Страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.12. Найдите период функции:

1) $f(x) = 2 + \cos 3x \cdot \sin 3x;$

2) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x;$

3) $f(x) = \text{tg } 3x + \sin x + 3;$

4) $f(x) = \cos^4 x - \sin^4 x + \text{ctg } 0,2x.$

1) Для нахождения периода функции $f(x) = 2 + \cos(3x) \sin(3x)$ преобразуем ее, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, из которой следует, что $\cos(\alpha)\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Применив эту формулу для $\alpha = 3x$, получим: $f(x) = 2 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = 2 + \frac{1}{2}\sin(6x)$. Период функции вида $y = A\sin(kx + b) + C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=6$, поэтому основной период $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

2) Для нахождения периода функции $f(x) = \cos^2(3x) - \sin^2(3x)$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$. Применив эту формулу для $\alpha = 3x$, получим: $f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$. Период функции вида $y = A\cos(kx + b) + C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=6$, поэтому основной период $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

3) Функция $f(x) = \text{tg}(3x) + \sin(x) + 3$ является суммой трех функций. Период суммы периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Найдем периоды для каждого слагаемого.

1. Для функции $g(x) = \text{tg}(3x)$ основной период $T_1 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.

2. Для функции $h(x) = \sin(x)$ основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

3. Константа 3 на период не влияет.

Теперь найдем НОК периодов $T_1 = \frac{\pi}{3}$ и $T_2 = 2\pi$. Наименьшее общее кратное этих значений равно $2\pi$, так как $2\pi$ делится без остатка и на $\frac{\pi}{3}$ (дает 6) и на $2\pi$ (дает 1).

Ответ: $2\pi$

4) Для нахождения периода функции $f(x) = \cos^4(x) - \sin^4(x) + \text{ctg}(0.2x)$ сначала упростим ее.

Выражение $\cos^4(x) - \sin^4(x)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(\cos^2(x) - \sin^2(x))(\cos^2(x) + \sin^2(x))$. Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$, получаем, что $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$.

Таким образом, функция принимает вид $f(x) = \cos(2x) + \text{ctg}(0.2x)$. Теперь найдем периоды слагаемых.

1. Для функции $g(x) = \cos(2x)$ основной период $T_1 = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Для функции $h(x) = \text{ctg}(0.2x)$ основной период $T_2 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{0.2} = 5\pi$.

Период исходной функции равен НОК($T_1, T_2$) = НОК($\pi, 5\pi$) = $5\pi$.

Ответ: $5\pi$

14.13. Постройте график, укажите период, точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = 0,5\sin2x;$

2) $f(x) = -2\cos\frac{x}{3};$

3) $f(x) = 1,5\sin0,2x;$

4) $f(x) = \cos x \operatorname{tg} x;$

5) $f(x) = \sin x \operatorname{ctg} x;$

6) $f(x) = |\operatorname{ctg} x|.$

1) $f(x) = 0,5\sin2x$

График данной функции получается из графика стандартной синусоиды $y=\sin x$ с помощью двух преобразований:

1. Сжатие графика по оси абсцисс (горизонтально) в 2 раза. Это приводит к уменьшению периода.

2. Сжатие графика по оси ординат (вертикально) в 2 раза (или на коэффициент 0,5). Это приводит к уменьшению амплитуды.

Период: Период функции вида $y = A\sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$, следовательно, период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Точки максимума: Максимальное значение функции равно $0,5$ (амплитуда). Оно достигается, когда $\sin(2x) = 1$.

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{max} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки минимума: Минимальное значение функции равно $-0,5$. Оно достигается, когда $\sin(2x) = -1$.

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{min} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Период функции равен $\pi$. Точки максимума имеют координаты $(\frac{\pi}{4} + \pi n; 0,5)$, точки минимума — $(-\frac{\pi}{4} + \pi n; -0,5)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = -2\cos\frac{x}{3}$

График данной функции получается из графика стандартной косинусоиды $y=\cos x$ с помощью трех преобразований:

1. Растяжение графика по оси абсцисс (горизонтально) в 3 раза. Это приводит к увеличению периода.

2. Растяжение графика по оси ординат (вертикально) в 2 раза. Это приводит к увеличению амплитуды до 2.

3. Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс из-за знака «минус».

Период: Период функции вида $y = A\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=\frac{1}{3}$, следовательно, период $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

Точки максимума: Максимальное значение функции равно $2$. Оно достигается, когда $\cos(\frac{x}{3}) = -1$ (из-за знака «минус» перед функцией).

$\frac{x}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{max} = 3\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки минимума: Минимальное значение функции равно $-2$. Оно достигается, когда $\cos(\frac{x}{3}) = 1$.

