Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

49.2.

1) $y = 0.1x^3 - 1;$

2) $y = 0.5x^3 + 2;$

3) $y = 1 - \sqrt{x-2};$

4) $y = \sqrt{x+1} - 2.$

1) Для функции $y = 0,1x^3 - 1$ проведем подробный анализ.

Область определения: Функция является многочленом (кубической), поэтому она определена для всех действительных значений $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции для определения интервалов возрастания и убывания.

$y' = (0,1x^3 - 1)' = 0,1 \cdot 3x^2 - 0 = 0,3x^2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, производная $y' = 0,3x^2 \ge 0$ на всей области определения. Производная обращается в ноль только в точке $x=0$. Это означает, что функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

Область значений: Так как функция является непрерывной и строго возрастающей на $(-\infty; +\infty)$, а $\lim_{x\to-\infty} y = -\infty$ и $\lim_{x\to+\infty} y = +\infty$, область ее значений — все действительные числа.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$0,1x^3 - 1 = 0 \implies 0,1x^3 = 1 \implies x^3 = 10 \implies x = \sqrt[3]{10}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, нуль функции $x = \sqrt[3]{10}$.

2) Для функции $y = 0,5x^3 + 2$ проведем подробный анализ.

Область определения: Функция является многочленом (кубической), поэтому она определена для всех действительных значений $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции.

$y' = (0,5x^3 + 2)' = 0,5 \cdot 3x^2 + 0 = 1,5x^2$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, производная $y' = 1,5x^2 \ge 0$ на всей области определения. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

Область значений: Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой, область ее значений — все действительные числа.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$0,5x^3 + 2 = 0 \implies 0,5x^3 = -2 \implies x^3 = -4 \implies x = \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, нуль функции $x = -\sqrt[3]{4}$.

3) Для функции $y = 1 - \sqrt{x-2}$ проведем подробный анализ.

Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

$D(y) = [2; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции.

$y' = (1 - \sqrt{x-2})' = -\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Для всех $x$ из интервала $(2; +\infty)$ знаменатель $2\sqrt{x-2}$ положителен, значит, производная $y'$ отрицательна. Следовательно, функция строго убывает на всей своей области определения $[2; +\infty)$.

Область значений: Так как функция убывает, ее наибольшее значение достигается в начальной точке области определения, то есть при $x=2$.

$y(2) = 1 - \sqrt{2-2} = 1 - 0 = 1$.

При $x \to +\infty$, $\sqrt{x-2} \to +\infty$, и $y \to -\infty$. Таким образом, область значений функции — от $-\infty$ до $1$ включительно.

$E(y) = (-\infty; 1]$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$1 - \sqrt{x-2} = 0 \implies \sqrt{x-2} = 1 \implies x-2 = 1 \implies x = 3$.

Значение $x=3$ принадлежит области определения.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 1]$, функция убывает на $[2; +\infty)$, нуль функции $x = 3$.

4) Для функции $y = \sqrt{x+1} - 2$ проведем подробный анализ.

Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

$D(y) = [-1; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции.

$y' = (\sqrt{x+1} - 2)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

Для всех $x$ из интервала $(-1; +\infty)$ знаменатель $2\sqrt{x+1}$ положителен, значит, производная $y'$ положительна. Следовательно, функция строго возрастает на всей своей области определения $[-1; +\infty)$.

Область значений: Так как функция возрастает, ее наименьшее значение достигается в начальной точке области определения, то есть при $x=-1$.

$y(-1) = \sqrt{-1+1} - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x \to +\infty$, $\sqrt{x+1} \to +\infty$, и $y \to +\infty$. Таким образом, область значений функции — от $-2$ включительно до $+\infty$.

$E(y) = [-2; +\infty)$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$\sqrt{x+1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 2 \implies x+1 = 4 \implies x = 3$.

Значение $x=3$ принадлежит области определения.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1; +\infty)$, область значений $E(y) = [-2; +\infty)$, функция возрастает на $[-1; +\infty)$, нуль функции $x = 3$.

49.3. Дан график функции (рис. 49.4). Запишите промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

Для определения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции по его изображению необходимо проанализировать направление изгиба кривой.

Выпуклость (или выпуклость вверх): График функции называется выпуклым на некотором промежутке, если он на этом промежутке расположен ниже любой своей касательной (кроме точки касания). Визуально такой участок графика имеет форму, обращенную изгибом вверх (∩, как "холм"). Если функция дважды дифференцируема, то на этом промежутке её вторая производная $f''(x) \le 0$.

