Номер 16, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(-2; 4)$ и $\vec{b}(3; 1)$. Найдите координаты вектора:

1) $\vec{a} + 2\vec{b}$;

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}$.

2. На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $E$ соответственно так, что $AP = \frac{1}{4}AD$, $CE = \frac{2}{7}CD$. Выразите вектор $\vec{PE}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.

3. На стороне $AD$ и диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $P$ и $N$ так, что $DP : PA = 1 : 2$, $DN : NB = 1 : 3$. Используя векторы, докажите, что точки $C$, $N$ и $P$ лежат на одной прямой.

1) $\vec{a} + 2\vec{b}$

Даны векторы $\vec{a}(-2; 4)$ и $\vec{b}(3; 1)$.
Сначала найдем координаты вектора $2\vec{b}$, умножив каждую координату вектора $\vec{b}$ на 2:
$2\vec{b} = (2 \cdot 3; 2 \cdot 1) = (6; 2)$.
Теперь сложим соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$:
$\vec{a} + 2\vec{b} = (-2 + 6; 4 + 2) = (4; 6)$.
Ответ: $(4; 6)$.

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}$

Найдем координаты векторов $4\vec{b}$ и $3\vec{a}$.
$4\vec{b} = (4 \cdot 3; 4 \cdot 1) = (12; 4)$.
$3\vec{a} = (3 \cdot (-2); 3 \cdot 4) = (-6; 12)$.
Теперь вычтем из координат вектора $4\vec{b}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{a}$:
$4\vec{b} - 3\vec{a} = (12 - (-6); 4 - 12) = (12 + 6; -8) = (18; -8)$.
Ответ: $(18; -8)$.

2.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{n}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{m}$. Также $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{m}$.
Чтобы выразить вектор $\vec{PE}$, представим его как разность векторов, проведенных из одной точки, например, из точки A: $\vec{PE} = \vec{AE} - \vec{AP}$.
Найдем вектор $\vec{AP}$. По условию $AP = \frac{1}{4}AD$, и векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Следовательно:
$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{n}$.
Найдем вектор $\vec{AE}$. Его можно представить как сумму векторов: $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$.
Найдем $\vec{DE}$. Точка E лежит на стороне CD, по условию $CE = \frac{2}{7}CD$, значит $DE = CD - CE = \frac{5}{7}CD$. Векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены (оба начинаются в точке D). Следовательно:
$\vec{DE} = \frac{5}{7}\vec{DC} = \frac{5}{7}\vec{m}$.
Теперь можем найти $\vec{AE}$:
$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{n} + \frac{5}{7}\vec{m}$.
Наконец, вычисляем $\vec{PE}$:
$\vec{PE} = \vec{AE} - \vec{AP} = (\vec{n} + \frac{5}{7}\vec{m}) - \frac{1}{4}\vec{n} = \frac{5}{7}\vec{m} + (1 - \frac{1}{4})\vec{n} = \frac{5}{7}\vec{m} + \frac{3}{4}\vec{n}$.
Ответ: $\vec{PE} = \frac{5}{7}\vec{m} + \frac{3}{4}\vec{n}$.

3.

Чтобы доказать, что точки C, N и P лежат на одной прямой, необходимо показать, что векторы $\vec{CN}$ и $\vec{CP}$ коллинеарны. То есть, что существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{CP} = k \cdot \vec{CN}$.
Введем базисные векторы, отложенные от вершины A: пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.
Выразим векторы положения точек P, N и C через базисные векторы:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
Точка P делит сторону AD в отношении $DP : PA = 1 : 2$, значит $AP = \frac{2}{3}AD$. Следовательно, $\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
Точка N делит диагональ BD в отношении $DN : NB = 1 : 3$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, вектор положения точки N: $\vec{AN} = \frac{3\vec{AD} + 1\vec{AB}}{3+1} = \frac{3\vec{b} + \vec{a}}{4} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.
Теперь найдем векторы $\vec{CP}$ и $\vec{CN}$:
$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + (\frac{2}{3} - 1)\vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}$.
$\vec{CN} = \vec{AN} - \vec{AC} = (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) - (\vec{a} + \vec{b}) = (\frac{1}{4} - 1)\vec{a} + (\frac{3}{4} - 1)\vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.
Проверим, существует ли $k$, такое что $\vec{CP} = k \cdot \vec{CN}$:
$-\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} = k \cdot (-\frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}) = -\frac{3k}{4}\vec{a} - \frac{k}{4}\vec{b}$.
Поскольку базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, равенство возможно только при равенстве коэффициентов при них:
$\begin{cases} -1 = -\frac{3k}{4} \\ -\frac{1}{3} = -\frac{k}{4} \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $k = \frac{4}{3}$.
Из второго уравнения получаем $k = \frac{4}{3}$.
Поскольку значение $k$ совпало, векторы коллинеарны: $\vec{CP} = \frac{4}{3}\vec{CN}$.
Так как векторы $\vec{CP}$ и $\vec{CN}$ коллинеарны и имеют общую начальную точку C, то точки C, P и N лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.