Номер 928, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

928. В круг радиуса 1 см вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17 см.

Пусть вершины пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R=1$ см, это $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$. Сумма, которую нам нужно оценить, состоит из длин 5 сторон (например, $V_1V_2$) и 5 диагоналей (например, $V_1V_3$). Всего 10 отрезков.

Длина любой хорды в окружности радиуса $R$ выражается через центральный угол $\alpha$, который она стягивает, по формуле $l = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$. Так как по условию $R=1$ см, то для любого отрезка, соединяющего две вершины пятиугольника, его длина равна $l = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ — соответствующий центральный угол.

Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ — центральные углы, соответствующие сторонам пятиугольника $V_1V_2, V_2V_3, \dots, V_5V_1$. Сумма этих углов равна $2\pi$: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = 2\pi$.

Сумма длин всех сторон и диагоналей $S$ равна:

$S = \sum_{i=1}^{5} 2 \sin(\frac{\alpha_i}{2}) + \sum_{i=1}^{5} 2 \sin(\frac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2})$ (индексы $i+1$ берутся по модулю 5, т.е. для $i=5$, $i+1=1$).

Функция $f(x) = \sin(x)$ является вогнутой на отрезке $[0, \pi]$. Если пятиугольник выпуклый, то все центральные углы $\alpha_i < \pi$, а значит все аргументы синусов в формуле для $S$ находятся в этом отрезке. Сумма вогнутых функций также является вогнутой функцией. Максимальное значение вогнутой функции на симплексе (в нашем случае на множестве, заданном условием $\sum \alpha_i = 2\pi, \alpha_i > 0$) достигается в центре этого симплекса, то есть когда все переменные равны.

Следовательно, общая сумма длин $S$ будет максимальной, когда пятиугольник является правильным. В этом случае все центральные углы равны: $\alpha_i = \frac{2\pi}{5}$ для всех $i$.

Найдем эту максимальную сумму $S_{max}$ для правильного пятиугольника.

В правильном пятиугольнике все 5 сторон равны и все 5 диагоналей равны.

Длина одной стороны:

$s = 2 \sin(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{5}) = 2 \sin(\frac{\pi}{5})$.

Длина одной диагонали (она стягивает угол $\frac{2\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$):

$d = 2 \sin(\frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{5}) = 2 \sin(\frac{2\pi}{5})$.

Максимальная сумма равна:

$S_{max} = 5s + 5d = 5 \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{5}) + 5 \cdot 2 \sin(\frac{2\pi}{5}) = 10 (\sin(\frac{\pi}{5}) + \sin(\frac{2\pi}{5}))$.

Теперь докажем, что $S_{max} < 17$. Для этого воспользуемся точными значениями синусов для углов $36^\circ$ ($\pi/5$) и $72^\circ$ ($2\pi/5$):

$\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

$\sin(72^\circ) = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$

$S_{max} = 10 \left( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} + \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \right) = \frac{5}{2} \left( \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} \right)$.

Обозначим $X = \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$. Нам нужно доказать, что $\frac{5}{2} X < 17$, что эквивалентно $X < \frac{34}{5} = 6.8$.

Так как обе части неравенства $X < 6.8$ положительны, возведем их в квадрат:

$X^2 < 6.8^2 = 46.24$.

Вычислим $X^2$:

$X^2 = (\sqrt{10 - 2\sqrt{5}})^2 + (\sqrt{10 + 2\sqrt{5}})^2 + 2\sqrt{(10 - 2\sqrt{5})(10 + 2\sqrt{5})}$

$X^2 = (10 - 2\sqrt{5}) + (10 + 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{10^2 - (2\sqrt{5})^2}$

$X^2 = 20 + 2\sqrt{100 - 4 \cdot 5} = 20 + 2\sqrt{80} = 20 + 2\sqrt{16 \cdot 5} = 20 + 2 \cdot 4\sqrt{5} = 20 + 8\sqrt{5}$.

Теперь нам нужно доказать неравенство:

$20 + 8\sqrt{5} < 46.24$.

Докажем более сильное неравенство: $20 + 8\sqrt{5} < 46$.

$8\sqrt{5} < 26 \implies 4\sqrt{5} < 13$.

Возведем в квадрат обе части последнего неравенства (они положительны):

$(4\sqrt{5})^2 < 13^2 \implies 16 \cdot 5 < 169 \implies 80 < 169$.

Это неравенство истинно. Следовательно, $X^2 = 20 + 8\sqrt{5} < 46$.

Поскольку $46 < 46.24$, то $X^2 < 46.24$ также истинно. Отсюда следует, что $X < 6.8$, и тогда $S_{max} = \frac{5}{2}X < \frac{5}{2} \cdot 6.8 = 17$.

Таким образом, максимальная возможная сумма длин сторон и диагоналей строго меньше 17 см. Для любого другого вписанного пятиугольника эта сумма будет еще меньше.

Ответ: Сумма длин сторон и диагоналей любого пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 1 см, строго меньше 17 см, что и требовалось доказать.