$\frac{x}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{min} = 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Период функции равен $6\pi$. Точки максимума имеют координаты $(3\pi + 6\pi n; 2)$, точки минимума — $(6\pi n; -2)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

3) $f(x) = 1,5\sin0,2x$

График данной функции получается из графика $y=\sin x$ с помощью двух преобразований:

1. Растяжение графика по оси абсцисс (горизонтально) в $1/0,2 = 5$ раз.

2. Растяжение графика по оси ординат (вертикально) в 1,5 раза. Амплитуда становится равной 1,5.

Период: В данном случае $k=0,2$, следовательно, период $T = \frac{2\pi}{0,2} = 10\pi$.

Точки максимума: Максимальное значение функции равно $1,5$. Оно достигается, когда $\sin(0,2x) = 1$.

$0,2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{1}{5}x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{max} = \frac{5\pi}{2} + 10\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки минимума: Минимальное значение функции равно $-1,5$. Оно достигается, когда $\sin(0,2x) = -1$.

$0,2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{1}{5}x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{min} = -\frac{5\pi}{2} + 10\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Период функции равен $10\pi$. Точки максимума имеют координаты $(\frac{5\pi}{2} + 10\pi n; 1,5)$, точки минимума — $(-\frac{5\pi}{2} + 10\pi n; -1,5)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

4) $f(x) = \cos x \text{tg} x$

Упростим выражение: $f(x) = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$.

Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения функция тождественно равна $f(x) = \sin x$.

График: График функции представляет собой синусоиду $y=\sin x$, из которой удалены ("выколоты") точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Период: Наименьший положительный период функции $y=\sin x$ равен $2\pi$. Область определения также периодична, но с периодом $\pi$. Период функции $f(x)$ равен $2\pi$.

Точки максимума и минимума: Функция $y = \sin x$ достигает своих экстремумов в точках, где ее производная $\cos x$ равна нулю. Это точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Однако именно эти точки исключены из области определения функции $f(x)$. Таким образом, функция стремится к своим предельным значениям $1$ и $-1$, но никогда их не достигает. Следовательно, у функции нет точек максимума и минимума.

Ответ: График — синусоида $y=\sin x$ с выколотыми точками при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Период $T=2\pi$. Точек максимума и минимума нет.

5) $f(x) = \sin x \text{ctg} x$

Упростим выражение: $f(x) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$.

Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения функция тождественно равна $f(x) = \cos x$.

График: График функции представляет собой косинусоиду $y=\cos x$, из которой удалены ("выколоты") точки с абсциссами $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Период: Наименьший положительный период функции $y=\cos x$ равен $2\pi$. Период функции $f(x)$ также равен $2\pi$.

Точки максимума и минимума: Функция $y = \cos x$ достигает своих экстремумов в точках, где ее производная $-\sin x$ равна нулю. Это точки $x = \pi k$. Однако именно эти точки исключены из области определения функции $f(x)$. Таким образом, функция стремится к своим предельным значениям $1$ и $-1$, но никогда их не достигает. Следовательно, у функции нет точек максимума и минимума.

Ответ: График — косинусоида $y=\cos x$ с выколотыми точками при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Период $T=2\pi$. Точек максимума и минимума нет.

6) $f(x) = |\text{ctg} x|$

График: График функции $y=|\text{ctg} x|$ получается из графика $y=\text{ctg} x$. Та часть графика котангенса, которая находится ниже оси абсцисс (где $\text{ctg} x < 0$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. Весь график функции будет находиться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ сохраняются.

Период: Период функции $y=\text{ctg} x$ равен $\pi$. Так как $|\text{ctg}(x+\pi)| = |\text{ctg} x|$, то период функции $f(x)=|\text{ctg} x|$ также равен $\pi$.

Точки максимума: Функция неограничена сверху, так как вблизи асимптот ее значения стремятся к $+\infty$. Следовательно, точек максимума у функции нет.

Точки минимума: Минимальное значение модуля — ноль. $f(x)=0$ тогда, когда $\text{ctg} x = 0$.

Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно $y_{min}=0$.

Ответ: Период функции равен $\pi$. Точек максимума нет. Точки минимума имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

14.14. Тело движется по закону $x(t)$. Найдите амплитуду, период и частоту колебания. Найдите координату нахождения тела в момент времени $t_0$, если:

1) $x(t) = 2,5\cos2\pi t$, $t_0 = 6,5$ с;

2) $x(t) = 5\cos(3\pi t + \frac{\pi}{3})$, $t_0 = 10,5$ с.

1) Для уравнения гармонических колебаний $x(t) = 2,5\cos(2\pi t)$.

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая с заданным уравнением, находим:

Амплитуда $A$ — это максимальное отклонение от положения равновесия. Она равна коэффициенту перед косинусом.

$A = 2,5$ м.

Циклическая частота $\omega$ — это коэффициент при времени $t$ под знаком косинуса.

$\omega = 2\pi$ рад/с.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

Частота колебаний $\nu$ (или $f$) — это величина, обратная периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.