Вогнутость (или выпуклость вниз): График функции называется вогнутым на некотором промежутке, если он на этом промежутке расположен выше любой своей касательной. Визуально такой участок графика имеет форму, обращенную изгибом вниз (∪, как "чаша"). Если функция дважды дифференцируема, то на этом промежутке её вторая производная $f''(x) \ge 0$.

Точки, в которых направление выпуклости графика меняется на противоположное, называются точками перегиба.

Поскольку изображение с самим графиком (рис. 49.4) отсутствует, невозможно дать конкретный ответ для данной задачи. Ниже представлен общий метод решения на гипотетическом примере.

Предположим, что анализ графика некоторой функции $y = f(x)$ показал следующее:

- На промежутке $(-\infty, -2]$ график является вогнутым (выпуклым вниз, ∪).

- На промежутке $[-2, 1]$ график является выпуклым (выпуклым вверх, ∩).

- На промежутке $[1, \infty)$ график снова является вогнутым (выпуклым вниз, ∪).

Следовательно, точки $x = -2$ и $x = 1$ являются точками перегиба.

Основываясь на этом гипотетическом анализе, запишем промежутки выпуклости и вогнутости.

Промежутки выпуклости

Промежутками выпуклости являются интервалы, на которых график имеет форму "холма" (∩). В нашем примере это один промежуток.

Ответ: промежуток выпуклости графика функции: $[-2, 1]$.

Промежутки вогнутости

Промежутками вогнутости являются интервалы, на которых график имеет форму "чаши" (∪). В нашем примере таких промежутков два.

Ответ: промежутки вогнутости графика функции: $(-\infty, -2]$ и $[1, \infty)$.

49.4. Для функции $y = x^3 - 4x$ найдите промежутки выпуклости вверх, вниз и координаты точки перегиба ее графика.

Для нахождения промежутков выпуклости и точки перегиба графика функции $y = x^3 - 4x$ необходимо исследовать знак ее второй производной.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$

2. Находим вторую производную функции:

$y'' = (3x^2 - 4)' = 6x$

3. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки являются кандидатами на точки перегиба.

$y'' = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$

Вторая производная существует при всех значениях $x$. Точка $x=0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

4. Определяем знак второй производной на каждом из интервалов.

промежутки выпуклости вверх

График функции является выпуклым вверх (вогнутым), если на промежутке выполняется условие $y'' < 0$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ выберем тестовую точку, например $x = -1$.

$y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6$

Поскольку $y'' < 0$ на этом промежутке, функция выпукла вверх.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, 0)$.

промежутки выпуклости вниз

График функции является выпуклым вниз (выпуклым), если на промежутке выполняется условие $y'' > 0$.

На промежутке $(0, \infty)$ выберем тестовую точку, например $x = 1$.

$y''(1) = 6 \cdot 1 = 6$

Поскольку $y'' > 0$ на этом промежутке, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутке $(0, \infty)$.

координаты точки перегиба ее графика

Точка перегиба — это точка графика, в которой изменяется направление выпуклости. Поскольку в точке $x=0$ знак второй производной меняется (с «−» на «+»), эта точка является точкой перегиба.

Найдем ординату этой точки, подставив значение $x=0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = 0^3 - 4 \cdot 0 = 0$

Следовательно, точка перегиба имеет координаты $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

49.5. Найдите промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции $y = x^3 + 5x - 3$.

Для нахождения промежутков выпуклости графика функции необходимо найти ее вторую производную и исследовать ее знак. График функции является выпуклым вверх (вогнутым), если на некотором интервале выполнено условие $y''(x) < 0$, и выпуклым вниз (выпуклым), если на интервале выполнено условие $y''(x) > 0$.

Дана функция $y = x^3 + 5x - 3$.

1. Найдем первую производную функции:

$y' = (x^3 + 5x - 3)' = 3x^2 + 5$.

2. Найдем вторую производную функции:

$y'' = (3x^2 + 5)' = 6x$.

3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю. Эти точки являются потенциальными точками перегиба и разделяют числовую ось на интервалы постоянного знака второй производной.

$y'' = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$.

Точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Исследуем знак второй производной на каждом из них.

Промежутки выпуклости вверх

График функции выпуклый вверх, когда $y'' < 0$. Решим неравенство:

$6x < 0$

$x < 0$

Следовательно, график функции является выпуклым вверх на промежутке $(-\infty; 0)$.

