Номер 933, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

933. Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

Для решения этой задачи в первую очередь необходимо привести все величины к единой системе измерения. Сторона квадрата дана в сантиметрах, а требуемая сумма диаметров — в метрах.

Сторона квадрата: $a = 10$ см.
Требуемая сумма диаметров: $D_{sum} > 5$ м.

Переведем метры в сантиметры:$5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см}$.

Таким образом, вопрос можно переформулировать: можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 500 см?

Рассмотрим стратегию, при которой мы вырезаем большое количество маленьких кругов. Разместим круги внутри квадрата в виде сетки (матрицы) $N \times N$, то есть $N$ рядов по $N$ кругов в каждом. Общее количество кругов будет $N^2$.

Чтобы $N$ одинаковых кругов поместились в ряд по длине стороны квадрата (10 см), диаметр каждого круга $d$ не должен превышать $10/N$. Возьмем максимально возможный диаметр:$d = \frac{10}{N}$ см.

При таком диаметре $N$ кругов вплотную поместятся как по горизонтали, так и по вертикали, образуя сетку $N \times N$ внутри квадрата 10x10 см.

Теперь найдем общую сумму диаметров всех вырезанных кругов. У нас есть $N^2$ кругов, и диаметр каждого равен $d = \frac{10}{N}$ см.Сумма диаметров $S_D$ будет равна:$S_D = (\text{количество кругов}) \times (\text{диаметр одного круга}) = N^2 \times d = N^2 \times \frac{10}{N} = 10N$ см.

Нам необходимо, чтобы эта сумма была больше 500 см:$S_D > 500 \text{ см}$$10N > 500$$N > \frac{500}{10}$$N > 50$

Это неравенство показывает, что если мы выберем количество кругов в ряду $N$ больше 50, то условие задачи будет выполнено. Например, возьмем $N = 51$.

В этом случае мы можем вырезать $51 \times 51 = 2601$ круг.Диаметр каждого круга будет $d = \frac{10}{51}$ см.Сумма их диаметров составит $S_D = 10 \times 51 = 510$ см.

Поскольку $510 \text{ см} > 500 \text{ см}$, мы нашли способ вырезать круги, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: да, можно.