Номер 936, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

936. Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы любые 3 из них являлись вершинами равнобедренного треугольника.

Для того чтобы выполнить условие задачи, можно расположить точки следующим образом: пять точек являются вершинами правильного пятиугольника, а шестая точка — его центром.

Обозначим вершины правильного пятиугольника как $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$, а его центр как $O$. Докажем, что любая тройка из этих шести точек образует равнобедренный треугольник. Для этого необходимо рассмотреть все возможные комбинации из трех точек.

Случай 1: Три точки выбраны из вершин пятиугольника.

Пусть выбраны три вершины, например $A_i, A_j, A_k$. Стороны треугольника $A_iA_jA_k$ являются хордами окружности, описанной около пятиугольника. Длина хорды зависит только от длины дуги, которую она стягивает. В правильном пятиугольнике любые две вершины соединяются либо стороной, либо диагональю. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой (обозначим их длину как $a$), и все диагонали также равны между собой (обозначим их длину как $d$).

Любой треугольник, образованный тремя вершинами правильного пятиугольника, будет иметь либо две стороны, равные $a$, и одну, равную $d$ (например, треугольник из трех последовательных вершин $A_1A_2A_3$), либо две стороны, равные $d$, и одну, равную $a$ (например, треугольник $A_1A_2A_4$). В обоих случаях треугольник является равнобедренным.

Случай 2: Две точки являются вершинами пятиугольника, а третья — его центр.

Пусть выбраны точки $O, A_i, A_j$. По определению, центр $O$ правильного многоугольника равноудален от всех его вершин. Это расстояние равно радиусу $R$ описанной окружности. Следовательно, в треугольнике $OA_iA_j$ стороны $OA_i$ и $OA_j$ равны: $OA_i = OA_j = R$. Таким образом, треугольник $OA_iA_j$ является равнобедренным.

Поскольку мы рассмотрели все возможные комбинации трех точек и в каждом случае получили равнобедренный треугольник, данная конфигурация из шести точек удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Пять вершин правильного пятиугольника и его центр.