$\nu = \frac{1}{1} = 1$ Гц.

Теперь найдем координату тела в момент времени $t_0 = 6,5$ с, подставив это значение в уравнение движения:

$x(t_0) = x(6,5) = 2,5\cos(2\pi \cdot 6,5) = 2,5\cos(13\pi)$.

Так как функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, то $\cos(13\pi) = \cos(12\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, $x(6,5) = 2,5 \cdot (-1) = -2,5$ м.

Ответ: амплитуда $A = 2,5$ м, период $T = 1$ с, частота $\nu = 1$ Гц, координата в момент времени $t_0=6,5$ с равна $x(6,5) = -2,5$ м.

2) Для уравнения гармонических колебаний $x(t) = 5\cos(3\pi t + \frac{\pi}{3})$.

Сравнивая с общим видом $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, находим параметры:

Амплитуда $A = 5$ м.

Циклическая частота $\omega = 3\pi$ рад/с.

Период колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$ с.

Частота колебаний $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1,5$ Гц.

Найдем координату тела в момент времени $t_0 = 10,5$ с:

$x(10,5) = 5\cos(3\pi \cdot 10,5 + \frac{\pi}{3}) = 5\cos(31,5\pi + \frac{\pi}{3})$.

Приведем аргумент косинуса к общему знаменателю:

$31,5\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{63}{2}\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{189\pi + 2\pi}{6} = \frac{191\pi}{6}$.

Выделим целое число периодов $2\pi$ из аргумента. $191 = 6 \cdot 31 + 5$.

$\frac{191\pi}{6} = \frac{(6 \cdot 31 + 5)\pi}{6} = 31\pi + \frac{5\pi}{6}$.

Используем периодичность косинуса: $\cos(31\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(30\pi + \pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{5\pi}{6})$.

Применим формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\pi + \frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{5\pi}{6})$.

Значение $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $-\cos(\frac{5\pi}{6}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, координата тела:

$x(10,5) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2,5\sqrt{3}$ м.

Ответ: амплитуда $A = 5$ м, период $T = \frac{2}{3}$ с, частота $\nu = 1,5$ Гц, координата в момент времени $t_0=10,5$ с равна $x(10,5) = 2,5\sqrt{3}$ м.

14.15. Найдите амплитуду, период и частоту напряжения тока, если оно изменяется по закону:

1) $U(t) = 220\cos(20\pi t)$;

2) $U(t) = 360\cos(10\pi t)$;

3) $U(t) = 110\cos(30\pi t)$;

4) $U(t) = 180\cos(60\pi t)$,

если напряжение измеряется в вольтах, время — в секундах.

1) Закон изменения напряжения задан уравнением $U(t) = 220\cos(20\pi t)$.

Общий вид такого закона для гармонических колебаний: $U(t) = U_m \cos(\omega t)$, где $U_m$ — амплитуда напряжения, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота.

Сравнивая заданное уравнение с общей формулой, находим амплитуду (максимальное значение напряжения):

$U_m = 220$ В.

Циклическая частота равна коэффициенту при времени $t$ в аргументе косинуса:

$\omega = 20\pi$ рад/с.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставляем значение $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{1}{10} = 0.1$ с.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.

$\nu = \frac{1}{0.1} = 10$ Гц.

Ответ: амплитуда 220 В, период 0.1 с, частота 10 Гц.

2) Для уравнения $U(t) = 360\cos(10\pi t)$.

Амплитуда: $U_m = 360$ В.

Циклическая частота: $\omega = 10\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = \frac{1}{5} = 0.2$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.2} = 5$ Гц.

Ответ: амплитуда 360 В, период 0.2 с, частота 5 Гц.

3) Для уравнения $U(t) = 110\cos(30\pi t)$.

Амплитуда: $U_m = 110$ В.

Циклическая частота: $\omega = 30\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{30\pi} = \frac{1}{15}$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = 15$ Гц.

Ответ: амплитуда 110 В, период $\frac{1}{15}$ с, частота 15 Гц.

4) Для уравнения $U(t) = 180\cos(60\pi t)$.

Амплитуда: $U_m = 180$ В.

Циклическая частота: $\omega = 60\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{60\pi} = \frac{1}{30}$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = 30$ Гц.

Ответ: амплитуда 180 В, период $\frac{1}{30}$ с, частота 30 Гц.

14.16. Найдите амплитуду, период и частоту силы тока, если она изменяется по закону:

1) $I(t) = 5\sin20\pi t;$

2) $I(t) = 0,25\sin10\pi t;$

3) $I(t) = 10\sin30\pi t;$

4) $I(t) = 0,8\sin60\pi t;$

если сила тока измеряется в амперах, время — в секундах.

