Номер 16, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(-6; 2)$ и $\vec{b}(3; -4)$. Найдите координаты вектора:

1) $\vec{a} + 3\vec{b}$;

2) $5\vec{b} - 2\vec{a}$.

2. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $F$ соответственно так, что $AP = \frac{1}{5}AB$, $BF = \frac{5}{6}BC$. Выразите вектор $\vec{PF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

3. На стороне $BC$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $F$ и $K$ так, что $CF : FB = 1 : 8$, $CK : KA = 1 : 9$. Используя векторы, докажите, что точки $D, K$ и $F$ лежат на одной прямой.

1) Для нахождения координат вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$ сначала умножим вектор $\vec{b}$ на число 3, а затем сложим полученный вектор с вектором $\vec{a}$.
Координаты вектора $\vec{a}$: $(-6; 2)$.
Координаты вектора $\vec{b}$: $(3; -4)$.
$3\vec{b} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$.
$\vec{a} + 3\vec{b} = (-6; 2) + (9; -12) = (-6 + 9; 2 + (-12)) = (3; -10)$.
Ответ: $(3; -10)$

2) Для нахождения координат вектора $5\vec{b} - 2\vec{a}$ сначала умножим векторы $\vec{b}$ и $\vec{a}$ на соответствующие числа, а затем найдем разность полученных векторов.
$5\vec{b} = (5 \cdot 3; 5 \cdot (-4)) = (15; -20)$.
$2\vec{a} = (2 \cdot (-6); 2 \cdot 2) = (-12; 4)$.
$5\vec{b} - 2\vec{a} = (15; -20) - (-12; 4) = (15 - (-12); -20 - 4) = (15 + 12; -24) = (27; -24)$.
Ответ: $(27; -24)$

2. Выразим вектор $\vec{PF}$ по правилу треугольника: $\vec{PF} = \vec{PB} + \vec{BF}$.
Поскольку ABCD – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.
По условию $\vec{DA} = \vec{a}$, тогда $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{a}$.
Из условия $\vec{BF} = \frac{5}{6}\vec{BC}$, получаем: $\vec{BF} = \frac{5}{6}(-\vec{a}) = -\frac{5}{6}\vec{a}$.
Точка P лежит на стороне AB, и по условию $\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB}$. Вектор $\vec{PB}$ можно выразить как $\vec{PB} = \vec{AB} - \vec{AP}$.
$\vec{PB} = \vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AB} = \frac{4}{5}\vec{AB}$.
Так как $\vec{AB} = \vec{b}$, то $\vec{PB} = \frac{4}{5}\vec{b}$.
Теперь подставим найденные выражения для $\vec{PB}$ и $\vec{BF}$ в исходную формулу:
$\vec{PF} = \vec{PB} + \vec{BF} = \frac{4}{5}\vec{b} - \frac{5}{6}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{PF} = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

3. Для доказательства того, что точки D, K и F лежат на одной прямой, необходимо показать, что векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число: $\vec{DF} = m \cdot \vec{DK}$.
Введем базисные векторы, отложенные от вершины D: пусть $\vec{DA} = \vec{x}$ и $\vec{DC} = \vec{y}$.
Выразим вектор $\vec{DF}$ через базисные. По правилу треугольника $\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CF}$.
Из условия $CF : FB = 1 : 8$ следует, что $CF = \frac{1}{1+8}BC = \frac{1}{9}BC$. Векторно это записывается как $\vec{CF} = \frac{1}{9}\vec{CB}$.
В параллелограмме ABCD векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ равны, то есть $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{x}$.
Следовательно, $\vec{CF} = \frac{1}{9}\vec{x}$.
Тогда $\vec{DF} = \vec{y} + \frac{1}{9}\vec{x}$.
Теперь выразим вектор $\vec{DK}$ через базисные. Точка K лежит на диагонали AC. По правилу треугольника $\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK}$.
Из условия $CK : KA = 1 : 9$ следует, что $AK = \frac{9}{1+9}AC = \frac{9}{10}AC$. Векторно это $\vec{AK} = \frac{9}{10}\vec{AC}$.
Выразим диагональ $\vec{AC}$ через базис: $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = -\vec{DA} + \vec{DC} = -\vec{x} + \vec{y}$.
Тогда $\vec{AK} = \frac{9}{10}(-\vec{x} + \vec{y})$.
Подставим в выражение для $\vec{DK}$: $\vec{DK} = \vec{x} + \frac{9}{10}(-\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} - \frac{9}{10}\vec{x} + \frac{9}{10}\vec{y} = \frac{1}{10}\vec{x} + \frac{9}{10}\vec{y}$.
Сравним векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$:
$\vec{DF} = \frac{1}{9}\vec{x} + \vec{y} = \frac{1}{9}(\vec{x} + 9\vec{y})$
$\vec{DK} = \frac{1}{10}\vec{x} + \frac{9}{10}\vec{y} = \frac{1}{10}(\vec{x} + 9\vec{y})$
Из этих выражений видно, что $\vec{DF} = \frac{10}{9} \cdot \left( \frac{1}{10}(\vec{x} + 9\vec{y}) \right) = \frac{10}{9}\vec{DK}$.
Поскольку вектор $\vec{DF}$ является произведением вектора $\vec{DK}$ на число ($\frac{10}{9}$), векторы коллинеарны. Так как они имеют общее начало в точке D, то точки D, K и F лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки D, K и F лежат на одной прямой.