Номер 934, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

934. Дан квадрат размером $101 \times 101$ клетку. Клетки квадрата раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что центральная клетка оказалась чёрной. Для каждой пары разноцветных клеток откладывают вектор, начало которого совпадает с центром чёрной клетки, а конец — с центром белой. Докажите, что сумма всех отложенных векторов равна нуль-вектору.

Введем систему координат, поместив ее начало в центр центральной клетки квадрата. Пусть сторона каждой клетки равна 1. Тогда центры клеток будут иметь целочисленные координаты $(i, j)$, где $i$ и $j$ принимают значения от $-50$ до $50$. Позиционный вектор центра клетки с координатами $(i, j)$ будет равен $\vec{r}_{i,j} = (i, j)$.

Клетки раскрашены в шахматном порядке, и центральная клетка с координатами $(0, 0)$ — чёрная. В шахматной раскраске цвет клетки $(i, j)$ зависит от четности суммы координат $i+j$. Поскольку для центральной клетки $0+0=0$ (четное число), то все клетки, для которых сумма координат $i+j$ является четным числом, будут черными. Соответственно, клетки, для которых сумма $i+j$ нечетна, будут белыми.

Пусть $B$ — множество позиционных векторов центров всех черных клеток, а $W$ — множество позиционных векторов центров всех белых клеток.Обозначим количество черных клеток через $N_B$, а белых — через $N_W$.Квадрат имеет размер $101 \times 101$. Общее число клеток равно $101^2 = 10201$. Так как размер стороны нечетный, число клеток одного цвета будет на единицу больше, чем другого. Угловые клетки, например, $(-50, -50)$, имеют сумму координат $-50 + (-50) = -100$ (четное), значит, они черные, как и центральная. Следовательно, черных клеток больше.Число черных клеток: $N_B = \frac{101^2 + 1}{2} = \frac{10201 + 1}{2} = 5101$.Число белых клеток: $N_W = \frac{101^2 - 1}{2} = \frac{10201 - 1}{2} = 5100$.

Согласно условию, для каждой пары разноцветных клеток откладывается вектор, идущий от центра черной клетки к центру белой. Суммарный вектор $\vec{S}$ будет равен сумме всех таких векторов:$$ \vec{S} = \sum_{\vec{b} \in B} \sum_{\vec{w} \in W} (\vec{w} - \vec{b}) $$

Раскроем скобки и преобразуем сумму. Сумма по всем парам может быть представлена как:$$ \vec{S} = \sum_{\vec{b} \in B} \left( \sum_{\vec{w} \in W} \vec{w} - \sum_{\vec{w} \in W} \vec{b} \right) $$Сумма $\sum_{\vec{w} \in W} \vec{w}$ является постоянной величиной относительно внешнего суммирования по $\vec{b} \in B$. Мы складываем эту величину $N_B$ раз (по числу черных клеток). Внутренняя сумма $\sum_{\vec{w} \in W} \vec{b}$ представляет собой сложение вектора $\vec{b}$ $N_W$ раз (по числу белых клеток). Таким образом, получаем:$$ \vec{S} = N_B \left( \sum_{\vec{w} \in W} \vec{w} \right) - \sum_{\vec{b} \in B} (N_W \vec{b}) $$$$ \vec{S} = N_B \left( \sum_{\vec{w} \in W} \vec{w} \right) - N_W \left( \sum_{\vec{b} \in B} \vec{b} \right) $$

Обозначим сумму позиционных векторов центров всех белых клеток как $\vec{S}_W = \sum_{\vec{w} \in W} \vec{w}$ и сумму позиционных векторов центров всех черных клеток как $\vec{S}_B = \sum_{\vec{b} \in B} \vec{b}$. Тогда итоговая сумма векторов равна:$$ \vec{S} = N_B \vec{S}_W - N_W \vec{S}_B $$

Теперь найдем $\vec{S}_B$ и $\vec{S}_W$. Квадрат $101 \times 101$ симметричен относительно своего центра, который мы выбрали в качестве начала координат. Рассмотрим любую клетку с координатами $(i, j)$. Клетка, симметричная ей относительно центра, имеет координаты $(-i, -j)$. Сумма координат для симметричной клетки равна $-i-j = -(i+j)$. Четность этой суммы совпадает с четностью суммы $i+j$. Это означает, что клетки $(i, j)$ и $(-i, -j)$ всегда имеют одинаковый цвет.

Следовательно, множества центров черных клеток $B$ и белых клеток $W$ симметричны относительно начала координат.Найдем сумму векторов $\vec{S}_B$. Множество $B$ содержит вектор $\vec{r}_{0,0} = (0, 0)$ (центральная клетка). Для любого другого вектора $\vec{b} = (i, j) \in B$ (где $(i, j) \neq (0, 0)$), в множестве $B$ также содержится противоположный ему вектор $-\vec{b} = (-i, -j)$. При суммировании все такие пары векторов $\vec{b}$ и $-\vec{b}$ дадут в сумме нуль-вектор: $\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}$. Таким образом, вся сумма $\vec{S}_B$ состоит из таких пар и нулевого вектора от центральной клетки:$$ \vec{S}_B = \vec{r}_{0,0} + \sum_{\text{пары } \{\vec{b}, -\vec{b}\} \subset B, \vec{b}\neq\vec{0}} (\vec{b} + (-\vec{b})) = \vec{0} + \sum \vec{0} = \vec{0} $$

Аналогично для суммы векторов $\vec{S}_W$. Множество $W$ не содержит центральной клетки. Для любого вектора $\vec{w} \in W$ в множестве $W$ также содержится противоположный ему вектор $-\vec{w}$. Таким образом, все векторы в $W$ разбиваются на пары противоположных векторов, и их сумма равна нуль-вектору:$$ \vec{S}_W = \sum_{\text{пары } \{\vec{w}, -\vec{w}\} \subset W} (\vec{w} + (-\vec{w})) = \sum \vec{0} = \vec{0} $$

Подставим найденные значения $\vec{S}_B = \vec{0}$ и $\vec{S}_W = \vec{0}$ в выражение для суммарного вектора $\vec{S}$:$$ \vec{S} = N_B \cdot \vec{0} - N_W \cdot \vec{0} = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0} $$Таким образом, сумма всех отложенных векторов равна нуль-вектору, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма всех отложенных векторов равна нуль-вектору.