Общий закон изменения силы тока при гармонических колебаниях имеет вид $I(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитуда силы тока, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза. В данных задачах начальная фаза колебаний равна нулю ($\phi_0 = 0$), поэтому закон имеет вид $I(t) = I_m \sin(\omega t)$. Сила тока $I$ измеряется в амперах (А), а время $t$ — в секундах (с).

Для нахождения искомых величин воспользуемся следующими определениями и формулами:

1. Амплитуда ($I_m$) — это максимальное значение силы тока. В уравнении $I(t) = I_m \sin(\omega t)$ она равна коэффициенту, стоящему перед функцией синуса.

2. Период ($T$) — это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой $\omega$ соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

3. Частота ($\nu$) — это число колебаний в единицу времени. Она является величиной, обратной периоду ($\nu = \frac{1}{T}$), и связана с циклической частотой формулой: $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$.

1) $I(t) = 5\sin20\pi t$

Сравнивая данное уравнение с общей формой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, определяем параметры:

Амплитуда силы тока: $I_m = 5$ А.

Циклическая частота: $\omega = 20\pi$ рад/с.

Теперь рассчитаем период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{1}{10} = 0,1$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,1} = 10$ Гц.

Ответ: амплитуда 5 А, период 0,1 с, частота 10 Гц.

2) $I(t) = 0,25\sin10\pi t$

Сравнивая данное уравнение с общей формой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, определяем параметры:

Амплитуда силы тока: $I_m = 0,25$ А.

Циклическая частота: $\omega = 10\pi$ рад/с.

Теперь рассчитаем период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = \frac{1}{5} = 0,2$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,2} = 5$ Гц.

Ответ: амплитуда 0,25 А, период 0,2 с, частота 5 Гц.

3) $I(t) = 10\sin30\pi t$

Сравнивая данное уравнение с общей формой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, определяем параметры:

Амплитуда силы тока: $I_m = 10$ А.

Циклическая частота: $\omega = 30\pi$ рад/с.

Теперь рассчитаем период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{30\pi} = \frac{1}{15}$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = 15$ Гц.

Ответ: амплитуда 10 А, период $\frac{1}{15}$ с, частота 15 Гц.

4) $I(t) = 0,8\sin60\pi t$

Сравнивая данное уравнение с общей формой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, определяем параметры:

Амплитуда силы тока: $I_m = 0,8$ А.

Циклическая частота: $\omega = 60\pi$ рад/с.

Теперь рассчитаем период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{60\pi} = \frac{1}{30}$ с.

Частота: $\nu = \frac{1}{T} = 30$ Гц.

Ответ: амплитуда 0,8 А, период $\frac{1}{30}$ с, частота 30 Гц.

14.17. Найдите числа A, b и с так, чтобы на рисунке 14.2 был изображен график функции $y = A\cos(bx + c)$.

1)

Рис. 14.2

2)

Рис. 14.2

1) Для нахождения чисел A, b и c для функции $y = A \cos(bx + c)$ по представленному графику, проанализируем его ключевые характеристики.

1. Амплитуда A: Амплитуда равна половине разности между максимальным и минимальным значениями функции. На графике $y_{max} = 3$ и $y_{min} = -3$.$|A| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{3 - (-3)}{2} = 3$.Будем считать, что $A$ — положительное число, т.е. $A = 3$.

2. Коэффициент b: Этот коэффициент связан с периодом функции $T$ соотношением $T = \frac{2\pi}{|b|}$. Период — это длина одного полного цикла. На графике видно, что функция проходит через ноль с отрицательным наклоном в точке $x=0$ и в следующий раз в точке $x=\pi$. Таким образом, период $T = \pi$.Предполагая, что $b > 0$, находим:$b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

3. Фазовый сдвиг c: Теперь уравнение функции имеет вид $y = 3 \cos(2x + c)$. Чтобы найти $c$, воспользуемся точкой на графике, например, $(0, 0)$.Подставляем ее координаты в уравнение:$0 = 3 \cos(2 \cdot 0 + c)$$0 = 3 \cos(c)$$\cos(c) = 0$Это уравнение имеет решения вида $c = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.Чтобы выбрать конкретное значение $c$, посмотрим на поведение функции в точке $x=0$. График в этой точке убывает, следовательно, производная функции $y'$ в этой точке должна быть отрицательной.$y' = (3 \cos(2x + c))' = -3 \sin(2x + c) \cdot 2 = -6 \sin(2x + c)$.При $x=0$, $y'(0) = -6 \sin(c)$.Условие $y'(0) < 0$ означает, что $-6 \sin(c) < 0$, или $\sin(c) > 0$.Из множества решений $c = \frac{\pi}{2} + k\pi$ этому условию удовлетворяет, например, $c = \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0$).

Таким образом, мы нашли искомые числа.

Ответ: $A=3, b=2, c=\frac{\pi}{2}$.

2) Аналогично найдем параметры для второго графика.