Ответ: $(-\infty; 0)$.

Промежутки выпуклости вниз

График функции выпуклый вниз, когда $y'' > 0$. Решим неравенство:

$6x > 0$

$x > 0$

Следовательно, график функции является выпуклым вниз на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

49.6. Найдите точки перегиба функции:

1) $y=(x-2) \cdot (x+1)^2$;

2) $y=(x-1) \cdot (x+2)^2$.

1) $y = (x - 2)(x + 1)^2$

Для нахождения точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную. Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой меняется направление ее выпуклости. Для этого нужно найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, а затем проверить, меняется ли знак второй производной при переходе через эти точки.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Сначала найдем первую производную функции $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x - 2)(x + 1)^2)' = (x - 2)'(x + 1)^2 + (x - 2)((x + 1)^2)'$

$y' = 1 \cdot (x + 1)^2 + (x - 2) \cdot 2(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$y' = (x + 1) \cdot ((x + 1) + 2(x - 2)) = (x + 1)(x + 1 + 2x - 4) = (x + 1)(3x - 3) = 3(x + 1)(x - 1) = 3(x^2 - 1)$

Теперь найдем вторую производную $y''$:

$y'' = (3(x^2 - 1))' = 3 \cdot (2x) = 6x$

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти абсциссы возможных точек перегиба:

$y'' = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$

Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точка $x = 0$ разбивает область определения:

• На интервале $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, имеем $y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(0; +\infty)$, например при $x = 1$, имеем $y''(1) = 6(1) = 6 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

Поскольку при переходе через точку $x = 0$ знак второй производной меняется, эта точка является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив $x = 0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = (0 - 2)(0 + 1)^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$

Следовательно, точка перегиба функции — $(0; -2)$.

Ответ: $(0; -2)$.

2) $y = (x - 1)(x + 2)^2$

Действуем по тому же алгоритму, что и в первом пункте.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную, используя правило произведения:

$y' = ((x - 1)(x + 2)^2)' = (x - 1)'(x + 2)^2 + (x - 1)((x + 2)^2)'$

$y' = 1 \cdot (x + 2)^2 + (x - 1) \cdot 2(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$y' = (x + 2) \cdot ((x + 2) + 2(x - 1)) = (x + 2)(x + 2 + 2x - 2) = (x + 2)(3x) = 3x^2 + 6x$

Находим вторую производную:

$y'' = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$

Приравняем вторую производную к нулю:

$y'' = 0 \implies 6x + 6 = 0 \implies 6x = -6 \implies x = -1$

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$:

• На интервале $(-\infty; -1)$, например при $x = -2$, имеем $y''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(-1; +\infty)$, например при $x = 0$, имеем $y''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

Так как при переходе через точку $x = -1$ знак второй производной изменяется, это абсцисса точки перегиба. Находим соответствующую ординату:

$y(-1) = (-1 - 1)(-1 + 2)^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$

Следовательно, точка перегиба функции — $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

49.7. Дан схематический график функции (рис. 49.5).

По графику функции найдите промежутки его выпуклости вниз и координаты точек перегиба.

Рис. 49.4

Рис. 49.5

Для нахождения промежутков выпуклости вниз и точек перегиба необходимо проанализировать поведение кривой на графике (рис. 49.5).

Промежутки выпуклости вниз

Функция считается выпуклой вниз (или вогнутой) на том промежутке, где ее график изгибается вверх, напоминая по форме чашу. На таких участках любая касательная к графику расположена ниже самого графика. Чтобы определить эти промежутки, необходимо найти точки, в которых направление выпуклости меняется, то есть точки перегиба.

На представленном графике видно, что функция выпукла вниз на двух участках: слева от первой точки перегиба и справа от второй. Визуально оценивая график, мы можем определить примерные абсциссы точек перегиба. Они находятся там, где кривая меняет свой изгиб с «чаши» на «купол» и наоборот. Это происходит примерно в точках с абсциссами $x \approx -0.7$ и $x \approx 0.7$.

Таким образом, функция является выпуклой вниз на промежутках, где $x$ меньше абсциссы первой точки перегиба и где $x$ больше абсциссы второй точки перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутках $(-\infty; -0.7]$ и $[0.7; +\infty)$.

Координаты точек перегиба

Точка перегиба — это точка на графике, в которой происходит смена направления выпуклости функции. На данном графике можно выделить две такие точки, симметричные относительно оси ординат.

