Номер 22, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $CD$ и точка $O$ (рис. 15).

Постройте образ отрезка $CD$ при повороте на угол $150^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

2. Образом точки $A (a; 6)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ против часовой стрелки является точка $B (b; -7)$. Найдите $a$ и $b$.

3. Даны прямая, окружность и точка $A$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой.

Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной в точке $A$ и углом при вершине, равным $45^\circ$, так, чтобы вершины $B$ и $C$ принадлежали соответственно данной окружности и данной прямой.

Рис. 15

Для построения образа отрезка $CD$ при повороте необходимо построить образы его конечных точек, $C$ и $D$. Пусть $C'$ и $D'$ — образы точек $C$ и $D$ соответственно. Тогда отрезок $C'D'$ будет искомым образом отрезка $CD$.

Порядок построения:

1. Построение точки $C'$ (образа точки $C$):
   1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $C$ отрезком $OC$.
   2. С помощью транспортира отложим от луча $OC$ угол, равный $150^\circ$, по часовой стрелке. Получим новый луч.
   3. На этом луче от точки $O$ отложим отрезок $OC'$, равный по длине отрезку $OC$. Точка $C'$ — искомый образ точки $C$.
2. Построение точки $D'$ (образа точки $D$):
   1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $D$ отрезком $OD$.
   2. От луча $OD$ отложим угол $150^\circ$ по часовой стрелке.
   3. На полученном луче от точки $O$ отложим отрезок $OD'$, равный по длине отрезку $OD$. Точка $D'$ — искомый образ точки $D$.
3. Построение образа отрезка:
   1. Соединим точки $C'$ и $D'$ отрезком.

Полученный отрезок $C'D'$ является образом отрезка $CD$ при повороте на угол $150^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

Ответ: Построенный отрезок $C'D'$ является искомым образом.

Формула поворота точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат на угол $90^\circ$ против часовой стрелки имеет вид: $(x; y) \rightarrow (-y; x)$.

Исходная точка — $A(a; 6)$. Применяя к ней данное преобразование, где $x=a$ и $y=6$, получаем координаты её образа: $(-6; a)$.

По условию, образом точки $A$ является точка $B(b; -7)$. Следовательно, мы можем приравнять соответствующие координаты:

$(-6; a) = (b; -7)$

Отсюда получаем систему уравнений:

$\begin{cases} b = -6 \\ a = -7 \end{cases}$

Таким образом, искомые значения: $a = -7$ и $b = -6$.

Ответ: $a = -7$, $b = -6$.

Пусть дана прямая $l$, окружность $\omega$ и точка $A$. Требуется построить равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$, у которого $\angle BAC = 45^\circ$, $B \in \omega$ и $C \in l$.

Условия, что $ABC$ — равнобедренный треугольник с вершиной $A$ ($AB=AC$) и $\angle BAC = 45^\circ$, означают, что точка $C$ является образом точки $B$ при повороте вокруг точки $A$ на угол $45^\circ$ (или $-45^\circ$).

Рассмотрим поворот $R$ вокруг точки $A$ на угол $45^\circ$ против часовой стрелки. Так как точка $B$ лежит на окружности $\omega$, ее образ $C = R(B)$ должен лежать на образе окружности $\omega$, то есть на окружности $\omega' = R(\omega)$. По условию, точка $C$ также лежит на прямой $l$. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения прямой $l$ и окружности $\omega'$.

Это приводит к следующему плану построения:

1. Строим образ окружности. Поворачиваем данную окружность $\omega$ вокруг точки $A$ на $45^\circ$ против часовой стрелки. Для этого:
   1. Находим центр $O$ и радиус $r$ окружности $\omega$.
   2. Строим точку $O'$, которая является образом точки $O$ при повороте вокруг $A$ на $45^\circ$.
   3. Строим новую окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$.
2. Находим вершину $C$. Находим точки пересечения построенной окружности $\omega'$ и данной прямой $l$. Любая из этих точек может быть вершиной $C$. Если пересечения нет, то для данного направления поворота решения не существует. Выберем одну из точек пересечения и обозначим её $C$.
3. Находим вершину $B$. Так как $C$ — образ $B$ при повороте на $45^\circ$, то $B$ — это образ $C$ при обратном повороте (на $45^\circ$ по часовой стрелке). Строим точку $B$, поворачивая точку $C$ вокруг $A$ на $45^\circ$ по часовой стрелке. По построению, точка $B$ будет лежать на исходной окружности $\omega$.
4. Строим треугольник. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Примечание: в общем случае задача может иметь до четырёх решений, так как поворот можно совершать в двух направлениях (по и против часовой стрелки), и в каждом случае прямая может пересекать повернутую окружность в двух точках.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по приведённому алгоритму.