1. Амплитуда A: На графике максимальное значение $y_{max} = 2$, а минимальное $y_{min} = -2$.$|A| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = 2$.Выберем положительное значение $A = 2$.

2. Коэффициент b: Определим период $T$. На графике видно, что один полный цикл функции укладывается на отрезке от $x=0$ до $x=\frac{\pi}{2}$ (в обеих этих точках функция равна нулю и убывает). Значит, период $T = \frac{\pi}{2}$.Находим $b$ (при $b > 0$):$b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$.

3. Фазовый сдвиг c: Уравнение функции $y = 2 \cos(4x + c)$. Используем точку $(0, 0)$, через которую проходит график.Подставляем в уравнение:$0 = 2 \cos(4 \cdot 0 + c)$$0 = 2 \cos(c)$$\cos(c) = 0$Решения этого уравнения: $c = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.В точке $x=0$ функция убывает, поэтому ее производная $y'$ отрицательна.$y' = (2 \cos(4x + c))' = -2 \sin(4x + c) \cdot 4 = -8 \sin(4x + c)$.При $x=0$, $y'(0) = -8 \sin(c)$.Из условия $y'(0) < 0$ следует, что $-8 \sin(c) < 0$, то есть $\sin(c) > 0$.Из возможных значений $c$ этому условию удовлетворяет $c = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы определили все параметры.

Ответ: $A=2, b=4, c=\frac{\pi}{2}$.

1. Перечислите этапы исследования функции с помощью производных. Составьте алгоритм построения графика функции через исследование функции с помощью производных.

2. Для чего при исследовании функции нужен пункт 9?

1. Исследование функции с помощью производных и построение её графика — это комплексная задача, которую удобно выполнять по следующему алгоритму:

1. Нахождение области определения функции. Определяется множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция $f(x)$ существует ($D(f)$). Это фундаментальный шаг, так как все дальнейшие действия проводятся в пределах области определения.

2. Исследование на четность, нечетность и периодичность. Проверяются симметрия и повторяемость функции:

   • Четность: если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
   • Нечетность: если $f(-x) = -f(x)$, функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
   • Периодичность: если существует такое число $T \neq 0$, что $f(x+T) = f(x)$, функция периодическая. В этом случае достаточно исследовать ее на отрезке длиной в один период.

   Эти свойства могут значительно упростить построение графика.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   • С осью ординат ($Oy$): вычисляется значение $f(0)$, если $x=0$ входит в область определения. Точка пересечения — $(0; f(0))$.
   • С осью абсцисс ($Ox$): находятся нули функции путем решения уравнения $f(x)=0$.

4. Нахождение асимптот графика функции.

   • Вертикальные асимптоты: ищутся в точках разрыва функции или на границах области определения. Если $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, то прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой.
   • Наклонные (и частный случай — горизонтальные) асимптоты вида $y=kx+b$: их находят при $x \to \pm\infty$. Коэффициенты вычисляются по формулам: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$. Если $k=0$, асимптота является горизонтальной.

5. Исследование на монотонность и нахождение точек экстремума. Это исследование проводится с помощью первой производной.

   • Находится первая производная $f'(x)$.
   • Определяются критические точки первого рода, в которых $f'(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения. Если $f'(x)>0$, функция возрастает; если $f'(x)<0$, функция убывает.
   • В точках, где производная меняет знак, определяются точки локального максимума (знак меняется с `+` на `−`) и минимума (с `−` на `+`).

6. Исследование на выпуклость (вогнутость) и нахождение точек перегиба. Это исследование проводится с помощью второй производной.

   • Находится вторая производная $f''(x)$.
   • Определяются критические точки второго рода, в которых $f''(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки второй производной на интервалах. Если $f''(x)>0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз); если $f''(x)<0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
   • В точках, где вторая производная меняет знак, находятся точки перегиба графика.

7. Составление сводной таблицы. В таблицу заносят все характерные точки (критические точки, точки перегиба) и интервалы между ними. Для каждого интервала указывают знаки $f'(x)$ и $f''(x)$ и делают вывод о поведении функции $f(x)$ (возрастает/убывает, выпуклая/вогнутая). Это помогает систематизировать все полученные результаты.

8. Вычисление значений функции в характерных точках. Находятся ординаты ($y$) для всех найденных "особых" точек: точек экстремума, точек перегиба, а также точек пересечения с осями. Это дает набор опорных точек для построения графика.

9. Построение графика функции. На координатной плоскости строятся асимптоты. Затем наносятся все вычисленные опорные точки. При необходимости можно вычислить значения функции в нескольких дополнительных (контрольных) точках для большей точности. Опираясь на опорные точки и данные из сводной таблицы о поведении функции, все точки соединяются плавной кривой.

Ответ: Выше представлен развернутый алгоритм исследования функции с помощью производных, состоящий из 9 последовательных этапов, который позволяет на основе аналитических вычислений построить точный график функции.

