Номер 932, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

932. Какое наименьшее значение может принимать радиус круга, из которого можно вырезать треугольник со сторонами $2$ см, $3$ см, $4$ см?

Чтобы найти наименьшее значение радиуса круга, из которого можно вырезать заданный треугольник, необходимо найти радиус окружности, описанной около этого треугольника. Это связано с тем, что все три вершины треугольника должны лежать внутри или на границе круга, а наименьший такой круг — это и есть описанная окружность.

Обозначим стороны треугольника как $a = 2$ см, $b = 3$ см, и $c = 4$ см. Радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

где $S$ — площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — полупериметр треугольника.

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычисление полупериметра (p)

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон треугольника.

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+3+4}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

2. Вычисление площади (S)

Подставим значение полупериметра и длин сторон в формулу Герона:

$S = \sqrt{4,5(4,5-2)(4,5-3)(4,5-4)} = \sqrt{4,5 \cdot 2,5 \cdot 1,5 \cdot 0,5}$

Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{16}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{\sqrt{135}}{4}$

Упростим корень: $\sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$.

Таким образом, площадь треугольника равна:

$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$ см².

3. Вычисление радиуса описанной окружности (R)

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4}} = \frac{24}{3\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}}$ см.

Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{15}$:

$R = \frac{8 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$ см.

Ответ: Наименьшее значение, которое может принимать радиус круга, равно $\frac{8\sqrt{15}}{15}$ см.