Номер 1, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $sin 120^\circ cos 150^\circ tg 135^\circ$;

2) $2 cos^2 135^\circ + 6 sin 150^\circ - 4 ctg 90^\circ cos 141^\circ$.

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{sin 34^\circ}{sin 146^\circ} + \frac{tg 98^\circ}{tg 82^\circ}$;

2) $\frac{cos 118^\circ}{cos 62^\circ} - \frac{ctg 27^\circ}{ctg 153^\circ}$.

3. Найдите:

1) $tg \alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $cos \alpha$, если $sin \alpha = \frac{1}{9}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\sin120^\circ\cos150^\circ\mathrm{tg}135^\circ$

Для решения воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для основных углов.

$\sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}135^\circ = \mathrm{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\mathrm{tg}45^\circ = -1$

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1) = -\frac{3}{4} \cdot (-1) = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) $2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\mathrm{ctg} 90^\circ\cos 141^\circ$

Рассчитаем значение каждого слагаемого по отдельности.

$\cos135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2\cos^2 135^\circ = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$

$\sin150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$

$6\sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$\mathrm{ctg}90^\circ = 0$. Поэтому все третье слагаемое равно нулю:

$4\mathrm{ctg} 90^\circ\cos 141^\circ = 4 \cdot 0 \cdot \cos 141^\circ = 0$

Сложим полученные значения:

$1 + 3 - 0 = 4$

Ответ: $4$

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $\frac{\sin34^\circ}{\sin146^\circ} + \frac{\mathrm{tg}98^\circ}{\mathrm{tg}82^\circ}$

Используем формулы приведения:

$\sin146^\circ = \sin(180^\circ - 34^\circ) = \sin34^\circ$

$\mathrm{tg}98^\circ = \mathrm{tg}(180^\circ - 82^\circ) = -\mathrm{tg}82^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\sin34^\circ}{\sin34^\circ} + \frac{-\mathrm{tg}82^\circ}{\mathrm{tg}82^\circ} = 1 + (-1) = 0$

Ответ: $0$

2) $\frac{\cos118^\circ}{\cos62^\circ} - \frac{\mathrm{ctg}27^\circ}{\mathrm{ctg}153^\circ}$

Используем формулы приведения:

$\cos118^\circ = \cos(180^\circ - 62^\circ) = -\cos62^\circ$

$\mathrm{ctg}153^\circ = \mathrm{ctg}(180^\circ - 27^\circ) = -\mathrm{ctg}27^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{-\cos62^\circ}{\cos62^\circ} - \frac{\mathrm{ctg}27^\circ}{-\mathrm{ctg}27^\circ} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

Ответ: $0$

3. Найдите:

1) $\mathrm{tg}\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{3}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2\alpha + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, а его косинус положителен ($\cos\alpha = \frac{1}{3} > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). В этой четверти синус также положителен.

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь найдем тангенс по определению $\mathrm{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\mathrm{tg}\alpha = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3 = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{1}{9}$

Снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$(\frac{1}{9})^2 + \cos^2\alpha = 1$

$\frac{1}{81} + \cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{81} = \frac{80}{81}$

Поскольку синус положителен ($\sin\alpha = \frac{1}{9} > 0$), угол $\alpha$ может находиться как в первой ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), так и во второй ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) четверти. В первой четверти косинус положителен, а во второй — отрицателен. Поэтому возможны два значения.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{80}{81}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{9} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{9}$

Ответ: $\pm\frac{4\sqrt{5}}{9}$