2. Пункт 9, "Построение графика функции", является завершающим и обобщающим этапом всего исследования. Его необходимость обусловлена тем, что он преобразует набор аналитических данных в наглядный визуальный образ.

• Синтез и визуализация. Предыдущие восемь пунктов дают разрозненную информацию: область определения, симметрии, уравнения асимптот, координаты экстремумов, интервалы монотонности и выпуклости. Сам по себе этот набор данных сложен для восприятия. Пункт 9 объединяет всё это в единое целое — график, который наглядно демонстрирует поведение функции.

• Обеспечение точности. Характерные точки (экстремумы, перегибы, пересечения с осями) формируют "скелет" графика. Однако, чтобы точно нарисовать кривую между этими точками, их часто бывает недостаточно. Например, зная, что функция возрастает от точки минимума до точки максимума, мы не знаем, насколько "круто" она это делает. Вычисление значений функции в одной или нескольких дополнительных (контрольных) точках на ключевых участках позволяет "привязать" кривую к координатной сетке и избежать искажений, делая итоговый график значительно более точным.

• Проверка результатов. Попытка построить график по полученным данным может выявить ошибки, допущенные на предыдущих этапах. Если данные противоречат друг другу (например, точка максимума оказалась ниже точки минимума, или график не уходит к рассчитанной асимптоте), это служит сигналом для перепроверки вычислений.

Таким образом, пункт 9 — это не просто механическое рисование, а ключевой этап анализа, который придает исследованию законченный вид, позволяет наглядно представить результат и проверить корректность всего исследования.

Ответ: Пункт 9 нужен для того, чтобы объединить и визуализировать все результаты, полученные на предыдущих этапах, в единый наглядный образ — график. Кроме того, на этом этапе часто находят дополнительные контрольные точки, которые необходимы для повышения точности и детализации построения, что позволяет избежать схематичного или искаженного изображения функции.

50.1. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^3 - 9x + 40$;

2) $f(x) = \frac{x-8}{10-x}$.

1) Функция $f(x) = x^3 - 9x + 40$ является полиномиальной (целой рациональной функцией). Область определения таких функций — это множество всех действительных чисел, так как выражение $x^3 - 9x + 40$ имеет смысл при любом значении $x$. В нем отсутствуют операции, которые могут наложить ограничения, такие как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{x-8}{10-x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех значений $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем значение $x$, которое нужно исключить.

Приравняем знаменатель к нулю:

$10 - x = 0$

$x = 10$

Следовательно, при $x = 10$ функция не определена. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 10.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 10) \cup (10; +\infty)$.

50.2. Найдите область определения производной функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 0.09}$;

2) $f(x) = \frac{x}{16 + x^2}$;

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 2.25}$;

4) $f(x) = \frac{x}{9 - x^2}$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 0,09}$. Область определения производной функции - это множество всех значений $x$, для которых производная существует. Производная существует в тех точках области определения функции, где она дифференцируема. Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, где $u = x^2 - 0,09$, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 0,09})' = \frac{(x^2 - 0,09)'}{2\sqrt{x^2 - 0,09}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 0,09}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 0,09}}$.

Для того чтобы производная $f'(x)$ была определена, выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

$x^2 - 0,09 > 0$

$x^2 > 0,09$

$|x| > \sqrt{0,09}$

$|x| > 0,3$

Это неравенство выполняется при $x < -0,3$ или $x > 0,3$. Таким образом, область определения производной — это объединение двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; -0,3) \cup (0,3; \infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{16 + x^2}$. Эта функция определена и дифференцируема для всех действительных чисел, так как знаменатель $16 + x^2$ всегда положителен (его наименьшее значение равно 16 при $x=0$) и никогда не обращается в ноль. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u = x, v = 16 + x^2$

$u' = 1, v' = 2x$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (16 + x^2) - x \cdot (2x)}{(16 + x^2)^2} = \frac{16 + x^2 - 2x^2}{(16 + x^2)^2} = \frac{16 - x^2}{(16 + x^2)^2}$.

Полученная производная $f'(x)$ также является рациональной функцией. Ее знаменатель, $(16 + x^2)^2$, никогда не равен нулю, так как $16 + x^2 \ge 16$. Следовательно, область определения производной — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; \infty)$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 2,25}$. Это задача, аналогичная пункту 1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, где $u = x^2 - 2,25$:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 2,25})' = \frac{(x^2 - 2,25)'}{2\sqrt{x^2 - 2,25}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 2,25}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2,25}}$.

Область определения производной $f'(x)$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^2 - 2,25 > 0$

$x^2 > 2,25$

$|x| > \sqrt{2,25}$

$|x| > 1,5$

Это неравенство выполняется при $x < -1,5$ или $x > 1,5$.

