Страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13.16. Используя преобразования, постройте график и найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = 1 + \text{tg} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$;

2) $y = 2\text{ctg} (3x - 4) - 1$;

3) $y = -2\text{tg} \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right)$.

1) Рассматриваем функцию $y = 1 + \text{tg}(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика $y = \text{tg}(x)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках: $2x + \frac{2\pi}{3} = 2(x + \frac{\pi}{3})$.

Последовательность преобразований:

1. $y = \text{tg}(x) \rightarrow y = \text{tg}(2x)$: Сжатие графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{\pi}{2}$.

2. $y = \text{tg}(2x) \rightarrow y = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{3}))$: Сдвиг графика влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

3. $y = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{3})) \rightarrow y = 1 + \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{3}))$: Сдвиг графика вверх вдоль оси Oy на 1.

Теперь найдем промежутки возрастания. Функция $y = \text{tg}(t)$ возрастает на всей своей области определения. Так как коэффициент при $x$ (равен 2) и коэффициент перед тангенсом (равен 1) положительны, итоговая функция также будет возрастать на всей своей области определения. Промежутки возрастания совпадают с интервалами области определения функции.

Найдем область определения из условия, что аргумент тангенса не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

$2x + \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$

$2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n$

$2x \neq \frac{3\pi - 4\pi}{6} + \pi n$

$2x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi n$

$x \neq -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

Это уравнения вертикальных асимптот. Функция возрастает на интервалах между асимптотами. Чтобы найти эти интервалы, решим неравенство для основного промежутка возрастания тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$:

$-\frac{\pi}{2} < 2x + \frac{2\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} < 2x < \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}$

$-\frac{7\pi}{6} < 2x < -\frac{\pi}{6}$

$-\frac{7\pi}{12} < x < -\frac{\pi}{12}$

Учитывая периодичность функции с периодом $T = \frac{\pi}{2}$, все промежутки возрастания описываются формулой:

$(-\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in Z$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $(-\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2})$, где $n \in Z$.

2) Рассматриваем функцию $y = 2\text{ctg}(3x - 4) - 1$.

График этой функции можно получить из графика $y = \text{ctg}(x)$ следующими преобразованиями:

1. $y = \text{ctg}(x) \rightarrow y = \text{ctg}(3x)$: Сжатие графика вдоль оси Ox в 3 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{3}$.

2. $y = \text{ctg}(3x) \rightarrow y = \text{ctg}(3(x - \frac{4}{3}))$: Сдвиг графика вправо вдоль оси Ox на $\frac{4}{3}$.

3. $y = \text{ctg}(3(x - \frac{4}{3})) \rightarrow y = 2\text{ctg}(3(x - \frac{4}{3}))$: Растяжение графика вдоль оси Oy в 2 раза.

4. $y = 2\text{ctg}(3(x - \frac{4}{3})) \rightarrow y = 2\text{ctg}(3(x - \frac{4}{3})) - 1$: Сдвиг графика вниз вдоль оси Oy на 1.

Функция $y = \text{ctg}(t)$ является убывающей на всей своей области определения. Преобразования сдвига, сжатия по оси Ox и растяжения по оси Oy с положительным коэффициентом (2) не меняют характер монотонности функции. Следовательно, данная функция $y = 2\text{ctg}(3x - 4) - 1$ убывает на каждом интервале своей области определения.

Для проверки найдем производную функции:

$y' = (2\text{ctg}(3x - 4) - 1)' = 2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(3x - 4)}) \cdot (3x - 4)' = -\frac{6}{\sin^2(3x-4)}$

Поскольку $\sin^2(3x-4) > 0$ для всех $x$ из области определения функции, то $y' < 0$. Это подтверждает, что функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Таким образом, у данной функции нет промежутков возрастания.

Ответ: промежутков возрастания нет.

3) Рассматриваем функцию $y = -2\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$.

График этой функции можно получить из графика $y = \text{tg}(x)$ следующими преобразованиями:

1. $y = \text{tg}(x) \rightarrow y = \text{tg}(4x)$: Сжатие графика вдоль оси Ox в 4 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{4}$.

