Номер 18, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Преобразование $f$ четырёхугольника $ABCD$ таково, что $f(A) = B$, $f(B) = C$, $f(C) = D$, $f(D) = A$, а для любой точки $X$ четырёхугольника $ABCD$, отличной от точек $A$, $B$, $C$ и $D$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон квадрата, при котором её образом является окружность, вписанная в данный квадрат.

3. Каждой точке графика функции $y = \frac{1}{x}$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось абсцисс;

2) прямую $y = x$.

Является ли данное преобразование обратимым?

1.

Тождественное преобразование — это преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается сама в себя. То есть для любой точки $P$ фигуры должно выполняться равенство $f(P) = P$.

В условии задачи дано преобразование $f$ четырехугольника $ABCD$, для которого:

• $f(A) = B$
• $f(B) = C$
• $f(C) = D$
• $f(D) = A$
• Для любой точки $X$ четырехугольника, отличной от вершин $A, B, C, D$, выполняется $f(X) = X$.

Рассмотрим вершины четырехугольника, которые являются точками этой фигуры. Так как $A, B, C, D$ — вершины четырехугольника, то они являются различными точками, то есть $A \neq B$, $B \neq C$, и так далее.

Для точки $A$ имеем $f(A) = B$. Поскольку $A \neq B$, условие тождественного преобразования $f(A) = A$ не выполняется. Аналогично, оно не выполняется и для других вершин: $f(B) = C \neq B$, $f(C) = D \neq C$, $f(D) = A \neq D$.

Поскольку существуют точки (а именно, все четыре вершины), которые не отображаются сами в себя, данное преобразование $f$ не является тождественным.

Ответ: Нет, преобразование $f$ не является тождественным.

2.

Пусть дан квадрат и вписанная в него окружность. Обозначим центр квадрата, который также является центром вписанной окружности, как точку $O$.

Опишем преобразование, которое отображает фигуру, состоящую из всех точек сторон квадрата, на вписанную окружность. Таким преобразованием является центральная проекция из центра $O$.

Правило преобразования следующее: для каждой точки $P$, лежащей на одной из сторон квадрата, ее образом $f(P)$ будет точка $Q$, которая является точкой пересечения отрезка $OP$ с вписанной окружностью.

При таком преобразовании:

• Каждая точка $P$ на сторонах квадрата однозначно отобразится в некоторую точку $Q$ на окружности.
• Для каждой точки $Q$ на вписанной окружности найдется единственная точка $P$ на сторонах квадрата (точка пересечения луча $OQ$ со стороной квадрата), для которой $f(P) = Q$.

Таким образом, все точки сторон квадрата будут отображены на вписанную окружность.

Ответ: Преобразование, являющееся центральной проекцией из центра квадрата, при котором каждая точка на стороне квадрата отображается в точку пересечения отрезка, соединяющего ее с центром, с вписанной окружностью.

3.

Преобразование является обратимым, если оно взаимно однозначно. Это означает, что разным точкам исходной фигуры должны соответствовать разные точки-образы, и каждая точка-образ должна иметь только один прообраз.

1) ось абсцисс

График функции $y = \frac{1}{x}$ состоит из точек с координатами $(x, \frac{1}{x})$ для всех $x \neq 0$.

Проекция точки $(x_0, y_0)$ на ось абсцисс (ось $Ox$) — это точка $(x_0, 0)$. Таким образом, наше преобразование отображает каждую точку $(x, \frac{1}{x})$ графика в точку $(x, 0)$ на оси абсцисс.

Рассмотрим две различные точки на графике: $P_1(x_1, \frac{1}{x_1})$ и $P_2(x_2, \frac{1}{x_2})$. Так как точки различны, то их абсциссы также различны: $x_1 \neq x_2$.

Их проекции на ось абсцисс — это точки $P'_1(x_1, 0)$ и $P'_2(x_2, 0)$. Поскольку $x_1 \neq x_2$, то и точки $P'_1$ и $P'_2$ различны.

Следовательно, разным точкам графика соответствуют разные точки на оси абсцисс. Преобразование является взаимно однозначным, а значит, обратимым.

Ответ: Да, данное преобразование является обратимым.

2) прямую $y = x$

Рассмотрим две различные точки на графике функции $y = \frac{1}{x}$: точку $P_1(x_1, \frac{1}{x_1})$ и точку $P_2(\frac{1}{x_1}, x_1)$. Эти точки различны, если $x_1 \neq \frac{1}{x_1}$, то есть $x_1^2 \neq 1$, что верно для любого $x_1$ кроме $1$ и $-1$.

Например, возьмем точки $A(2, \frac{1}{2})$ и $B(\frac{1}{2}, 2)$. Это две разные точки на графике функции $y = \frac{1}{x}$.

Точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ симметричны относительно прямой $y=x$, так как $x_A = y_B$ и $y_A = x_B$.

Проекцией точки на прямую является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Так как точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $y=x$, они лежат на одной прямой, перпендикулярной $y=x$, и на одинаковом расстоянии от нее. Следовательно, их ортогональные проекции на прямую $y=x$ совпадают.

Найдем эту общую проекцию. Координаты проекции точки $(x_0, y_0)$ на прямую $y=x$ равны $(\frac{x_0+y_0}{2}, \frac{x_0+y_0}{2})$.

• Для точки $A(2, \frac{1}{2})$ проекцией будет точка с координатами $(\frac{2+1/2}{2}, \frac{2+1/2}{2}) = (\frac{5/2}{2}, \frac{5/2}{2}) = (1.25, 1.25)$.
• Для точки $B(\frac{1}{2}, 2)$ проекцией будет точка с координатами $(\frac{1/2+2}{2}, \frac{1/2+2}{2}) = (\frac{5/2}{2}, \frac{5/2}{2}) = (1.25, 1.25)$.

Таким образом, две разные точки $A(2, \frac{1}{2})$ и $B(\frac{1}{2}, 2)$ с графика функции отображаются в одну и ту же точку $(1.25, 1.25)$ на прямой $y=x$. Преобразование не является взаимно однозначным, следовательно, оно необратимо.

Ответ: Нет, данное преобразование не является обратимым.