Ответ: $(-\infty; -1,5) \cup (1,5; \infty)$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x}{9 - x^2}$. Исходная функция не определена в точках, где знаменатель равен нулю:

$9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

В этих точках функция не может быть дифференцируема. Во всех остальных точках функция дифференцируема как рациональная функция. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u = x, v = 9 - x^2$

$u' = 1, v' = -2x$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (9 - x^2) - x \cdot (-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{9 - x^2 + 2x^2}{(9 - x^2)^2} = \frac{9 + x^2}{(9 - x^2)^2}$.

Область определения производной $f'(x)$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель $(9 - x^2)^2$ не равен нулю. Это условие эквивалентно $9 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Таким образом, область определения производной совпадает с областью определения исходной функции.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; \infty)$.

50.3. Укажите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 9x + 8;$

2) $f(x) = \frac{5}{x} - 4;$

3) $f(x) = \sqrt{6-x} + 4;$

4) $f(x) = 3 - 7\sin3x.$

1) Функция $f(x) = x^2 - 9x + 8$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Множество значений функции — это промежуток от ординаты вершины до $+\infty$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-9}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(4.5) = (4.5)^2 - 9 \cdot (4.5) + 8 = 20.25 - 40.5 + 8 = -12.25$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-12.25$.

Множество значений функции: $E(f) = [-12.25; +\infty)$.

Ответ: $[-12.25; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{5}{x} - 4$. Чтобы найти множество значений, выразим переменную $x$ через $y$, где $y = f(x)$.

$y = \frac{5}{x} - 4$

$y + 4 = \frac{5}{x}$

Выражение $\frac{5}{x}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, $y+4 \ne 0$, что означает $y \ne -4$.

Продолжим выражать $x$:

$x = \frac{5}{y+4}$

Данное выражение для $x$ определено для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y+4 \ne 0$.

Отсюда $y \ne -4$.

Следовательно, функция может принимать любые действительные значения, кроме $-4$.

Множество значений функции: $E(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{6-x} + 4$.

Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно. Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство:

$\sqrt{6-x} \ge 0$.

(Область определения задается условием $6-x \ge 0$, то есть $x \le 6$).

Теперь к обеим частям неравенства $\sqrt{6-x} \ge 0$ прибавим 4:

$\sqrt{6-x} + 4 \ge 0 + 4$

$f(x) \ge 4$.

Наименьшее значение функции равно 4 (достигается при $x=6$). Функция может принимать любые значения, которые больше или равны 4.

Множество значений функции: $E(f) = [4; +\infty)$.

Ответ: $[4; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = 3 - 7\sin(3x)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, для любого действительного $x$ справедливо двойное неравенство:

$-1 \le \sin(3x) \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на $-7$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-7) \ge -7\sin(3x) \ge 1 \cdot (-7)$

$7 \ge -7\sin(3x) \ge -7$.

Запишем это неравенство в стандартном виде:

$-7 \le -7\sin(3x) \le 7$.

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 7 \le 3 - 7\sin(3x) \le 3 + 7$

$-4 \le f(x) \le 10$.

Таким образом, все значения функции лежат в отрезке от $-4$ до $10$.

Множество значений функции: $E(f) = [-4; 10]$.

Ответ: $[-4; 10]$.

50.4. Найдите точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с осями координат:

1) $f(x) = 7x^2 + x;$

2) $f(x) = -x^4 + 64;$

3) $f(x) = -5x^3 - 20x;$

4) $f(x) = -3x^5 + 5x^3.$

1) $f(x) = 7x^2 + x$

Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$), подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = f(0) = 7 \cdot 0^2 + 0 = 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ – $(0, 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс ($Ox$), решим уравнение $f(x) = 0$: $7x^2 + x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(7x+1)=0$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1/7$. Соответствующие точки пересечения с осью $Ox$ – $(0, 0)$ и $(-1/7, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-1/7, 0)$.

2) $f(x) = -x^4 + 64$

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = f(0) = -0^4 + 64 = 64$. Точка пересечения – $(0, 64)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-x^4 + 64 = 0$, откуда $x^4 = 64$. Так как $x^2$ должно быть неотрицательным, $x^2 = \sqrt{64} = 8$. Тогда $x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$. Точки пересечения – $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$.

Ответ: $(0, 64)$, $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$.

3) $f(x) = -5x^3 - 20x$

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = f(0) = -5 \cdot 0^3 - 20 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения – $(0, 0)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-5x^3 - 20x = 0$. Вынесем $-5x$ за скобки: $-5x(x^2 + 4) = 0$. Первый множитель равен нулю при $x=0$. Второй множитель $x^2+4$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$), поэтому в ноль не обращается. Следовательно, есть только один действительный корень $x=0$. Единственная точка пересечения – $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $f(x) = -3x^5 + 5x^3$

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = f(0) = -3 \cdot 0^5 + 5 \cdot 0^3 = 0$. Точка пересечения – $(0, 0)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-3x^5 + 5x^3 = 0$. Вынесем $x^3$ за скобки: $x^3(-3x^2 + 5) = 0$. Уравнение имеет решения, когда $x^3=0$ или $-3x^2+5=0$. Из первого уравнения получаем $x=0$. Из второго уравнения: $3x^2=5$, $x^2=5/3$, откуда $x = \pm\sqrt{5/3}$. Точки пересечения – $(0, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$ и $(\sqrt{5/3}, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$.

