. Заметим, что $\vec{p_2} = -\vec{p_1}$.

Ответ: вектор переноса из A в B: $(8; -3)$; вектор переноса из B в A: $(-8; 3)$.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $3x + 5y = 2$, имеет вид $3x + 5y = C$, где $C$ — некоторое число.

Так как полученная прямая проходит через точку $A(–2; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим координаты точки $A$ в уравнение $3x + 5y = C$: $3 \cdot (–2) + 5 \cdot 1 = C$ $-6 + 5 = C$ $C = -1$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $3x + 5y = -1$.

Ответ: $3x + 5y = -1$.

Пусть даны луч $r$, прямая $l$ и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $MN$, равный и параллельный отрезку $AB$, концы которого $M$ и $N$ лежат на луче $r$ и прямой $l$ соответственно ($M \in r$, $N \in l$).

Условие, что отрезок $MN$ равен и параллелен отрезку $AB$, означает, что вектор $\vec{MN}$ должен быть равен либо вектору $\vec{AB}$, либо вектору $\vec{BA}$. Рассмотрим случай, когда $\vec{MN} = \vec{AB}$. Это означает, что точка $N$ является образом точки $M$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Поскольку точка $M$ должна лежать на луче $r$, ее образ, точка $N$, должна лежать на образе луча $r$ при том же параллельном переносе. Обозначим образ луча $r$ через $r'$. С другой стороны, точка $N$ по условию должна лежать на прямой $l$. Следовательно, точка $N$ является точкой пересечения прямой $l$ и образа луча $r'$, то есть $N = l \cap r'$.

Отсюда вытекает следующий алгоритм построения:

1. Строим образ луча $r$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Для этого: а) Выбираем начало луча $r$, точку $O$. б) Строим точку $O'$, являющуюся образом точки $O$ при переносе на вектор $\vec{AB}$ (т.е. $\vec{OO'} = \vec{AB}$). в) Через точку $O'$ проводим луч $r'$, параллельный и сонаправленный с лучом $r$.
2. Находим точку пересечения луча $r'$ и прямой $l$. Обозначим эту точку $N$. Если пересечения нет, то в данном направлении ($\vec{AB}$) решения нет.
3. Находим прообраз точки $N$, то есть точку $M$, которая при переносе на вектор $\vec{AB}$ переходит в $N$. Для этого выполняем обратный перенос: переносим точку $N$ на вектор $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Полученная точка $M$ будет лежать на исходном луче $r$.
4. Отрезок $MN$ является искомым.

Аналогичное построение можно выполнить для случая $\vec{MN} = \vec{BA}$, что может дать второе решение.

Ответ: Описание построения приведено выше.

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-2; -6)$.

3. Даны точки $M(-3; -1)$ и $N(-1; 5)$. Точка $Y$ принадлежит оси ординат. Найдите наименьшее значение выражения $MY + NY$.

1. В каком случае прямая m является осью симметрии окружности с центром O?

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две равные (симметричные) части. Для окружности любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Это связано с тем, что все точки окружности равноудалены от её центра. Таким образом, чтобы прямая $m$ была осью симметрии окружности с центром в точке $O$, она должна проходить через эту точку $O$.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$ в том случае, если она проходит через центр окружности, то есть точка $O$ принадлежит прямой $m$.

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты (–2; –6).

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, центр ромба находится в начале координат $(0, 0)$, а его вершины лежат на осях. Обозначим вершины ромба как $A$, $B$, $C$ и $D$. Пусть их координаты будут $A(a, 0)$, $B(0, b)$, $C(-a, 0)$ и $D(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Дана середина одной из сторон с координатами $(-2; -6)$. Так как обе координаты отрицательны, эта точка находится в III координатной четверти. Сторона ромба, середина которой лежит в III четверти, соединяет вершины, лежащие на отрицательных полуосях, то есть вершины $C(-a, 0)$ и $D(0, -b)$.

Пусть точка $K(-2; -6)$ – середина стороны $CD$. Воспользуемся формулой координат середины отрезка: $x_K = \frac{x_C + x_D}{2}$ и $y_K = \frac{y_C + y_D}{2}$.

Подставим координаты точек $C$ и $D$:

$-2 = \frac{-a + 0}{2} \implies -2 = \frac{-a}{2} \implies a = 4$.

$-6 = \frac{0 + (-b)}{2} \implies -6 = \frac{-b}{2} \implies b = 12$.

Теперь, зная значения $a$ и $b$, мы можем найти координаты всех вершин ромба:

$A(a, 0) \implies A(4, 0)$

$B(0, b) \implies B(0, 12)$

$C(-a, 0) \implies C(-4, 0)$

$D(0, -b) \implies D(0, -12)$

Ответ: Координаты вершин ромба: $(4; 0)$, $(0; 12)$, $(-4; 0)$, $(0; -12)$.

3. Даны точки M(–3; –1) и N(–1; 5). Точка Y принадлежит оси ординат. Найдите наименьшее значение выражения MY + NY.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы расстояний $MY + NY$, где точка $Y$ лежит на оси ординат (оси $Oy$). Координаты точки $Y$ имеют вид $(0, y)$. Точки $M(-3; -1)$ и $N(-1; 5)$ находятся по одну сторону от оси ординат (в левой полуплоскости, так как их абсциссы отрицательны).