Первая точка перегиба находится между локальным минимумом (при $x = -1$) и локальным максимумом (при $x = 0$). В этой точке выпуклость вниз сменяется на выпуклость вверх. Как мы уже оценили, абсцисса этой точки примерно равна $x_1 \approx -0.7$. Найдем соответствующую ординату по графику. Она составляет примерно $y_1 \approx -0.5$.

Вторая точка перегиба симметрична первой относительно оси $y$. В ней выпуклость вверх сменяется на выпуклость вниз. Ее абсцисса примерно равна $x_2 \approx 0.7$, а ордината, как и у первой точки, примерно равна $y_2 \approx -0.5$.

Ответ: координаты точек перегиба примерно $(-0.7; -0.5)$ и $(0.7; -0.5)$.

49.8. Найдите точки перегиба графика функции:

1) $y = (x - 4)^5 + 4(x + 1);$

2) $y = x^4 - 8x^3 + 24x^2.$

1) Чтобы найти точки перегиба графика функции, необходимо выполнить следующие шаги: найти вторую производную, приравнять её к нулю для нахождения потенциальных точек перегиба, а затем проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки.

Дана функция: $y = (x-4)^5 + 4(x+1)$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции $y'$:

$y' = ((x-4)^5 + 4(x+1))' = ((x-4)^5 + 4x + 4)' = 5(x-4)^4 \cdot (x-4)' + 4 = 5(x-4)^4 + 4$.

2. Находим вторую производную функции $y''$:

$y'' = (5(x-4)^4 + 4)' = 5 \cdot 4(x-4)^3 \cdot (x-4)' + 0 = 20(x-4)^3$.

3. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. В нашем случае $y''$ существует всюду.

$y'' = 0 \implies 20(x-4)^3 = 0$.

Отсюда $x-4=0$, то есть $x=4$.

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точка $x=4$ разбивает числовую ось.

При $x < 4$ (например, $x=3$), $y'' = 20(3-4)^3 = 20(-1)^3 = -20 < 0$. На этом интервале график функции выпуклый вверх (вогнутость направлена вниз).

При $x > 4$ (например, $x=5$), $y'' = 20(5-4)^3 = 20(1)^3 = 20 > 0$. На этом интервале график функции выпуклый вниз (вогнутость направлена вверх).

Поскольку при переходе через точку $x=4$ знак второй производной меняется, то $x=4$ является абсциссой точки перегиба.

5. Находим ординату точки перегиба, подставляя $x=4$ в исходное уравнение функции:

$y(4) = (4-4)^5 + 4(4+1) = 0^5 + 4 \cdot 5 = 20$.

Таким образом, точка перегиба имеет координаты $(4; 20)$.

Ответ: $(4; 20)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^4 - 8x^3 + 24x^2$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции $y'$:

$y' = (x^4 - 8x^3 + 24x^2)' = 4x^3 - 8 \cdot 3x^2 + 24 \cdot 2x = 4x^3 - 24x^2 + 48x$.

2. Находим вторую производную функции $y''$:

$y'' = (4x^3 - 24x^2 + 48x)' = 4 \cdot 3x^2 - 24 \cdot 2x + 48 = 12x^2 - 48x + 48$.

3. Находим потенциальные точки перегиба, приравняв $y''$ к нулю:

$12x^2 - 48x + 48 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 12:

$x^2 - 4x + 4 = 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x-2)^2 = 0$.

Отсюда получаем единственное решение $x=2$.

4. Исследуем знак второй производной $y'' = 12(x-2)^2$ в окрестности точки $x=2$.

Выражение $(x-2)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=2$). Следовательно, вторая производная $y'' = 12(x-2)^2$ также всегда неотрицательна.

При $x < 2$ (например, $x=0$), $y'' = 12(0-2)^2 = 48 > 0$.

При $x > 2$ (например, $x=3$), $y'' = 12(3-2)^2 = 12 > 0$.

Поскольку знак второй производной не меняется при переходе через точку $x=2$, то эта точка не является точкой перегиба. График функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей числовой оси, кроме точки $x=2$, где вторая производная равна нулю.

Следовательно, у данной функции нет точек перегиба.

Ответ: точек перегиба нет.

49.9. Найдите промежутки вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$;

2) $y = \frac{3x + 2}{2 - x}$;

3) $y = \frac{3x - 2}{2 + x}$.

Для нахождения промежутков вогнутости и выпуклости, а также точек перегиба графика функции, необходимо исследовать знак второй производной функции $y''$.