50.5. Найдите точки экстремума функции $y = f(x):$

1) $f(x) = 5\sin8x - 6;$

2) $f(x) = -3\cos10x + 1;$

3) $f(x) = 2\cos3x - 1.$

1) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 5\sin(8x) - 6$ необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Найденные корни будут являться точками экстремума.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (5\sin(8x) - 6)' = 5 \cdot \cos(8x) \cdot (8x)' - 0 = 40\cos(8x)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$40\cos(8x) = 0$

$\cos(8x) = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь определим, какие из этих точек являются точками максимума, а какие — точками минимума. Функция $f(x)$ достигает своего максимального значения, когда $\sin(8x) = 1$.

$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x_{max} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $f(x)$ достигает своего минимального значения, когда $\sin(8x) = -1$.

$8x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x_{min} = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$ (что эквивалентно $x_{min} = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$ при соответствующем сдвиге $k$).

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, точки минимума $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$ (или $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$), где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = -3\cos(10x) + 1$ найдем ее производную и приравняем к нулю.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (-3\cos(10x) + 1)' = -3 \cdot (-\sin(10x)) \cdot (10x)' + 0 = 30\sin(10x)$.

Приравняем производную к нулю:

$30\sin(10x) = 0$

$\sin(10x) = 0$

$10x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим тип экстремумов. Из-за отрицательного коэффициента $(-3)$ перед косинусом, функция $f(x)$ достигает максимума, когда $\cos(10x) = -1$.

$10x = \pi + 2\pi k$

$x_{max} = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $f(x)$ достигает минимума, когда $\cos(10x) = 1$.

$10x = 2\pi k$

$x_{min} = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, точки минимума $x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 2\cos(3x) - 1$ найдем ее производную и приравняем к нулю.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (2\cos(3x) - 1)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' - 0 = -6\sin(3x)$.

Приравняем производную к нулю:

$-6\sin(3x) = 0$

$\sin(3x) = 0$

$3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим тип экстремумов. Функция $f(x)$ достигает максимума, когда $\cos(3x) = 1$.

$3x = 2\pi k$

$x_{max} = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $f(x)$ достигает минимума, когда $\cos(3x) = -1$.

$3x = \pi + 2\pi k$

$x_{min} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{2\pi k}{3}$, точки минимума $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

50.6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x):$

1) $f(x) = 4x^3 - 12x + 5;$

2) $f(x) = - \frac{9}{2-x};$

3) $f(x) = 2x^3 - 12x - 1.$

112

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 4x^3 - 12x + 5$ необходимо найти ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (4x^3 - 12x + 5)' = 12x^2 - 12$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$12x^2 - 12 = 0$

$12(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

- При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$, имеем $f'(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 12 \cdot 4 - 12 = 36 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$, имеем $f'(0) = 12(0)^2 - 12 = -12 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, имеем $f'(2) = 12(2)^2 - 12 = 12 \cdot 4 - 12 = 36 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Включая концы промежутков (критические точки), получаем, что функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1; 1]$.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = -\frac{9}{2-x}$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем производную функции. Перепишем функцию в виде $f(x) = -9(2-x)^{-1}$.

$f'(x) = (-9(2-x)^{-1})' = -9 \cdot (-1)(2-x)^{-2} \cdot (2-x)' = 9(2-x)^{-2} \cdot (-1) = -\frac{9}{(2-x)^2}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, так как числитель $-9 \neq 0$. Производная не существует в точке $x=2$, но эта точка не принадлежит области определения функции.

Исследуем знак производной на области определения. Знаменатель $(2-x)^2$ всегда положителен при $x \neq 2$. Числитель $-9$ всегда отрицателен. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 2x^3 - 12x - 1$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x^3 - 12x - 1)' = 6x^2 - 12$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$6x^2 - 12 = 0$

$6(x^2 - 2) = 0$

$x^2 = 2$

$x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, например $x = -2$, имеем $f'(-2) = 6(-2)^2 - 12 = 6 \cdot 4 - 12 = 12 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- При $x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$, например $x = 0$, имеем $f'(0) = 6(0)^2 - 12 = -12 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 2$, имеем $f'(2) = 6(2)^2 - 12 = 6 \cdot 4 - 12 = 12 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Включая концы промежутков, получаем, что функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$ и убывает на $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.