Номер 14, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. От точки $M(-2; 4)$ отложен вектор $\vec{n}(4; -6)$. Найдите координаты конца вектора $\vec{n}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A(1; 2)$, $C(-2; 4)$, $D(7; -1)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $B$.

3. Точки $A(-2; 8)$ и $D(6; 8)$ — вершины прямоугольника $ABCD$. Модуль вектора $\vec{BD}$ равен $10$. Найдите координаты точек $A$ и $B$.

1.

Пусть M(-2; 4) — начальная точка вектора, а K(x; y) — его конечная точка. Если от точки M отложен вектор $\vec{n}$, то вектор $\vec{MK}$ равен вектору $\vec{n}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M)$

Подставим известные значения координат точки M и вектора $\vec{n}(4; -6)$:

$(4; -6) = (x_K - (-2); y_K - 4)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$x_K + 2 = 4$

$y_K - 4 = -6$

Решаем эти уравнения:

$x_K = 4 - 2 = 2$

$y_K = -6 + 4 = -2$

Таким образом, координаты конца вектора равны (2; -2).

Ответ: (2; -2).

2.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.

Пусть искомые координаты вершины B равны $(x_B; y_B)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AD}$, используя координаты точек A(1; 2) и D(7; -1):

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (7 - 1; -1 - 2) = (6; -3)$.

Теперь выразим координаты вектора $\vec{BC}$ через известные координаты точки C(-2; 4) и неизвестные координаты точки B($x_B; y_B$):

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-2 - x_B; 4 - y_B)$.

Поскольку в параллелограмме ABCD векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны, мы можем приравнять их соответствующие координаты:

$6 = -2 - x_B$

$-3 = 4 - y_B$

Решая полученные уравнения, находим координаты точки B:

$x_B = -2 - 6 = -8$

$y_B = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Следовательно, координаты вершины B равны (-8; 7).

Ответ: B(-8; 7).

3.

Координаты точки A даны в условии: A(-2; 8). Требуется найти координаты точки B.

Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: A(-2; 8) и D(6; 8). Так как ординаты (координаты y) этих точек одинаковы, сторона AD параллельна оси Ox (горизонтальна).

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, сторона AB перпендикулярна стороне AD. Поскольку AD горизонтальна, AB должна быть вертикальна, то есть параллельна оси Oy.

Это означает, что абсцисса (координата x) точки B должна быть такой же, как у точки A. Пусть координаты B — это $(x_B; y_B)$. Тогда $x_B = x_A = -2$.

Итак, точка B имеет координаты B(-2; $y_B$).

По условию, модуль (длина) вектора $\vec{BD}$ равен 10. Найдем координаты этого вектора, используя координаты точек B(-2; $y_B$) и D(6; 8):

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (6 - (-2); 8 - y_B) = (8; 8 - y_B)$.

Модуль вектора $\vec{v}(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Применим эту формулу к вектору $\vec{BD}$:

$|\vec{BD}| = \sqrt{8^2 + (8 - y_B)^2} = 10$.

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$8^2 + (8 - y_B)^2 = 10^2$

$64 + (8 - y_B)^2 = 100$

$(8 - y_B)^2 = 100 - 64$

$(8 - y_B)^2 = 36$

Это уравнение имеет два решения:

1) $8 - y_B = 6 \implies y_B = 8 - 6 = 2$.

2) $8 - y_B = -6 \implies y_B = 8 - (-6) = 8 + 6 = 14$.

Таким образом, существует два возможных положения для точки B, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: A(-2; 8); B(-2; 2) или B(-2; 14).