Номер 930, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

930. На плоскости отметили несколько точек. Некоторые из них отметили красным цветом, другие — синим. Известно, что точек каждого цвета не меньше трёх и никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой. Докажите, что какие-то три точки одного цвета являются вершинами треугольника, на сторонах которого может лежать не более двух точек другого цвета.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно. Это означает, что для любого треугольника, образованного тремя точками одного цвета, на его сторонах лежит не менее трёх точек другого цвета.

То есть, должны выполняться два условия одновременно:

1. Для любого треугольника с красными вершинами на его сторонах лежит не менее трёх синих точек.
2. Для любого треугольника с синими вершинами на его сторонах лежит не менее трёх красных точек.

Рассмотрим множество всех треугольников, вершины которых — синие точки. Так как по условию синих точек не меньше трёх и никакие три из них не лежат на одной прямой, это множество непустое. Поскольку количество синих точек конечно, то и количество таких треугольников конечно. Следовательно, среди них найдётся треугольник с минимальной площадью. Обозначим этот треугольник $\triangle P_1P_2P_3$, где $P_1, P_2, P_3$ — синие точки.

Важным свойством этого треугольника является то, что внутри него не может быть других синих точек. Если бы внутри $\triangle P_1P_2P_3$ нашлась синяя точка $P_4$, то мы могли бы построить треугольник, например, $\triangle P_1P_2P_4$. Его площадь была бы меньше площади $\triangle P_1P_2P_3$, что противоречит выбору $\triangle P_1P_2P_3$ как треугольника с минимальной площадью.

Теперь применим к треугольнику $\triangle P_1P_2P_3$ наше предположение (пункт 2). На его сторонах (отрезках $[P_1P_2], [P_2P_3]$ и $[P_3P_1]$) должно лежать не менее трёх красных точек. Обозначим эти точки $R_1, R_2, R_3$.

Рассмотрим, как эти три красные точки могут располагаться на сторонах $\triangle P_1P_2P_3$:

• Случай 1: Все три красные точки $R_1, R_2, R_3$ лежат на одной стороне $\triangle P_1P_2P_3$.
  В этом случае три красные точки оказываются на одной прямой. Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что «никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой». Следовательно, этот случай невозможен.
• Случай 2: Красные точки $R_1, R_2, R_3$ расположены на двух или трёх сторонах $\triangle P_1P_2P_3$.
  В этом случае точки $R_1, R_2, R_3$ не лежат на одной прямой, а значит, образуют треугольник с красными вершинами $\triangle R_1R_2R_3$.

Теперь проанализируем, сколько синих точек может лежать на сторонах красного треугольника $\triangle R_1R_2R_3$.
Вершины $R_1, R_2, R_3$ этого треугольника лежат на сторонах $\triangle P_1P_2P_3$. Это означает, что весь треугольник $\triangle R_1R_2R_3$ находится внутри или на границе $\triangle P_1P_2P_3$.

Любая сторона треугольника $\triangle R_1R_2R_3$ (например, отрезок $[R_1R_2]$) целиком содержится в $\triangle P_1P_2P_3$. Мы знаем, что внутри $\triangle P_1P_2P_3$ нет синих точек. Следовательно, никакая синяя точка не может лежать во внутренней части отрезка, являющегося стороной $\triangle R_1R_2R_3$.

Единственные синие точки, которые теоретически могли бы оказаться на сторонах $\triangle R_1R_2R_3$, — это вершины $P_1, P_2, P_3$. Рассмотрим, может ли, например, синяя точка $P_2$ лежать на стороне $[R_1R_3]$. Это возможно, только если точки $R_1, P_2, R_3$ лежат на одной прямой.

Точка $R_1$ лежит на одной из сторон $\triangle P_1P_2P_3$, а точка $R_3$ — на другой. Пусть, например, $R_1$ лежит на стороне $[P_1P_2]$, а $R_3$ — на стороне $[P_2P_3]$. Точки $R_1, P_2, R_3$ могут быть коллинеарны только в том случае, если они все лежат на одной из прямых, проходящих через $P_2$, то есть на прямой $P_1P_2$ или на прямой $P_2P_3$. Но поскольку $P_1, P_2, P_3$ не коллинеарны, эти прямые различны. Если $R_1$ лежит на прямой $P_1P_2$, а $R_3$ — на прямой $P_2P_3$, и при этом $R_1 \ne P_2$ и $R_3 \ne P_2$ (точки разных цветов), то точки $R_1, P_2, R_3$ не могут быть коллинеарны. Аналогичные рассуждения применимы ко всем остальным комбинациям вершин и сторон.

Таким образом, ни одна из синих точек $P_1, P_2, P_3$ не может лежать на сторонах треугольника $\triangle R_1R_2R_3$.

Мы пришли к выводу, что на сторонах красного треугольника $\triangle R_1R_2R_3$ лежит 0 синих точек. Однако это противоречит нашему исходному предположению (пункт 1), согласно которому на сторонах любого красного треугольника должно быть не менее трёх синих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, исходное утверждение задачи верно: существуют три точки одного цвета, являющиеся вершинами треугольника, на сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

Ответ: Утверждение доказано.