2. $y = \text{tg}(4x) \rightarrow y = \text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$: Сдвиг графика влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

3. $y = \text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3})) \rightarrow y = -\text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$: Симметричное отражение графика относительно оси Ox.

4. $y = -\text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3})) \rightarrow y = -2\text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$: Растяжение графика вдоль оси Oy в 2 раза.

Функция $y = \text{tg}(t)$ является возрастающей. Однако из-за умножения на отрицательный коэффициент (-2), характер монотонности меняется на противоположный. Следовательно, функция $y = -2\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$ является убывающей на каждом интервале своей области определения.

Для проверки найдем производную функции:

$y' = (-2\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3}))' = -2 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x + \frac{4\pi}{3})} \cdot (4x + \frac{4\pi}{3})' = -\frac{8}{\cos^2(4x + \frac{4\pi}{3})}$

Поскольку $\cos^2(4x + \frac{4\pi}{3}) > 0$ для всех $x$ из области определения функции, то $y' < 0$. Это подтверждает, что функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Таким образом, у данной функции нет промежутков возрастания.

Ответ: промежутков возрастания нет.

13.17. Исследуйте на четность и найдите период функции:

1) $y = 3\text{tg}x + 2\sin2x;$

2) $y = -2\text{ctg}(3x - 2) + x;$

3) $y = -5\text{tg}(0,2x + 4).$

1) $y = 3\text{tg}x + 2\sin(2x)$

Исследование на четность:

Область определения функции $D(y)$ находится из условия, что аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, $D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Данная область определения симметрична относительно начала координат (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).

Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 3\text{tg}(-x) + 2\sin(2(-x)) = 3\text{tg}(-x) + 2\sin(-2x)$.

Поскольку функции синус и тангенс являются нечетными, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}\alpha$, получаем:

$y(-x) = 3(-\text{tg}x) + 2(-\sin(2x)) = -3\text{tg}x - 2\sin(2x) = -(3\text{tg}x + 2\sin(2x)) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Нахождение периода:

Функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = 3\text{tg}x$ и $f_2(x) = 2\sin(2x)$.

Основной период функции $f_1(x) = 3\text{tg}x$ совпадает с периодом $\text{tg}x$ и равен $T_1 = \pi$.

Основной период функции $f_2(x) = 2\sin(2x)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0 = 2\pi$ - период синуса, а $k=2$. Получаем $T_2 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Период суммы двух функций с одинаковым периодом $\pi$ также равен $\pi$.

Ответ: функция нечетная, период равен $\pi$.

2) $y = -2\text{ctg}(3x - 2) + x$

Исследование на четность:

Область определения функции $D(y)$ задается условием $3x - 2 \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{2+\pi k}{3}$.

Данная область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, при $k=0$, точка $x_0 = \frac{2}{3}$ не принадлежит области определения. При этом точка $-x_0 = -\frac{2}{3}$ принадлежит области определения, так как $3(-\frac{2}{3})-2 = -4$, и $-4 \neq \pi k$ ни для какого целого $k$.

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Нахождение периода:

Функция представляет собой сумму двух слагаемых: периодической функции $f_1(x) = -2\text{ctg}(3x - 2)$ и непериодической функции $f_2(x) = x$.

Период функции $f_1(x)$ равен $T_1 = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Функция $f_2(x) = x$ не является периодической, так как не существует такого числа $T \neq 0$, чтобы для всех $x$ выполнялось равенство $x+T=x$.

Сумма периодической и непериодической функции (не являющейся константой) является непериодической функцией.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной; не является периодической.

3) $y = -5\text{tg}(0,2x + 4)$

Исследование на четность:

Область определения $D(y)$ находится из условия $0,2x + 4 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$0,2x \neq \frac{\pi}{2} - 4 + \pi k$

$x \neq \frac{\frac{\pi}{2} - 4 + \pi k}{0,2} = 5(\frac{\pi}{2} - 4 + \pi k) = \frac{5\pi}{2} - 20 + 5\pi k$.

Из-за сдвига аргумента на 4 ($0,2x + 4 = 0,2(x+20)$) область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, при $k=0$ точка $x_0 = \frac{5\pi}{2} - 20$ исключается из области определения, а точка $-x_0 = 20 - \frac{5\pi}{2}$ в нее входит.