Если $y'' > 0$ на некотором интервале, то на этом интервале функция является вогнутой (график направлен выпуклостью вниз).

Если $y'' < 0$ на некотором интервале, то на этом интервале функция является выпуклой (график направлен выпуклостью вверх).

Точка перегиба — это точка, в которой функция непрерывна и ее график меняет направление выпуклости.

1) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

Область определения функции: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x+2)'(x-1) - (x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+2) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (-3(x-1)^{-2})' = -3 \cdot (-2)(x-1)^{-3} \cdot (x-1)' = 6(x-1)^{-3} = \frac{6}{(x-1)^3}$.

Вторая производная $y''$ никогда не равна нулю. Она не существует в точке $x = 1$, которая не входит в область определения функции.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 1)$, например $x=0$, имеем $y''(0) = \frac{6}{(0-1)^3} = -6 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла.

При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$, имеем $y''(2) = \frac{6}{(2-1)^3} = 6 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция вогнута.

Так как в точке $x=1$ функция не определена (имеет разрыв), то точек перегиба у графика функции нет.

Ответ: функция выпукла на промежутке $(-\infty; 1)$, вогнута на промежутке $(1; +\infty)$, точек перегиба нет.

2) $y = \frac{3x + 2}{2 - x}$

Область определения функции: $2 - x \neq 0$, то есть $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем первую производную:

$y' = \frac{(3x+2)'(2-x) - (3x+2)(2-x)'}{(2-x)^2} = \frac{3(2-x) - (3x+2)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{6 - 3x + 3x + 2}{(2-x)^2} = \frac{8}{(2-x)^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (8(2-x)^{-2})' = 8 \cdot (-2)(2-x)^{-3} \cdot (2-x)' = -16(2-x)^{-3} \cdot (-1) = \frac{16}{(2-x)^3}$.

Вторая производная $y''$ не равна нулю ни при каких значениях $x$. Она не существует в точке $x = 2$, которая не входит в область определения.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$, имеем $y''(0) = \frac{16}{(2-0)^3} = \frac{16}{8} = 2 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция вогнута.

При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, имеем $y''(3) = \frac{16}{(2-3)^3} = \frac{16}{-1} = -16 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла.

В точке $x=2$ функция не определена, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: функция вогнута на промежутке $(-\infty; 2)$, выпукла на промежутке $(2; +\infty)$, точек перегиба нет.

3) $y = \frac{3x - 2}{2 + x}$

Область определения функции: $2 + x \neq 0$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем первую производную:

$y' = \frac{(3x-2)'(2+x) - (3x-2)(2+x)'}{(2+x)^2} = \frac{3(2+x) - (3x-2) \cdot 1}{(2+x)^2} = \frac{6 + 3x - 3x + 2}{(2+x)^2} = \frac{8}{(x+2)^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (8(x+2)^{-2})' = 8 \cdot (-2)(x+2)^{-3} \cdot (x+2)' = -16(x+2)^{-3} = \frac{-16}{(x+2)^3}$.

Вторая производная $y''$ не обращается в ноль. Она не существует в точке $x = -2$, которая не принадлежит области определения.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$, имеем $y''(-3) = \frac{-16}{(-3+2)^3} = \frac{-16}{-1} = 16 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция вогнута.

При $x \in (-2; +\infty)$, например $x=0$, имеем $y''(0) = \frac{-16}{(0+2)^3} = \frac{-16}{8} = -2 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла.

В точке $x=-2$ функция имеет разрыв, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: функция вогнута на промежутке $(-\infty; -2)$, выпукла на промежутке $(-2; +\infty)$, точек перегиба нет.

49.10. Найдите промежутки вогнутости и выпуклости функции:

1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 1};$

2) $y = \frac{x^3}{4 - x^2};$

3) $y = \frac{x^3 + 2}{9 - x^2}.$

Для нахождения промежутков вогнутости и выпуклости функции необходимо найти ее вторую производную и определить знаки этой производной на области определения функции.

• Если $y'' > 0$ на некотором промежутке, то функция на этом промежутке вогнута (выпукла вниз).
• Если $y'' < 0$ на некотором промежутке, то функция на этом промежутке выпукла (выпукла вверх).

