Номер 927, страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

927. Покажите, что любой треугольник можно разрезать на три части так, что из полученных частей можно сложить прямоугольник.

Да, любой треугольник можно разрезать на три части и сложить из них прямоугольник. Для этого необходимо выполнить следующие действия.

1. Построение разрезов

Пусть дан произвольный треугольник $АВС$.

1. Выберем любую сторону в качестве основания, например, $АС$. Проведем к ней высоту $ВН$. Обозначим ее длину как $h$.

2. Найдем середины двух других сторон, $АВ$ и $ВС$. Обозначим их точками $D$ и $E$ соответственно.

3. Сделаем первый разрез по отрезку $DE$, который является средней линией треугольника. Этот разрез делит треугольник на две фигуры: маленький треугольник $BDE$ вверху и трапецию $ADEC$ внизу.

4. Проведем высоту из вершины $B$ на среднюю линию $DE$. Пусть $K$ — основание этой высоты. Сделаем второй разрез по отрезку $BK$. Этот разрез делит треугольник $BDE$ на два прямоугольных треугольника: $BDK$ и $BEK$.

Таким образом, исходный треугольник $АВС$ разрезан на три части: трапецию $ADEC$, треугольник $BDK$ и треугольник $BEK$.

2. Сборка прямоугольника

Теперь из полученных трех частей соберем прямоугольник.

1. Трапеция $ADEC$ будет центральной частью будущего прямоугольника.

2. Возьмем треугольник $BDK$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $D$ (середины стороны $АВ$). Так как $D$ — середина $АВ$, вершина $B$ совместится с вершиной $A$. Отрезок $BD$ совместится с отрезком $AD$. Сторона $DK$ окажется на продолжении отрезка $DE$. Прямой угол при вершине $K$ создаст прямой угол у новой фигуры при вершине $A$.

3. Аналогично, возьмем треугольник $BEK$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $E$ (середины стороны $ВС$). Вершина $B$ совместится с вершиной $C$. Сторона $EK$ окажется на продолжении отрезка $DE$.

3. Доказательство

В результате сложения частей получается четырехугольник. Докажем, что это прямоугольник.

Его нижнее основание — это сторона $АС$ исходного треугольника. Верхняя сторона состоит из трех отрезков, лежащих на одной прямой (прямой, содержащей среднюю линию $DE$). Так как средняя линия $DE$ параллельна основанию $АС$, то верхняя и нижняя стороны полученной фигуры параллельны.

Боковые стороны образованы перемещенным отрезком $BK$. Так как $BK$ была высотой к $DE$, а $DE \parallel AC$, то $BK$ перпендикулярен и $DE$, и $AC$. Следовательно, боковые стороны полученной фигуры перпендикулярны ее основаниям. Таким образом, все углы фигуры прямые, и она является прямоугольником.

Найдем размеры прямоугольника. Его высота равна длине отрезка $BK$. Высота $BK$ в треугольнике $BDE$ равна половине высоты $BH$ в треугольнике $АВС$, то есть $h/2$.

Длина нижнего основания равна $AC$. Длина верхнего основания равна $2 \cdot DE = 2 \cdot (\frac{1}{2} AC) = AC$.

Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон: $AC \cdot \frac{h}{2} = AC \cdot \frac{BH}{2} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$. Это в точности равно площади исходного треугольника $АВС$.

Таким образом, мы показали, что любой треугольник можно разрезать на три части, из которых можно сложить прямоугольник, равновеликий этому треугольнику.

Ответ: Требуемое разрезание основано на проведении средней линии и высоты к ней в отсеченном верхнем треугольнике. Полученные три части (два малых прямоугольных треугольника и трапеция) путем поворотов на $180^\circ$ складываются в прямоугольник, что и доказывает утверждение.