Так как область определения несимметрична, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Нахождение периода:

Для функции вида $y = A\text{tg}(kx+b)$ основной период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\text{tg}x$, равный $\pi$.

В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,2$.

Следовательно, период функции равен $T = \frac{\pi}{|0,2|} = \frac{\pi}{1/5} = 5\pi$.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной, период равен $5\pi$.

*13.18. Найдите число корней уравнения:

1) $2x - 3 = \operatorname{ctg}0.4x;$

2) $x^2 - 2x = \operatorname{tg}0.2x.$

1) $2x - 3 = \ctg(0,4x)$

Для нахождения числа корней уравнения воспользуемся графическим методом. Рассмотрим две функции: $y_1 = 2x - 3$ и $y_2 = \ctg(0,4x)$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

1. Функция $y_1 = 2x - 3$ — это прямая линия. Она является возрастающей на всей числовой оси, так как её угловой коэффициент равен 2 (больше нуля).

2. Функция $y_2 = \ctg(0,4x)$ — это котангенсоида.

Область определения этой функции: $0,4x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{\pi k}{0,4}$, то есть $x \neq \frac{5\pi k}{2}$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика.

Период функции $T = \frac{\pi}{0,4} = \frac{5\pi}{2}$.

На каждом интервале своей области определения, $(\frac{5\pi k}{2}; \frac{5\pi(k+1)}{2})$, функция $y_2 = \ctg(0,4x)$ является непрерывной и строго убывающей, а её область значений — вся числовая прямая, то есть $(-\infty; +\infty)$.

3. Рассмотрим любой такой интервал $(\frac{5\pi k}{2}; \frac{5\pi(k+1)}{2})$, где $k$ — любое целое число.

На этом интервале функция $y_1 = 2x - 3$ непрерывна и возрастает.

Функция $y_2 = \ctg(0,4x)$ непрерывна и убывает.

На границах интервала имеем:

$\lim_{x \to (\frac{5\pi k}{2})^+} \ctg(0,4x) = +\infty$

$\lim_{x \to (\frac{5\pi(k+1)}{2})^-} \ctg(0,4x) = -\infty$

Поскольку возрастающая функция $y_1(x)$ и убывающая функция $y_2(x)$, область значений которой на данном интервале $(-\infty; +\infty)$, пересекаются ровно один раз.

Иначе говоря, рассмотрим разность функций $f(x) = 2x - 3 - \ctg(0,4x)$. На интервале $(\frac{5\pi k}{2}; \frac{5\pi(k+1)}{2})$ функция $f(x)$ непрерывна и строго возрастает, так как её производная $f'(x) = 2 - (-\frac{0,4}{\sin^2(0,4x)}) = 2 + \frac{0,4}{\sin^2(0,4x)} > 2$.

При $x$, стремящемся к левой границе интервала, $f(x) \to (5\pi k - 3) - (+\infty) = -\infty$.

При $x$, стремящемся к правой границе интервала, $f(x) \to (5\pi(k+1) - 3) - (-\infty) = +\infty$.

Так как непрерывная функция $f(x)$ меняет знак с минуса на плюс на данном интервале, она имеет на нем ровно один корень.

Поскольку таких интервалов бесконечно много (для каждого целого $k$), то и число корней уравнения бесконечно.

Ответ: бесконечно много.

2) $x^2 - 2x = \tg(0,2x)$

Для нахождения числа корней уравнения также воспользуемся графическим методом. Рассмотрим функции $y_1 = x^2 - 2x$ и $y_2 = \tg(0,2x)$.

1. Функция $y_1 = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Координаты вершины: $(1, (1)^2-2(1)) = (1, -1)$. Минимальное значение функции равно -1.

2. Функция $y_2 = \tg(0,2x)$ — это тангенсоида.

Область определения: $0,2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{\pi/2 + \pi k}{0,2}$, то есть $x \neq \frac{5\pi}{2} + 5\pi k$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты.

Период функции $T = \frac{\pi}{0,2} = 5\pi$.

На каждом интервале своей области определения, $(\frac{5\pi}{2} + 5\pi k; \frac{5\pi}{2} + 5\pi(k+1))$, функция $y_2 = \tg(0,2x)$ является непрерывной и строго возрастающей, а её область значений — $(-\infty; +\infty)$.

