Номер 3, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 13 $AC = a$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABD = \beta$, $BD = c$. Найдите синус угла BAD.

Рис. 13

2. Две стороны треугольника равны $4\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как $1 : 17$. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 30 см.

1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (поскольку $\angle C = 90^\circ$).

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$

$\cos(\alpha) = \frac{a}{AB}$

Отсюда выразим сторону $AB$:

$AB = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известны две стороны $AB = \frac{a}{\cos(\alpha)}$ и $BD = c$, а также угол между ними $\angle ABD = \beta$. Нам нужно найти синус угла $BAD$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (\angle BAD + \beta)$.

Поскольку $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(\angle ADB) = \sin(\angle BAD + \beta)$.

Подставим известные значения и выражения в теорему синусов:

$\frac{c}{\sin(\angle BAD)} = \frac{a/\cos(\alpha)}{\sin(\angle BAD + \beta)}$

Преобразуем это уравнение:

$c \cdot \sin(\angle BAD + \beta) = \frac{a}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\angle BAD)$

$c \cos(\alpha) \sin(\angle BAD + \beta) = a \sin(\angle BAD)$

Используем формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Пусть $\gamma = \angle BAD$.

$c \cos(\alpha) (\sin \gamma \cos \beta + \cos \gamma \sin \beta) = a \sin \gamma$

$c \cos(\alpha) \sin \gamma \cos \beta + c \cos(\alpha) \cos \gamma \sin \beta = a \sin \gamma$

Перегруппируем слагаемые:

$c \cos(\alpha) \cos \gamma \sin \beta = a \sin \gamma - c \cos(\alpha) \sin \gamma \cos \beta$

$c \cos(\alpha) \cos \gamma \sin \beta = (a - c \cos(\alpha) \cos \beta) \sin \gamma$

Разделив обе части на $\cos \gamma$ (предполагая, что $\cos \gamma \neq 0$), получим выражение для тангенса угла $\gamma$:

$\tan \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{c \cos(\alpha) \sin(\beta)}{a - c \cos(\alpha) \cos(\beta)}$

Зная тангенс, мы можем найти синус, используя тождество $1 + \tan^2 \gamma = \frac{1}{\cos^2 \gamma}$ и $\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma$, или проще $\sin \gamma = \frac{\tan \gamma}{\sqrt{1+\tan^2 \gamma}}$ (для острого угла).

Пусть $N = c \cos(\alpha) \sin(\beta)$ и $D = a - c \cos(\alpha) \cos(\beta)$. Тогда $\tan \gamma = \frac{N}{D}$.

$\sin \gamma = \frac{N/D}{\sqrt{1 + (N/D)^2}} = \frac{N}{\sqrt{D^2 + N^2}}$

Найдем $D^2 + N^2$:

$D^2 + N^2 = (a - c \cos(\alpha) \cos(\beta))^2 + (c \cos(\alpha) \sin(\beta))^2$

$= a^2 - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha) \cos^2(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha) \sin^2(\beta)$

$= a^2 - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha) (\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta))$

$= a^2 - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta) + c^2 \cos^2(\alpha)$

Таким образом, синус искомого угла равен:

$\sin(\angle BAD) = \frac{c \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\sqrt{a^2 + c^2 \cos^2(\alpha) - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta)}}$

Ответ: $\sin(\angle BAD) = \frac{c \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\sqrt{a^2 + c^2 \cos^2(\alpha) - 2ac \cos(\alpha) \cos(\beta)}}$

2.

Пусть стороны треугольника $a = 4\sqrt{3}$ см, $b = 8$ см, а третья сторона равна $c$. По условию, третья сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $c = R$.

Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение:

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

где $C$ - угол, противолежащий стороне $c$.

Подставим в это соотношение условие $c = R$:

$\frac{R}{\sin C} = 2R$

Поскольку $R > 0$, мы можем разделить обе части на $R$:

$\frac{1}{\sin C} = 2 \implies \sin C = \frac{1}{2}$

Угол $C$ в треугольнике может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$. Рассмотрим оба случая.

Для нахождения стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

Случай 1: $C = 30^\circ$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2(4\sqrt{3})(8) \cos(30^\circ)$

$c^2 = 48 + 64 - 64\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 112 - 32 \cdot 3 = 112 - 96 = 16$

$c = 4$ см. Проверим условие $c=R$. $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{4}{2 \cdot (1/2)} = 4$. Условие выполняется.

Случай 2: $C = 150^\circ$

$\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = (4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2(4\sqrt{3})(8) \cos(150^\circ)$

$c^2 = 48 + 64 - 64\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 112 + 32 \cdot 3 = 112 + 96 = 208$

$c = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см. Проверим условие $c=R$. $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{4\sqrt{13}}{2 \cdot \sin(150^\circ)} = \frac{4\sqrt{13}}{2 \cdot (1/2)} = 4\sqrt{13}$. Условие выполняется.

Оба значения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 4 см или $4\sqrt{13}$ см.

3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB = CD = c$.

Пусть диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Тогда $\angle BCA = \angle ACD$.

Так как $BC || AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие. Следовательно, $\angle ACD = \angle CAD$.

Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным, и его стороны, лежащие против равных углов, равны: $CD = AD$.

Таким образом, боковая сторона трапеции равна ее большему основанию: $c = AD$.

По условию, основания относятся как $1:17$. Пусть $BC=k$, тогда $AD=17k$.

Следовательно, боковая сторона $c = CD = AD = 17k$.

Найдем длину диагонали $d=AC$. Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $ED$ равен полуразности оснований:

$ED = \frac{AD-BC}{2} = \frac{17k-k}{2} = 8k$

В прямоугольном треугольнике $CED$ найдем косинус угла $D$:

$\cos(\angle D) = \frac{ED}{CD} = \frac{8k}{17k} = \frac{8}{17}$

Теперь в треугольнике $ACD$ применим теорему косинусов для нахождения диагонали $AC$:

$AC^2 = CD^2 + AD^2 - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos(\angle D)$

$d^2 = (17k)^2 + (17k)^2 - 2(17k)(17k) \frac{8}{17}$

$d^2 = 2(17k)^2 - 2(17k)^2 \frac{8}{17} = 2(17k)^2 \left(1 - \frac{8}{17}\right) = 2(17k)^2 \frac{9}{17}$

$d^2 = 2 \cdot 17k^2 \cdot 9 = 306k^2$

$d = \sqrt{306}k = 3\sqrt{34}k$

Любую равнобокую трапецию можно вписать в окружность. Радиус этой окружности $R=30$ см. Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного ее вершинами, например, для $\triangle ACD$.

По обобщенной теореме синусов для $\triangle ACD$:

$\frac{AC}{\sin(\angle D)} = 2R$

Найдем $\sin(\angle D)$, зная $\cos(\angle D) = \frac{8}{17}$ (угол $D$ острый):

$\sin(\angle D) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle D)} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$

Подставим все известные значения в формулу:

$\frac{3\sqrt{34}k}{15/17} = 2 \cdot 30 = 60$

$\frac{3\sqrt{34}k \cdot 17}{15} = 60$

$\frac{17\sqrt{34}k}{5} = 60$

$17\sqrt{34}k = 300 \implies k = \frac{300}{17\sqrt{34}}$

Теперь найдем длину диагонали $d$:

$d = 3\sqrt{34}k = 3\sqrt{34} \cdot \frac{300}{17\sqrt{34}} = \frac{3 \cdot 300}{17} = \frac{900}{17}$

Ответ: $\frac{900}{17}$ см.