Страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Установите зависимость между значениями выражений: $\operatorname{arctg}(-1)$ и $\operatorname{arctg}1$; $\operatorname{arctg}(-a)$ и $\operatorname{arctg}a$ (рис. 15.10):

arctg (-1) и arctg 1

По определению, арктангенс числа $x$, который обозначается как $\text{arctg } x$, — это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что его тангенс равен $x$. То есть, $\text{tg } \alpha = x$.

1. Найдем значение $\text{arctg } 1$. Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = 1$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что таким углом является $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

2. Теперь найдем значение $\text{arctg } (-1)$. Нам нужно найти такой угол $\beta$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \beta = -1$. Мы знаем, что тангенс является нечетной функцией, то есть $\text{tg } (-\alpha) = -\text{tg } \alpha$. Поэтому, $\text{tg } (-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg } (\frac{\pi}{4}) = -1$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$.

3. Сравним полученные значения: $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$ и $\text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$. Отсюда видно, что значения являются противоположными числами.

Ответ: $\text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1$.

arctg (–a) и arctg a

Чтобы установить зависимость между $\text{arctg } (-a)$ и $\text{arctg } a$ в общем виде, воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс. Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Докажем, что $y = \text{arctg } x$ является нечетной функцией.

1. Пусть $\alpha = \text{arctg } a$. По определению это значит, что $\text{tg } \alpha = a$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

2. Пусть $\beta = \text{arctg } (-a)$. По определению это значит, что $\text{tg } \beta = -a$ и $\beta \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

3. Из первого пункта мы имеем $a = \text{tg } \alpha$. Подставим это во второй пункт: $\text{tg } \beta = -(\text{tg } \alpha)$.

4. Функция тангенс является нечетной, то есть $-\text{tg } \alpha = \text{tg } (-\alpha)$. Следовательно, мы можем переписать наше равенство как $\text{tg } \beta = \text{tg } (-\alpha)$.

5. Поскольку $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то и $-\alpha$ также принадлежит этому интервалу: $-\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция тангенс монотонно возрастает, а значит, каждое свое значение принимает только один раз. Поэтому из равенства $\text{tg } \beta = \text{tg } (-\alpha)$, где и $\beta$, и $-\alpha$ лежат в одном и том же интервале монотонности, следует равенство их аргументов: $\beta = -\alpha$.

6. Вспомним, что $\beta = \text{arctg } (-a)$ и $\alpha = \text{arctg } a$. Подставив это в полученное равенство $\beta = -\alpha$, мы получаем искомую зависимость: $\text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a$.

Ответ: $\text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a$.

ОБЪЯСНИТЕ

Какие значения в выражении $arctga$ может принимать число $a$? Почему?

Число a в выражении $arctg(a)$ может принимать абсолютно любое действительное (вещественное) значение. Это означает, что область определения функции арктангенс — это множество всех действительных чисел, что можно записать как $a \in R$ или, в виде интервала, $a \in (-\infty; +\infty)$.

Почему?

Это следует из определения арктангенса как функции, обратной к тангенсу.

1. Определение арктангенса. Арктангенсом числа a называется такое число $\alpha$ (представляющее собой угол в радианах) из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен a. Формально: $arctg(a) = \alpha$ тогда и только тогда, когда $tg(\alpha) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

2. Связь с функцией тангенса. Функция $y = arctg(x)$ является обратной к функции $y = tg(x)$. Важным свойством пары взаимно обратных функций является то, что область определения одной функции является областью значений другой, и наоборот.

3. Область значений тангенса. Рассмотрим функцию $y = tg(x)$. Она определена для всех $x$, кроме тех, где $cos(x) = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целых $k$. Область значений тангенса — это множество всех чисел, которые может принимать $tg(x)$. Если рассмотреть поведение тангенса на основном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то при $x$, стремящемся к $\frac{\pi}{2}$ слева, $tg(x)$ стремится к $+\infty$, а при $x$, стремящемся к $-\frac{\pi}{2}$ справа, $tg(x)$ стремится к $-\infty$. Таким образом, функция тангенс на этом интервале принимает все возможные действительные значения. Область значений тангенса: $E(tg) = (-\infty; +\infty)$.