3. Проверим наличие очевидных корней. При $x=0$:

$y_1(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.

$y_2(0) = \tg(0) = 0$.

Следовательно, $x=0$ является одним из корней уравнения.

4. Рассмотрим другие интервалы.

Случай $x > 0$:

Рассмотрим интервалы вида $(\frac{5\pi}{2} + 5\pi(k-1); \frac{5\pi}{2} + 5\pi k)$ для $k \ge 1$. Внутри каждого такого интервала тангенс принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Парабола $y_1 = x^2 - 2x$ при $x>2$ положительна и возрастает.

На каждом таком интервале тангенс возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Парабола также возрастает (так как $x>1$). Поскольку область значений тангенса на интервале — вся числовая прямая, а парабола принимает конечные значения, их графики обязательно пересекутся.

Более строго: рассмотрим интервал $(5\pi k, \frac{5\pi}{2} + 5\pi k)$ для $k \ge 1$. На этом интервале $\tg(0,2x) \ge 0$.

При $x = 5\pi k$: $y_1 = (5\pi k)^2 - 10\pi k > 0$ (для $k \ge 1$), а $y_2 = \tg(\pi k) = 0$. Значит, $y_1 > y_2$.

При $x \to (\frac{5\pi}{2} + 5\pi k)^-$, значение $y_1$ конечно, а $y_2 \to +\infty$. Значит, $y_1 < y_2$.

Поскольку на интервале $(5\pi k, \frac{5\pi}{2} + 5\pi k)$ обе функции непрерывны, и разность $y_1 - y_2$ меняет знак, на этом интервале есть хотя бы один корень. Так как таких интервалов бесконечно много (для $k=1, 2, 3, ...$), существует бесконечно много положительных корней.

Случай $x < 0$:

Рассмотрим интервалы вида $(\frac{5\pi}{2} + 5\pi k; \frac{5\pi}{2} + 5\pi(k+1))$ для $k \le -1$.

Например, при $k=-1$ интервал будет $(-\frac{15\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2})$.

В этом интервале функция $y_1 = x^2 - 2x$ положительна и убывает (т.к. $x<1$).

Функция $y_2 = \tg(0,2x)$ возрастает.

На подинтервале $(-5\pi, -\frac{5\pi}{2})$ тангенс положителен (угол в III четверти) и возрастает от $0$ до $+\infty$.

При $x = -5\pi$: $y_1 = (-5\pi)^2 - 2(-5\pi) = 25\pi^2 + 10\pi > 0$, а $y_2 = \tg(-\pi) = 0$. Значит, $y_1 > y_2$.

При $x \to (-\frac{5\pi}{2})^-$, значение $y_1$ конечно, а $y_2 \to +\infty$. Значит, $y_1 < y_2$.

Убывающая функция $y_1$ и возрастающая функция $y_2$ пересекаются на этом интервале ровно один раз.

Такой анализ можно провести для каждого $k \le -1$, и в каждом таком периоде будет найден ровно один корень. Следовательно, существует бесконечно много отрицательных корней.

Таким образом, уравнение имеет один корень $x=0$, бесконечно много положительных корней и бесконечно много отрицательных корней.

Ответ: бесконечно много.

13.19. Найдите период функции:

1) $y = \{x\} + \mathrm{tg}\pi x;$

2) $y = \mathrm{ctg}4x - \mathrm{sin}2x;$

3) $y = 2\{2x\} + \mathrm{cos}4\pi x;$

4) $y = \left\{\frac{x}{3}\right\} + 2\mathrm{tg}\frac{\pi x}{3}.$

1) Функция $y = \{x\} + \text{tg}(\pi x)$ является суммой двух функций: $f_1(x) = \{x\}$ и $f_2(x) = \text{tg}(\pi x)$.

Период функции $f_1(x) = \{x\}$ (дробная часть числа) равен $T_1 = 1$.

Период функции тангенс $\text{tg}(u)$ равен $\pi$. Для функции $f_2(x) = \text{tg}(\pi x)$ период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{\pi}{|k|}$, где $k=\pi$. Таким образом, $T_2 = \frac{\pi}{\pi} = 1$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. В данном случае $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 1) = 1$.

