Номер 14, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. Точка $F (-1; 4)$ — конец вектора $\vec{b} (7; -9)$. Найдите координаты начала вектора $\vec{b}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $B(-2; 7)$, $C(-4; 16)$ и $D(1; 5)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $A$.

3. Точки $B (5; -3)$ и $C (5; 4)$ — вершины прямоугольника $ABCD$. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 25. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

1. Точка F (–1; 4) — конец вектора $ \vec{b}(7; –9) $. Найдите координаты начала вектора $ \vec{b} $.

Пусть начало вектора $ \vec{b} $ — точка $ S(x; y) $, а конец — точка $ F(-1; 4) $. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Таким образом, для вектора $ \vec{b}(b_x; b_y) $ имеем:

$ b_x = x_F - x_S $

$ b_y = y_F - y_S $

Подставим известные значения: $ \vec{b}(7; -9) $ и $ F(-1; 4) $.

$ 7 = -1 - x $

$ -9 = 4 - y $

Из первого уравнения находим $ x $:

$ x = -1 - 7 = -8 $

Из второго уравнения находим $ y $:

$ y = 4 - (-9) = 4 + 9 = 13 $

Следовательно, координаты начала вектора — точка $ S(-8; 13) $.

Ответ: $(-8; 13)$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: B(–2; 7), C(–4; 16) и D(1; 5). Используя векторы, найдите координаты вершины A.

В параллелограмме $ ABCD $ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $ \vec{AD} = \vec{BC} $ (или $ \vec{AB} = \vec{DC} $).

Пусть искомая вершина $ A $ имеет координаты $ (x; y) $.

Используем равенство векторов $ \vec{AD} = \vec{BC} $.

Найдём координаты вектора $ \vec{BC} $, зная координаты точек $ B(-2; 7) $ и $ C(-4; 16) $:

$ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-4 - (-2); 16 - 7) = (-2; 9) $

Теперь найдём координаты вектора $ \vec{AD} $, зная координаты точки $ D(1; 5) $ и предполагая $ A(x; y) $:

$ \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (1 - x; 5 - y) $

Так как $ \vec{AD} = \vec{BC} $, их соответствующие координаты равны:

$ 1 - x = -2 $

$ 5 - y = 9 $

Решим эти уравнения:

$ x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 $

$ y = 5 - 9 = -4 $

Таким образом, координаты вершины $ A $ равны $ (3; -4) $.

Ответ: $ A(3; -4) $.

3. Точки B (5; –3) и C (5; 4) — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $ \vec{AC} $ равен 25. Найдите координаты вершин A и D.

Поскольку $ ABCD $ — прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны. В частности, сторона $ AB $ перпендикулярна стороне $ BC $, а значит $ \vec{AB} \perp \vec{BC} $.

Пусть координаты вершины $ A $ равны $ (x_A; y_A) $.

Найдём координаты вектора $ \vec{BC} $:

$ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (5 - 5; 4 - (-3)) = (0; 7) $

Найдём координаты вектора $ \vec{AB} $:

$ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - x_A; -3 - y_A) $

Условие перпендикулярности векторов $ \vec{AB} $ и $ \vec{BC} $ — это равенство их скалярного произведения нулю: $ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 $.

$ (5 - x_A) \cdot 0 + (-3 - y_A) \cdot 7 = 0 $

$ 7(-3 - y_A) = 0 $

$ -3 - y_A = 0 \implies y_A = -3 $

Теперь мы знаем, что ордината точки $ A $ равна -3. Найдём её абсциссу, используя условие, что модуль (длина) вектора $ \vec{AC} $ равен 25.

Найдём координаты вектора $ \vec{AC} $:

$ \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (5 - x_A; 4 - (-3)) = (5 - x_A; 7) $

Модуль вектора $ |\vec{AC}| $ вычисляется по формуле $ \sqrt{(x_{AC})^2 + (y_{AC})^2} $.

$ |\vec{AC}| = \sqrt{(5 - x_A)^2 + 7^2} = 25 $

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$ (5 - x_A)^2 + 49 = 625 $

$ (5 - x_A)^2 = 625 - 49 = 576 $

$ 5 - x_A = \pm\sqrt{576} $

$ 5 - x_A = \pm 24 $

Это даёт два возможных значения для $ x_A $:

1) $ 5 - x_A = 24 \implies x_A = 5 - 24 = -19 $. Тогда $ A_1(-19; -3) $.

2) $ 5 - x_A = -24 \implies x_A = 5 + 24 = 29 $. Тогда $ A_2(29; -3) $.

Для каждого случая найдём координаты вершины $ D(x_D; y_D) $. В прямоугольнике, как и в любом параллелограмме, $ \vec{AD} = \vec{BC} $.

$ \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) $, а $ \vec{BC} = (0; 7) $. Приравнивая координаты, получаем:

$ x_D - x_A = 0 \implies x_D = x_A $

$ y_D - y_A = 7 \implies y_D = y_A + 7 $

Рассмотрим оба случая:

1) Если $ A_1(-19; -3) $, то $ x_D = -19 $ и $ y_D = -3 + 7 = 4 $. Получаем $ D_1(-19; 4) $.

2) Если $ A_2(29; -3) $, то $ x_D = 29 $ и $ y_D = -3 + 7 = 4 $. Получаем $ D_2(29; 4) $.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $ A(-19; -3), D(-19; 4) $ или $ A(29; -3), D(29; 4) $.