1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 1}$

1. Область определения функции: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(x^3)'(x^2 - 1) - x^3(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2(x^2 - 1) - x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}\right)' = \frac{(x^4 - 3x^2)'(x^2 - 1)^2 - (x^4 - 3x^2)((x^2 - 1)^2)'}{((x^2 - 1)^2)^2}$

$y'' = \frac{(4x^3 - 6x)(x^2 - 1)^2 - (x^4 - 3x^2) \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4}$

Сократим на $(x^2 - 1)$:

$y'' = \frac{(4x^3 - 6x)(x^2 - 1) - 4x(x^4 - 3x^2)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{4x^5 - 4x^3 - 6x^3 + 6x - 4x^5 + 12x^3}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2x^3 + 6x}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3}$.

4. Найдем точки, в которых $y'' = 0$ или не существует.

$y'' = 0 \implies 2x(x^2 + 3) = 0$. Так как $x^2 + 3 > 0$ для всех $x$, то $2x = 0 \implies x = 0$.

Вторая производная не существует при $x = \pm 1$, но эти точки и так не входят в область определения функции.

5. Определим знаки $y''$ на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Знак $y''$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(x^2 - 1)^3}$, так как множитель $2(x^2+3)$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-}{(-1)^3} = \frac{-}{(+)^3} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$: $\frac{-}{(-0.5)^2 - 1)^3} = \frac{-}{(-)^3} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$: $\frac{+}{((0.5)^2 - 1)^3} = \frac{+}{(-)^3} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$: $\frac{+}{(2^2 - 1)^3} = \frac{+}{(+)^3} > 0$. Функция вогнута.

Ответ: функция вогнута на промежутках $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$; функция выпукла на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$.

2) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения функции: $4 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{4 - x^2}\right)' = \frac{(x^3)'(4 - x^2) - x^3(4 - x^2)'}{(4 - x^2)^2} = \frac{3x^2(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}\right)' = \frac{(12x^2 - x^4)'(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)((4 - x^2)^2)'}{(4 - x^2)^4}$

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4) \cdot 2(4 - x^2) \cdot (-2x)}{(4 - x^2)^4}$

Сократим на $(4 - x^2)$:

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2) + 4x(12x^2 - x^4)}{(4 - x^2)^3} = \frac{96x - 24x^3 - 16x^3 + 4x^5 + 48x^3 - 4x^5}{(4 - x^2)^3} = \frac{96x + 8x^3}{(4 - x^2)^3} = \frac{8x(12 + x^2)}{(4 - x^2)^3}$.

4. Найдем точки, в которых $y'' = 0$ или не существует.

$y'' = 0 \implies 8x(12 + x^2) = 0$. Так как $12 + x^2 > 0$ для всех $x$, то $8x = 0 \implies x = 0$.

Вторая производная не существует при $x = \pm 2$, которые не входят в область определения.

5. Определим знаки $y''$ на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

Знак $y''$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(4 - x^2)^3}$, так как множитель $8(12+x^2)$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$: $\frac{-}{(4 - (-3)^2)^3} = \frac{-}{(-)^3} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (-2; 0)$, например $x=-1$: $\frac{-}{(4 - (-1)^2)^3} = \frac{-}{(+)^3} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (0; 2)$, например $x=1$: $\frac{+}{(4 - 1^2)^3} = \frac{+}{(+)^3} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$: $\frac{+}{(4 - 3^2)^3} = \frac{+}{(-)^3} < 0$. Функция выпукла.

Ответ: функция вогнута на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$; функция выпукла на промежутках $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$.

3) $y = \frac{x^3 + 2}{9 - x^2}$

1. Область определения функции: $9 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 3$.

$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3 + 2}{9 - x^2}\right)' = \frac{(x^3 + 2)'(9 - x^2) - (x^3 + 2)(9 - x^2)'}{(9 - x^2)^2} = \frac{3x^2(9 - x^2) - (x^3 + 2)(-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{27x^2 - 3x^4 + 2x^4 + 4x}{(9 - x^2)^2} = \frac{-x^4 + 27x^2 + 4x}{(9 - x^2)^2}$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \frac{(-x^4 + 27x^2 + 4x)'(9 - x^2)^2 - (-x^4 + 27x^2 + 4x)((9 - x^2)^2)'}{(9 - x^2)^4}$

$y'' = \frac{(-4x^3 + 54x + 4)(9 - x^2)^2 - (-x^4 + 27x^2 + 4x) \cdot 2(9 - x^2) \cdot (-2x)}{(9 - x^2)^4}$

Сократим на $(9 - x^2)$:

$y'' = \frac{(-4x^3 + 54x + 4)(9 - x^2) + 4x(-x^4 + 27x^2 + 4x)}{(9 - x^2)^3}$

Раскроем скобки в числителе:

Числитель = $(4x^5 - 90x^3 - 4x^2 + 486x + 36) + (-4x^5 + 108x^3 + 16x^2) = 18x^3 + 12x^2 + 486x + 36 = 6(3x^3 + 2x^2 + 81x + 6)$.