Ответ: 1.

2) Функция $y = \text{ctg}(4x) - \text{sin}(2x)$ является разностью двух функций: $f_1(x) = \text{ctg}(4x)$ и $f_2(x) = \text{sin}(2x)$.

Период функции котангенс $\text{ctg}(u)$ равен $\pi$. Для функции $f_1(x) = \text{ctg}(4x)$ период $T_1$ находится по формуле $T_1 = \frac{\pi}{|k|}$, где $k=4$. Таким образом, $T_1 = \frac{\pi}{4}$.

Период функции синус $\text{sin}(u)$ равен $2\pi$. Для функции $f_2(x) = \text{sin}(2x)$ период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=2$. Таким образом, $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Период разности двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \pi)$.

Чтобы найти НОК, ищем такие наименьшие натуральные числа $n_1$ и $n_2$, что $n_1 T_1 = n_2 T_2$.

$n_1 \frac{\pi}{4} = n_2 \pi \implies \frac{n_1}{4} = n_2$. Наименьшие натуральные значения: $n_1=4$, $n_2=1$.

Тогда период $T = n_1 T_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$. Или $T = n_2 T_2 = 1 \cdot \pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) Функция $y = 2\{2x\} + \text{cos}(4\pi x)$ является суммой двух функций: $f_1(x) = 2\{2x\}$ и $f_2(x) = \text{cos}(4\pi x)$.

Период функции $f(x) = \{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$. Для функции $f_1(x) = 2\{2x\}$ (множитель 2 не влияет на период), где $k=2$, период $T_1 = \frac{1}{2}$.

Период функции косинус $\text{cos}(u)$ равен $2\pi$. Для функции $f_2(x) = \text{cos}(4\pi x)$ период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=4\pi$. Таким образом, $T_2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. В данном случае $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: 0,5.

4) Функция $y = \{\frac{x}{3}\} + 2\text{tg}\frac{\pi x}{3}$ является суммой двух функций: $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$ и $f_2(x) = 2\text{tg}\frac{\pi x}{3}$.

Период функции $f(x) = \{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$. Для функции $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$, где $k=\frac{1}{3}$, период $T_1 = \frac{1}{1/3} = 3$.

Период функции тангенс $\text{tg}(u)$ равен $\pi$. Для функции $f_2(x) = 2\text{tg}\frac{\pi x}{3}$ (множитель 2 не влияет на период), где $k=\frac{\pi}{3}$, период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{\pi/3} = 3$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. В данном случае $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(3, 3) = 3$.

Ответ: 3.

13.20. Найдите значение тригонометрического выражения:

1)

$\frac{-\sin\left(\frac{3\pi}{20}\right) \cdot \cos\left(\frac{21\pi}{10}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{20}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{10}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{24}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)};$

2)

$\frac{3\sin\left(\frac{15\pi}{7}\right) \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{21}\right) + 3\cos\left(\frac{4\pi}{21}\right) \cdot \cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)}{-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{24}\right) \cdot \sin\left(\frac{23\pi}{24}\right)}.$

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{-\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{21\pi}{10} - \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24}} $, упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала рассмотрим числитель: $ -\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{21\pi}{10} - \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10} $.

Вынесем знак минус за скобки: $ -(\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{21\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}) $.

Используем формулу приведения для $ \cos\frac{21\pi}{10} $: $ \cos\frac{21\pi}{10} = \cos(\frac{20\pi + \pi}{10}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10} $.

Подставим полученное значение в выражение для числителя:

$ -(\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}) $.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $, взятой с противоположным знаком. Здесь $ \alpha = \frac{3\pi}{20} $ и $ \beta = \frac{\pi}{10} $.

Таким образом, числитель равен $ -\sin(\frac{3\pi}{20} + \frac{\pi}{10}) $.

Найдем сумму углов: $ \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi}{10} = \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4} $.

Значение числителя: $ -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь рассмотрим знаменатель: $ \cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24} $.

Используем формулу приведения для $ \sin\frac{7\pi}{8} $: $ \sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8} $.

Подставим полученное значение в выражение для знаменателя:

$ \cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24} $.

