Номер 13, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали квадрата $CDEF$ пересекаются в точке $O$. Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{CD}$; 2) $\vec{DE}$; 3) $\vec{EO}$; 4) $\vec{FO}$.

2. В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 17$ см, $BD = 16$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{AC}|$; 2) $|\vec{AO}|$; 3) $|\vec{DO}|$.

3. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}|$. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

1. В квадрате CDEF противоположные стороны попарно параллельны и равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам. Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. Исходя из этих свойств:

1) $\vec{CD}$

Сторона FE параллельна стороне CD и равна ей по длине. Направление от точки F к точке E совпадает с направлением от точки C к точке D. Следовательно, $\vec{CD} = \vec{FE}$.

Ответ: $\vec{FE}$.

2) $\vec{DE}$

Сторона CF параллельна стороне DE и равна ей по длине. Направление от точки C к точке F совпадает с направлением от точки D к точке E. Следовательно, $\vec{DE} = \vec{CF}$.

Ответ: $\vec{CF}$.

3) $\vec{EO}$

Диагонали квадрата в точке пересечения O делятся пополам, поэтому длина отрезка EO равна длине отрезка OC. Векторы $\vec{EO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой (диагонали CE) и направлены в одну и ту же сторону (от E к C). Следовательно, $\vec{EO} = \vec{OC}$.

Ответ: $\vec{OC}$.

4) $\vec{FO}$

Диагонали квадрата в точке пересечения O делятся пополам, поэтому длина отрезка FO равна длине отрезка OD. Векторы $\vec{FO}$ и $\vec{OD}$ лежат на одной прямой (диагонали FD) и направлены в одну и ту же сторону (от F к D). Следовательно, $\vec{FO} = \vec{OD}$.

Ответ: $\vec{OD}$.

2. В ромбе ABCD диагонали перпендикулярны и в точке пересечения O делятся пополам. Все стороны ромба равны, значит $AB = BC = CD = DA = 17$ см. Дано, что диагональ $BD = 16$ см.

1) $|\vec{AC}|$

Рассмотрим треугольник AOB. Он прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($\angle AOB = 90^\circ$). Гипотенуза $AB = 17$ см. Катет BO равен половине диагонали BD: $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

По теореме Пифагора найдём катет AO:

$AO^2 + BO^2 = AB^2$

$AO^2 = AB^2 - BO^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$AO = \sqrt{225} = 15$ см.

Точка O делит диагональ AC пополам, значит, $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Длина вектора $|\vec{AC}|$ равна длине отрезка AC.

Ответ: 30 см.

2) $|\vec{AO}|$

Длина вектора $|\vec{AO}|$ равна длине отрезка AO, которую мы нашли в предыдущем пункте.

$AO = 15$ см.

Ответ: 15 см.

3) $|\vec{DO}|$

Точка O делит диагональ BD пополам, значит, $DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Длина вектора $|\vec{DO}|$ равна длине отрезка DO.

Ответ: 8 см.

3. Дан четырёхугольник ABCD. Рассмотрим заданные условия:

1. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны. Это означает, что прямые, на которых лежат эти векторы, параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет, является трапецией. Значит, ABCD — трапеция с основаниями BC и AD.

2. Известно, что $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$. Это означает, что длины боковых сторон трапеции AB и CD равны.

Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной (или равнобокой) трапецией.

3. Условие $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$ говорит о том, что длина меньшего основания равна длине боковой стороны. Это дополнительная характеристика данной трапеции, но она не меняет её основной вид.

Следовательно, четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.

Ответ: Равнобедренная трапеция.