4. Вывод для арктангенса. Поскольку область определения обратной функции ($arctg$) совпадает с областью значений исходной функции ($tg$), то область определения арктангенса — это вся числовая прямая. Это значит, что мы можем найти арктангенс от любого, сколь угодно большого или малого, положительного или отрицательного числа.

Ответ: Число a в выражении $arctg(a)$ может принимать любое действительное значение, то есть $a \in (-\infty; +\infty)$.

6. Задан график производной функции $y = f'(x)$ (рис.51.2). Найдите точки минимума функции $y = f(x)$:

Рис. 51.2

A) $\{-3; 3\}$;

B) $\{-5; 1\}$;

C) $\{-1; 5\}$;

D) $\{-5; -1; 1; 5\}$.

Для нахождения точек минимума функции $y=f(x)$ по графику ее производной $y=f'(x)$ необходимо найти точки, в которых производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Точка минимума функции соответствует такому значению $x$, при переходе через которое функция $f(x)$ сначала убывает (то есть $f'(x) < 0$), а затем начинает возрастать (то есть $f'(x) > 0$). На графике производной это выглядит как пересечение оси абсцисс ($Ox$) в направлении снизу вверх.

Сначала найдем точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. Это точки пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что это точки $x = -5$, $x = -1$, $x = 1$ и $x = 5$.

Теперь проанализируем знак производной при переходе через каждую из этих точек:

1. В точке $x = -5$ график $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз. Это означает, что знак производной меняется с «+» на «–». Следовательно, $x = -5$ — точка максимума.

2. В точке $x = -1$ график $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ снизу вверх. Это означает, что знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x = -1$ — точка минимума.

3. В точке $x = 1$ график $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз. Знак производной меняется с «+» на «–». Следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

4. В точке $x = 5$ график $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ снизу вверх. Знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x = 5$ — точка минимума.

Таким образом, точками минимума функции $y=f(x)$ являются $x = -1$ и $x = 5$. Данный набор соответствует варианту C.

Ответ: C) $\{-1; 5\}$

7. По графику производной функции $y = f'(x)$, заданному на рисунке 51.2, значение суммы длин промежутков убывания функции $f(x)$ равно:

A) 2; B) 4; C) 6; D) 8.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции $f(x)$, необходимо определить интервалы, на которых ее производная $f'(x)$ отрицательна. Промежуткам убывания функции $f(x)$ соответствуют те промежутки по оси $x$, на которых график ее производной $y = f'(x)$ расположен ниже оси абсцисс (оси Ox), то есть $f'(x) < 0$.

На основе предоставленного графика производной функции $y = f'(x)$ (рисунок 51.2), можно выделить два интервала, где график находится ниже оси Ox:

1. Первый интервал: от $x = -3$ до $x = -1$. Длина этого интервала вычисляется как разность конечной и начальной точек: $L_1 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

2. Второй интервал: от $x = 3$ до $x = 5$. Длина этого интервала: $L_2 = 5 - 3 = 2$.

Сумма длин всех промежутков убывания функции $f(x)$ равна сумме длин найденных интервалов:

Сумма длин = $L_1 + L_2 = 2 + 2 = 4$.

Этот результат соответствует варианту ответа B).

Ответ: 4

8. Площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $y = \frac{x^3 + 1}{x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, равна:

A) 4,5;

B) 4;

C) 3,5;

D) 3.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, определить точки пересечения этой касательной с осями координат и, наконец, вычислить площадь треугольника, образованного этими точками и началом координат.

1. Нахождение уравнения касательной

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2}$ и точка касания $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = \frac{1^3 + 1}{1^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.

Теперь найдем производную функции $f'(x)$. Для упрощения вычислений можно представить функцию в виде суммы:

$f(x) = \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + x^{-2}$.

Тогда производная будет равна:

$f'(x) = (x + x^{-2})' = 1 - 2x^{-3} = 1 - \frac{2}{x^3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 1 - \frac{2}{1^3} = 1 - 2 = -1$.

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для уравнения касательной: $x_0 = 1$, $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = -1$. Подставим их в общую формулу:

$y = 2 + (-1)(x - 1)$

$y = 2 - x + 1$

$y = -x + 3$

Итак, уравнение касательной: $y = -x + 3$.