Переставим множители во втором слагаемом: $ \cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{24} \sin\frac{\pi}{8} $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $.

Таким образом, знаменатель равен $ \cos(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8}) $.

Найдем разность углов: $ \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $.

Значение знаменателя: $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{6}}{3} $.

2) Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{3\sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21} + 3\cos\frac{4\pi}{21} \cos\frac{6\pi}{7}}{-\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{23\pi}{24}} $, упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала рассмотрим числитель: $ 3\sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21} + 3\cos\frac{4\pi}{21} \cos\frac{6\pi}{7} $.

Вынесем общий множитель 3 и переставим слагаемые: $ 3(\cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21}) $.

Используем формулы приведения. Для $ \sin\frac{15\pi}{7} $: $ \sin\frac{15\pi}{7} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7} $.

Также, $ \sin\frac{6\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7} $.

Следовательно, $ \sin\frac{15\pi}{7} = \sin\frac{6\pi}{7} $.

Подставим это в выражение для числителя: $ 3(\cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{6\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21}) $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = \frac{6\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{4\pi}{21} $.

Выражение в скобках равно $ \cos(\frac{6\pi}{7} - \frac{4\pi}{21}) $.

Найдем разность углов: $ \frac{6\pi}{7} - \frac{4\pi}{21} = \frac{18\pi}{21} - \frac{4\pi}{21} = \frac{14\pi}{21} = \frac{2\pi}{3} $.

Значение числителя: $ 3\cos(\frac{2\pi}{3}) = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} $.

Теперь рассмотрим знаменатель: $ -\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{23\pi}{24} $.

Используем формулу приведения для $ \sin\frac{23\pi}{24} $: $ \sin\frac{23\pi}{24} = \sin(\pi - \frac{\pi}{24}) = \sin\frac{\pi}{24} $.

Подставим полученное значение в выражение для знаменателя: $ -\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{\pi}{24} $.

Переставим слагаемые: $ \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24} - \cos\frac{\pi}{24} \sin\frac{7\pi}{24} $.

Это выражение соответствует формуле синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{24} $.

Знаменатель равен $ \sin(\frac{\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}) = \sin(-\frac{6\pi}{24}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) $.

Поскольку синус — нечетная функция, $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $.

13.21. Упростите выражение:

1)

$\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$;

2)

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2\cos(30^\circ - \beta).$

1) Для упрощения выражения $\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \gamma) = \sin\alpha\cos\gamma - \cos\alpha\sin\gamma$.

Применим эту формулу к члену $\sin(45^\circ - \beta)$:

$\sin(45^\circ - \beta) = \sin(45^\circ)\cos\beta - \cos(45^\circ)\sin\beta$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$\sin(45^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)\right)$

Упростим его:

$\cos\beta - \sin\beta - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta) = \cos\beta - \sin\beta - \frac{2}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

$\cos\beta - \sin\beta - (\cos\beta - \sin\beta) = \cos\beta - \sin\beta - \cos\beta + \sin\beta = 0$

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2\cos(30^\circ - \beta)$ преобразуем первую часть выражения, $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta$, методом введения вспомогательного угла.

Вынесем за скобки множитель $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta + \frac{1}{2}\sin\beta\right)$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(30^\circ)$ и $\frac{1}{2} = \sin(30^\circ)$. Подставим эти значения в скобки:

$2(\cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta)$

В скобках получилась формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \gamma) = \cos\alpha\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma$.

Таким образом, $2(\cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta) = 2\cos(30^\circ - \beta)$.

Теперь подставим это преобразованное выражение в исходное:

$2\cos(30^\circ - \beta) - 2\cos(30^\circ - \beta) = 0$

Ответ: $0$

13.22. Докажите тождество:

1) $ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) - 2\cos\alpha \cos\beta = 0; $

2) $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha \cos\beta = 0; $

3) $ \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta; $

4) $ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta. $

1) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) - 2\cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - 2\cos\alpha \cos\beta$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$\cos\alpha \cos\beta + \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta + \sin\alpha \sin\beta - 2\cos\alpha \cos\beta = 2\cos\alpha \cos\beta - 2\cos\alpha \cos\beta = 0$

В результате преобразования левой части мы получили 0, что равно правой части тождества.

