Номер 931, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

931. На плоскости отметили точки $A$ и $B$. С помощью одного циркуля постройте точку $C$ такую, чтобы точка $B$ являлась серединой отрезка $AC$.

Решение:

Пусть даны точки A и B. Для построения точки C, для которой B будет являться серединой отрезка AC, с помощью одного лишь циркуля, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Установить раствор циркуля равным расстоянию между точками A и B (обозначим это расстояние как $R$).
2. Построить окружность $\omega$ с центром в точке B и радиусом $R$. Точка A будет лежать на этой окружности.
3. Не меняя раствора циркуля (то есть сохраняя радиус $R$), установить острие в точку A и провести дугу, пересекающую окружность $\omega$ в новой точке. Обозначим эту точку D.
4. Переместить острие циркуля в точку D и, сохранив тот же радиус $R$, провести дугу, пересекающую окружность $\omega$ в новой точке (отличной от A). Обозначим эту точку E.
5. Переместить острие циркуля в точку E и, сохранив тот же радиус $R$, провести дугу, пересекающую окружность $\omega$ в новой точке (отличной от D). Эта точка и будет искомой точкой C.

Обоснование:

По построению, все точки A, D, E, C лежат на окружности $\omega$ с центром в B и радиусом $R = AB$. Следовательно, $BA = BD = BE = BC = R$.

• В шаге 3 мы находим точку D как пересечение окружности $\omega$ (центр B, радиус $R$) и окружности с центром в A и тем же радиусом $R$. Следовательно, длины отрезков $AB, BD, AD$ равны $R$. Это означает, что треугольник $\triangle ABD$ является равносторонним, а центральный угол $\angle ABD = 60^\circ$.
• В шаге 4 аналогично строится точка E. Треугольник $\triangle BDE$ также является равносторонним, так как $BD = BE = DE = R$. Следовательно, центральный угол $\angle DBE = 60^\circ$.
• В шаге 5 строится точка C. Треугольник $\triangle BCE$ является равносторонним, так как $BE = BC = EC = R$. Следовательно, центральный угол $\angle EBC = 60^\circ$.

Точки A, D, E, C расположены на окружности $\omega$ последовательно. Угол $\angle ABC$ как центральный угол, опирающийся на дугу AC, равен сумме центральных углов, опирающихся на дуги AD, DE и EC. Таким образом, $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBE + \angle EBC = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Угол в $180^\circ$ означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Поскольку точки A и C лежат на окружности с центром в B, то расстояния $BA$ и $BC$ равны радиусу этой окружности. Таким образом, $BA = BC$, и точка B является серединой отрезка AC. Построение верно.

Ответ: Искомая точка C строится путем последовательного откладывания на окружности с центром B и радиусом AB трех хорд длиной AB, начиная от точки A.