2. Нахождение точек пересечения касательной с осями координат

Треугольник образован касательной и осями координат. Найдем точки, в которых касательная пересекает оси Ox и Oy.

Пересечение с осью Oy происходит при $x = 0$:

$y = -0 + 3 = 3$.

Точка пересечения с осью Oy — $(0, 3)$.

Пересечение с осью Ox происходит при $y = 0$:

$0 = -x + 3$

$x = 3$.

Точка пересечения с осью Ox — $(3, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника

Вершинами образовавшегося треугольника являются начало координат $(0, 0)$ и точки пересечения касательной с осями: $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Это прямоугольный треугольник, катеты которого лежат на осях координат.

Длины катетов равны 3 и 3.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Площадь треугольника равна 4,5. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: 4,5.

9. Функция $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{4}$ возрастает на промежутке:

A) $\emptyset$;

B) $(-\infty, -4]$ и $[4; \infty)$;

C) $(-\infty, 0)$;

D) $(4; +\infty)$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{4}$, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых эта производная положительна.

1. Найдем область определения функции. Функция содержит член $\frac{4}{x}$, поэтому знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$. Для удобства представим функцию в виде $y = 4x^{-1} + \frac{1}{4}x$.

$y' = \left(4x^{-1} + \frac{1}{4}x\right)' = 4 \cdot (-1)x^{-2} + \frac{1}{4} = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{4}$.

3. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, то есть $y' > 0$. Решим соответствующее неравенство:

$-\frac{4}{x^2} + \frac{1}{4} > 0$

$\frac{1}{4} > \frac{4}{x^2}$

Приведем неравенство к общему знаменателю:

$\frac{x^2}{4x^2} - \frac{16}{4x^2} > 0$

$\frac{x^2 - 16}{4x^2} > 0$

Поскольку знаменатель $4x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), знак дроби зависит только от знака числителя:

$x^2 - 16 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 4)(x + 4) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x < -4$ или $x > 4$.

Таким образом, производная положительна на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(4; +\infty)$.

4. Согласно определению, если функция непрерывна на концах промежутка, то эти точки можно включить в промежуток возрастания. Функция $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{4}$ непрерывна в точках $x=-4$ и $x=4$ (в этих точках производная равна нулю). Следовательно, промежутками возрастания функции являются $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов ответа этому соответствует вариант B).

Ответ: B)

10. Если производная функции равна $f'(x) = (x^2 - 4) \cdot (x + 5)^2 \cdot (x - 3)^2$, то значение суммы длин промежутков убывания функции $f(x)$ равно:

A) 2;

B) 2,5;

C) 4;

D) 8.

Для нахождения промежутков убывания функции $f(x)$, необходимо найти промежутки, на которых ее производная $f'(x)$ отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.

Дана производная: $f'(x) = (x^2 - 4)(x + 5)^2(x - 3)^2$.

Решим неравенство $(x^2 - 4)(x + 5)^2(x - 3)^2 < 0$.

Сначала найдем нули производной, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$(x^2 - 4)(x + 5)^2(x - 3)^2 = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Уравнение примет вид:

$(x - 2)(x + 2)(x + 5)^2(x - 3)^2 = 0$

Корнями уравнения (критическими точками) являются $x_1 = -5$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$, $x_4 = 3$.

Теперь определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось. Мы можем использовать метод интервалов.

Заметим, что множители $(x + 5)^2$ и $(x - 3)^2$ всегда неотрицательны (больше или равны нулю), так как находятся в четной степени. Они не влияют на знак производной, за исключением точек $x = -5$ и $x = 3$, где производная равна нулю. При переходе через эти точки знак производной не меняется (это корни четной кратности).

Следовательно, знак $f'(x)$ определяется знаком выражения $(x^2 - 4)$, или $(x - 2)(x + 2)$.

Таким образом, неравенство $f'(x) < 0$ эквивалентно неравенству $(x - 2)(x + 2) < 0$.

Решением этого квадратичного неравенства является интервал между его корнями $x = -2$ и $x = 2$.

То есть, $f'(x) < 0$ при $x \in (-2, 2)$.

Это единственный промежуток убывания функции $f(x)$.

Найдем длину этого промежутка: $2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Так как промежуток убывания только один, то сумма длин равна длине этого промежутка.

Ответ: 4.