$0 = 0$

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha \cos\beta = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) - 2\sin\alpha \cos\beta$

Сократим взаимоуничтожающиеся слагаемые $\cos\alpha \sin\beta$ и $-\cos\alpha \sin\beta$ и приведем подобные:

$\sin\alpha \cos\beta + \sin\alpha \cos\beta - 2\sin\alpha \cos\beta = 2\sin\alpha \cos\beta - 2\sin\alpha \cos\beta = 0$

Левая часть равна правой части.

$0 = 0$

Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества. Снова используем формулы синуса суммы и разности:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)$

Выражение в правой части представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sin\alpha \cos\beta$ и $b = \cos\alpha \sin\beta$. Применим ее:

$(\sin\alpha \cos\beta)^2 - (\cos\alpha \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta$

Чтобы привести полученное выражение к виду правой части тождества, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Заменим $\cos^2\beta$ на $1 - \sin^2\beta$ и $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$\sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - (\sin^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha \sin^2\beta$

Сократим подобные слагаемые:

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой.

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества, используя формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta)$

Это также формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos\alpha \cos\beta$ и $b = \sin\alpha \sin\beta$. Применим ее:

$(\cos\alpha \cos\beta)^2 - (\sin\alpha \sin\beta)^2 = \cos^2\alpha \cos^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta$

Правая часть тождества, к которой мы стремимся, имеет вид $\cos^2\alpha - \sin^2\beta$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, чтобы выразить $\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta$ и $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$\cos^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$\cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - (\sin^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta) = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \cos^2\alpha \sin^2\beta$

Сократим слагаемые $-\cos^2\alpha \sin^2\beta$ и $+\cos^2\alpha \sin^2\beta$:

$\cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Преобразованная левая часть совпадает с правой частью исходного равенства.

$\cos^2\alpha - \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Ответ: тождество доказано.

1. Любая ли критическая точка является точкой перегиба?

2. Имеет ли функция точку перегиба, если ее вторая производная не равна нулю?

1. Любая ли критическая точка является точкой перегиба?

Нет, не любая. Эти два понятия связаны с разными характеристиками функции и, в общем случае, не совпадают.

Критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой её первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$) или не существует. Критические точки являются кандидатами на точки локального экстремума (минимума или максимума).

Точка перегиба — это точка, в которой график функции меняет направление своей выпуклости (например, с выпуклости вверх на выпуклость вниз). Для дважды дифференцируемой функции необходимым условием для точки перегиба $x_0$ является равенство второй производной нулю ($f''(x_0) = 0$), а достаточным — смена знака второй производной при переходе через эту точку.

Рассмотрим контрпример: функцию $f(x) = x^4$.

1. Найдем ее первую производную: $f'(x) = 4x^3$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $4x^3 = 0 \implies x = 0$. Таким образом, $x=0$ является критической точкой. В данном случае это точка локального минимума.

3. Найдем вторую производную: $f''(x) = 12x^2$.

4. Проверим, является ли $x=0$ точкой перегиба. Подставим значение в вторую производную: $f''(0) = 12 \cdot 0^2 = 0$. Необходимое условие выполнено. Однако, проверим знак второй производной в окрестности точки $x=0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ всегда, то $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ как слева, так и справа от нуля. Знак второй производной не меняется, значит, направление выпуклости сохраняется. Следовательно, $x=0$ не является точкой перегиба.

Ответ: Нет, критическая точка не всегда является точкой перегиба.

2. Имеет ли функция точку перегиба, если ее вторая производная не равна нулю?

Да, функция может иметь точку перегиба, даже если её вторая производная ни в одной точке области определения не равна нулю.

Точка перегиба $x_0$ существует, если в этой точке меняется знак второй производной $f''(x)$, то есть меняется направление выпуклости графика. Это может произойти в двух случаях:

1. Вторая производная в этой точке равна нулю: $f''(x_0) = 0$.

2. Вторая производная в этой точке не существует.

Вопрос подразумевает ситуацию, когда $f''(x) \ne 0$ для всех $x$, где она определена. Это не исключает возможности, что в какой-то точке $f''(x)$ может быть не определена, и именно эта точка может оказаться точкой перегиба.

