Номер 935, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

935. Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 м расположено 7 точек. Докажите, что среди них найдутся 2 точки на расстоянии не больше 1 м.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

1. Разобьем правильный шестиугольник со стороной 1 м на 6 областей. Для этого соединим центр шестиугольника с его шестью вершинами. В результате шестиугольник разделится на 6 равных равносторонних треугольников. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника, то есть 1 м, так как в правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны.

2. Рассмотрим любую из этих 6 областей — равносторонний треугольник со стороной 1 м. Максимальное расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими выпуклой фигуре (каковой является треугольник), не превышает наибольшего расстояния между ее вершинами. Для равностороннего треугольника со стороной 1 м это расстояние равно 1 м. Следовательно, любые две точки, находящиеся внутри или на границе одного такого треугольника, расположены на расстоянии не более 1 м друг от друга.

3. По условию, внутри шестиугольника расположено 7 точек. Эти 7 точек будем считать "голубями", а 6 равносторонних треугольников, на которые мы разбили шестиугольник, — "клетками".

4. Согласно принципу Дирихле, если число голубей (в нашем случае $N=7$) больше числа клеток (в нашем случае $K=6$), то найдется по крайней мере одна клетка, в которой окажется не менее двух голубей.

Таким образом, как минимум две из семи точек попадут в один и тот же равносторонний треугольник. А поскольку расстояние между любыми двумя точками в таком треугольнике не превышает 1 м, то расстояние между этими двумя точками будет не больше 1 м, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Правильный шестиугольник со стороной 1 м разбивается на 6 равносторонних треугольников со стороной 1 м. По принципу Дирихле, из 7 точек как минимум две окажутся в одном из этих треугольников. Так как максимальное расстояние между точками в таком треугольнике равно 1 м, расстояние между этими двумя точками не будет превышать 1 м.