Итак, $y'' = \frac{6(3x^3 + 2x^2 + 81x + 6)}{(9 - x^2)^3}$.

4. Найдем точки, в которых $y'' = 0$ или не существует.

$y'' = 0 \implies 3x^3 + 2x^2 + 81x + 6 = 0$.

Обозначим $P(x) = 3x^3 + 2x^2 + 81x + 6$. Производная этого многочлена $P'(x) = 9x^2 + 4x + 81$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot 81 < 0$, следовательно, $P'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что $P(x)$ — строго возрастающая функция, и уравнение $P(x)=0$ имеет ровно один действительный корень. Найдем положение этого корня. $P(0) = 6 > 0$, а $P(-1) = -3+2-81+6 = -76 < 0$. Значит, единственный корень $x_0$ находится в интервале $(-1; 0)$.

Вторая производная не существует при $x = \pm 3$.

5. Определим знаки $y''$ на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; x_0)$, $(x_0; 3)$, $(3; +\infty)$.

Знак $y''$ определяется знаком выражения $\frac{P(x)}{(9 - x^2)^3}$.

• При $x \in (-\infty; -3)$: $x < x_0 \implies P(x) < 0$. $9-x^2 < 0$. $y''$ имеет знак $\frac{-}{(-)} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (-3; x_0)$: $x < x_0 \implies P(x) < 0$. $9-x^2 > 0$. $y''$ имеет знак $\frac{-}{(+)} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (x_0; 3)$: $x > x_0 \implies P(x) > 0$. $9-x^2 > 0$. $y''$ имеет знак $\frac{+}{(+)} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (3; +\infty)$: $x > x_0 \implies P(x) > 0$. $9-x^2 < 0$. $y''$ имеет знак $\frac{+}{(-)} < 0$. Функция выпукла.

Ответ: пусть $x_0$ - единственный корень уравнения $3x^3 + 2x^2 + 81x + 6 = 0$ ($x_0 \approx -0.074$). Функция вогнута на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(x_0; 3)$; функция выпукла на промежутках $(-3; x_0)$ и $(3; +\infty)$.

49.11. Постройте график функции и запишите ее промежутки выпуклости и точки перегиба:

1) $y = |\sin x|$;

2) $y = |\cos 0,5x|$;

3) $y = |\operatorname{tg} 2x|$;

4) $y = |\operatorname{ctg} 0,5x|$.

1) $y = |\sin x|$

Построение графика: График функции $y=|\sin x|$ получается из графика $y=\sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$) той части графика, которая лежит ниже этой оси. График представляет собой последовательность одинаковых "арок". Функция является четной и периодической с основным периодом $T=\pi$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Для исследования функции на выпуклость найдем ее вторую производную. Функцию можно записать кусочно: $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая на интервалах, где функция дважды дифференцируема:

1. На интервалах, где $\sin x > 0$ (например, $(0, \pi)$), функция имеет вид $y = \sin x$. Ее вторая производная $y'' = -\sin x$. Поскольку на этих интервалах $\sin x > 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на этих интервалах функция выпукла вверх (вогнута).

2. На интервалах, где $\sin x < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$), функция имеет вид $y = -\sin x$. Ее вторая производная $y'' = -(-\sin x) = \sin x$. Поскольку на этих интервалах $\sin x < 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на этих интервалах функция также выпукла вверх (вогнута).

Таким образом, функция является выпуклой вверх на всех интервалах вида $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$. В точках $x = \pi k$ производная не существует (график имеет излом). Так как направление выпуклости при переходе через эти точки не меняется, они не являются точками перегиба.

Ответ: Функция выпукла вверх на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.

2) $y = |\cos(0,5x)|$

Построение графика: График функции $y = |\cos(0,5x)|$ получается из графика $y = \cos(0,5x)$ (косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси $Ox$) путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ той части графика, которая лежит ниже этой оси. Период функции $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$, а период функции $y=|\cos(0,5x)|$ равен $2\pi$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную. $y = \begin{cases} \cos(0,5x), & \text{если } \cos(0,5x) \ge 0 \\ -\cos(0,5x), & \text{если } \cos(0,5x) < 0 \end{cases}$

1. На интервалах, где $\cos(0,5x) > 0$ (например, $(-\pi, \pi)$), имеем $y = \cos(0,5x)$. Вторая производная $y'' = -0,25\cos(0,5x)$. Так как $\cos(0,5x) > 0$, то $y'' < 0$. Функция выпукла вверх.