Рассмотрим пример: функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$ (или $f(x) = x^{1/3}$).

1. Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.

2. Найдем вторую производную: $f''(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-5/3} = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$.

3. Очевидно, что $f''(x)$ никогда не обращается в ноль, так как ее числитель равен -2.

4. Однако в точке $x=0$ вторая производная не существует (знаменатель обращается в ноль). Проверим знак $f''(x)$ в окрестности этой точки:

- Если $x > 0$, то $\sqrt[3]{x^5} > 0$, и $f''(x) < 0$ (график выпуклый вверх).

- Если $x < 0$, то $\sqrt[3]{x^5} < 0$, и $f''(x) > 0$ (график выпуклый вниз).

Поскольку при переходе через точку $x=0$ знак второй производной меняется, то $x=0$ является точкой перегиба, несмотря на то что $f''(x)$ нигде не равна нулю.

Ответ: Да, может, если в точке перегиба вторая производная не существует.

Постройте схематический график функции $y = f(x)$ и запишите промежутки выпуклости вверх и вниз графиков функций (49.1–49.2):

49.1. 1) $y = \sin0,5x$; 2) $y = \cos2x$; 3) $y = x^3$; 4) $y = x^2 + 4x$.

1) $y = \sin(0,5x)$

Для определения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции найдем ее вторую производную.

Первая производная: $y' = (\sin(0,5x))' = \cos(0,5x) \cdot (0,5x)' = 0,5\cos(0,5x)$.

Вторая производная: $y'' = (0,5\cos(0,5x))' = 0,5(-\sin(0,5x)) \cdot (0,5x)' = -0,25\sin(0,5x)$.

График функции выпуклый вверх (вогнутый), когда $y'' < 0$.

$-0,25\sin(0,5x) < 0 \implies \sin(0,5x) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < 0,5x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $4\pi n < x < 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции выпуклый вниз (выпуклый), когда $y'' > 0$.

$-0,25\sin(0,5x) > 0 \implies \sin(0,5x) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < 0,5x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $2\pi + 4\pi n < x < 4\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Схематический график функции представляет собой синусоиду с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$. Точки перегиба, где меняется направление выпуклости, находятся при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(4\pi n, 2\pi + 4\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(2\pi + 4\pi n, 4\pi + 4\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos(2x)$

Найдем вторую производную функции.

Первая производная: $y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Вторая производная: $y'' = (-2\sin(2x))' = -2\cos(2x) \cdot (2x)' = -4\cos(2x)$.

График функции выпуклый вверх (вогнутый), когда $y'' < 0$.

$-4\cos(2x) < 0 \implies \cos(2x) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции выпуклый вниз (выпуклый), когда $y'' > 0$.

$-4\cos(2x) > 0 \implies \cos(2x) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Схематический график функции представляет собой косинусоиду с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Точки перегиба находятся при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = x^3$

Найдем вторую производную функции.

Первая производная: $y' = (x^3)' = 3x^2$.

Вторая производная: $y'' = (3x^2)' = 6x$.

График функции выпуклый вверх, когда $y'' < 0 \implies 6x < 0 \implies x < 0$.

График функции выпуклый вниз, когда $y'' > 0 \implies 6x > 0 \implies x > 0$.

При $x = 0$ вторая производная равна нулю, это точка перегиба. Схематический график – кубическая парабола, проходящая через начало координат. Слева от оси $Oy$ график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз.

Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty, 0)$, выпуклый вниз на промежутке $(0, +\infty)$.

4) $y = x^2 + 4x$

Найдем вторую производную функции.

Первая производная: $y' = (x^2 + 4x)' = 2x + 4$.

Вторая производная: $y'' = (2x + 4)' = 2$.

Так как $y'' = 2 > 0$ для всех значений $x$, график функции является выпуклым вниз на всей своей области определения.

Промежутков выпуклости вверх нет.

Схематический график – парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_v = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$. Вершина в точке $(-2, -4)$.

Ответ: график функции выпуклый вниз на промежутке $(-\infty, +\infty)$, промежутков выпуклости вверх нет.