Для решения этой задачи используем метод осевой симметрии. Отразим одну из точек, например $M$, симметрично относительно оси $Oy$. Обозначим симметричную точку как $M'$. При симметрии относительно оси ординат координата $x$ меняет знак, а координата $y$ остается прежней. Таким образом, координаты точки $M'$ будут $(3; -1)$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $Y$ на оси симметрии (оси $Oy$) расстояние $MY$ равно расстоянию $M'Y$. Следовательно, выражение $MY + NY$ можно заменить на эквивалентное ему $M'Y + NY$.

Сумма расстояний $M'Y + NY$ будет наименьшей, когда точки $M'$, $Y$ и $N$ лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы будет равно длине отрезка $M'N$.

Найдем расстояние между точками $M'(3; -1)$ и $N(-1; 5)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$M'N = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Упростим полученное значение: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $MY + NY$ равно $2\sqrt{13}$.

Ответ: $2\sqrt{13}$.

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $M(x; -3)$ и $B(2; y)$ симметричны относительно точки $C(3; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x + 2y = 4$ относительно точки $M(4; -2)$.

3. Даны угол, прямая и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит стороне данного угла, а другой — данной прямой.

1.

Если точки $M(x_M; y_M)$ и $B(x_B; y_B)$ симметричны относительно точки $C(x_C; y_C)$, то точка $C$ является серединой отрезка $MB$. Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_C = \frac{x_M + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_M + y_B}{2}$

Подставим координаты данных точек $M(x; -3)$, $B(2; y)$ и $C(3; -2)$ в эти формулы.

Для координаты $x$:

$3 = \frac{x + 2}{2}$

$6 = x + 2$

$x = 4$

Для координаты $y$:

$-2 = \frac{-3 + y}{2}$

$-4 = -3 + y$

$y = -1$

Ответ: $x = 4, y = -1$.

2.

Пусть искомая прямая $l'$ симметрична данной прямой $l: 3x + 2y = 4$ относительно точки $M(4; -2)$. При центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, уравнение искомой прямой $l'$ будет иметь вид $3x + 2y = C$ для некоторой константы $C$.

Воспользуемся формулами центральной симметрии. Пусть произвольная точка $A(x; y)$ принадлежит прямой $l$, а точка $A'(x'; y')$, симметричная ей относительно $M(4; -2)$, принадлежит искомой прямой $l'$. Координаты этих точек связаны соотношениями:

$x_M = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow 4 = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow x = 8 - x'$

$y_M = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow -2 = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow y = -4 - y'$

Подставим выражения для $x$ и $y$ в уравнение исходной прямой $l$:

$3(8 - x') + 2(-4 - y') = 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$24 - 3x' - 8 - 2y' = 4$

$16 - 3x' - 2y' = 4$

$-3x' - 2y' = 4 - 16$

$-3x' - 2y' = -12$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$3x' + 2y' = 12$

Это уравнение для точек $(x'; y')$ на симметричной прямой. Заменив $x'$ на $x$ и $y'$ на $y$, получим уравнение искомой прямой.

Ответ: $3x + 2y = 12$.

3.

Пусть даны угол со сторонами $r_1$ и $r_2$, прямая $l$ и точка $P$. Искомый отрезок обозначим $XY$, где $P$ — его середина, точка $X$ лежит на одной из сторон угла, а точка $Y$ — на прямой $l$.

Метод построения.

Построение основано на свойстве центральной симметрии. Если точка $P$ является серединой отрезка $XY$, то точки $X$ и $Y$ симметричны относительно центра $P$.

Поскольку точка $Y$ лежит на прямой $l$, то симметричная ей точка $X$ должна лежать на прямой $l'$, которая является образом прямой $l$ при симметрии относительно точки $P$. В то же время, по условию, точка $X$ должна лежать на одной из сторон угла ($r_1$ или $r_2$). Таким образом, точка $X$ является точкой пересечения прямой $l'$ со стороной угла.

Алгоритм построения:

1. Построить прямую $l'$, симметричную данной прямой $l$ относительно точки $P$. Для этого:

а) Выбрать на прямой $l$ любую точку $A$.

б) Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно $P$.

в) Через точку $A'$ провести прямую $l'$, параллельную прямой $l$. Это и будет искомый образ.

2. Найти точки пересечения прямой $l'$ со сторонами угла $r_1$ и $r_2$. Обозначим эти точки $X_1$ (на $r_1$) и $X_2$ (на $r_2$), если они существуют.

3. Если точка пересечения $X_1$ найдена, то она является одним концом искомого отрезка. Чтобы найти второй конец $Y_1$, нужно построить точку, симметричную $X_1$ относительно $P$. Для этого соединяем $X_1$ и $P$ прямой и на ее продолжении за точку $P$ откладываем отрезок $PY_1 = PX_1$. Точка $Y_1$ по построению будет лежать на исходной прямой $l$. Отрезок $X_1Y_1$ — одно из решений задачи.

4. Аналогично, если найдена точка $X_2$, строится отрезок $X_2Y_2$, который является вторым решением.

В зависимости от взаимного расположения фигур задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Алгоритм построения заключается в том, чтобы построить образ $l'$ данной прямой относительно данной точки, найти точки пересечения $X$ этого образа со сторонами данного угла, а затем для каждой найденной точки $X$ построить симметричную ей точку $Y$ относительно данной точки. Отрезок $XY$ будет искомым.