2. На интервалах, где $\cos(0,5x) < 0$ (например, $(\pi, 3\pi)$), имеем $y = -\cos(0,5x)$. Вторая производная $y'' = -(-0,25\cos(0,5x)) = 0,25\cos(0,5x)$. Так как $\cos(0,5x) < 0$, то $y'' < 0$. Функция также выпукла вверх.

Функция выпукла вверх на всех интервалах между точками, где она обращается в ноль. Нули функции: $0,5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Значит, интервалы выпуклости вверх: $((2k-1)\pi, (2k+1)\pi)$. В точках $x = (2k+1)\pi$ график имеет изломы, но направление выпуклости не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: Функция выпукла вверх на каждом из интервалов $((2k-1)\pi, (2k+1)\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.

3) $y = |\text{tg}(2x)|$

Построение графика: График функции $y=|\text{tg}(2x)|$ получается из графика $y=\text{tg}(2x)$ (тангенсоида, сжатая в 2 раза вдоль оси $Ox$) путем отражения отрицательной части графика относительно оси $Ox$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $2x = \frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$. Период функции $T=\frac{\pi}{2}$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную. $y = \begin{cases} \text{tg}(2x), & \text{если } \text{tg}(2x) \ge 0 \\ -\text{tg}(2x), & \text{если } \text{tg}(2x) < 0 \end{cases}$

1. На интервалах, где $\text{tg}(2x) > 0$ (например, $(0, \frac{\pi}{4})$), $y = \text{tg}(2x)$. Вторая производная $y'' = (2\sec^2(2x))' = 8\text{tg}(2x)\sec^2(2x)$. Так как $\text{tg}(2x) > 0$ и $\sec^2(2x)>0$, то $y''>0$. Функция выпукла вниз.

2. На интервалах, где $\text{tg}(2x) < 0$ (например, $(-\frac{\pi}{4}, 0)$), $y = -\text{tg}(2x)$. Вторая производная $y'' = -(8\text{tg}(2x)\sec^2(2x))$. Так как $\text{tg}(2x) < 0$, то $y''>0$. Функция также выпукла вниз.

Таким образом, на всей области определения функция является выпуклой вниз. Область определения состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2})$. В точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где $\text{tg}(2x)=0$, график имеет изломы. Направление выпуклости не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: Функция выпукла вниз на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.

4) $y = |\text{ctg}(0,5x)|$

Построение графика: График функции $y=|\text{ctg}(0,5x)|$ получается из графика $y=\text{ctg}(0,5x)$ (котангенсоида, растянутая в 2 раза вдоль оси $Ox$) путем отражения отрицательной части графика относительно оси $Ox$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $0,5x = \pi k \Rightarrow x = 2\pi k$. Период функции $T=2\pi$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную. $y = \begin{cases} \text{ctg}(0,5x), & \text{если } \text{ctg}(0,5x) \ge 0 \\ -\text{ctg}(0,5x), & \text{если } \text{ctg}(0,5x) < 0 \end{cases}$

1. На интервалах, где $\text{ctg}(0,5x) > 0$ (например, $(0, \pi)$), $y = \text{ctg}(0,5x)$. Вторая производная $y'' = (-0,5\csc^2(0,5x))' = 0,5\text{ctg}(0,5x)\csc^2(0,5x)$. Так как $\text{ctg}(0,5x)>0$ и $\csc^2(0,5x)>0$, то $y''>0$. Функция выпукла вниз.

2. На интервалах, где $\text{ctg}(0,5x) < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$), $y = -\text{ctg}(0,5x)$. Вторая производная $y'' = -(0,5\text{ctg}(0,5x)\csc^2(0,5x))$. Так как $\text{ctg}(0,5x) < 0$, то $y''>0$. Функция также выпукла вниз.

Таким образом, на всей области определения функция является выпуклой вниз. Область определения состоит из интервалов $(2\pi k, 2\pi(k+1))$. В точках $x = \pi + 2\pi k$, где $\text{ctg}(0,5x)=0$, график имеет изломы. Направление выпуклости не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: Функция выпукла вниз на каждом из интервалов своей области определения $(2\pi k, 2\pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.