Страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \arcsin x$ (рис. 16.4).

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Область определения. Область определения функции — это проекция ее графика на ось абсцисс (ось Ox). Глядя на график функции $y = \arcsin(x)$, мы видим, что он существует только для значений $x$ от -1 до 1 включительно. Таким образом, область определения — это отрезок $[-1; 1]$. Ответ: $D(y) = [-1; 1]$.

Область (множество) значений. Область значений функции — это проекция ее графика на ось ординат (ось Oy). Для графика функции $y = \arcsin(x)$ все значения $y$ лежат в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ включительно. Ответ: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Четность (нечетность). График функции $y = \arcsin(x)$ симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Это является графическим признаком нечетной функции. Алгебраически это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Ответ: нечетная.

Монотонность. На всем протяжении графика, при движении слева направо (то есть с увеличением $x$), график функции $y = \arcsin(x)$ поднимается вверх. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Ответ: функция строго возрастает на всей области определения $[-1; 1]$.

Наибольшее значение. Наибольшее значение функции — это ордината самой высокой точки графика. Для функции $y = \arcsin(x)$ самая высокая точка имеет координаты $(1, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $\frac{\pi}{2}$. Ответ: $y_{наиб} = \frac{\pi}{2}$.

Наименьшее значение. Наименьшее значение функции — это ордината самой низкой точки графика. Для функции $y = \arcsin(x)$ самая низкая точка имеет координаты $(-1, -\frac{\pi}{2})$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\frac{\pi}{2}$. Ответ: $y_{наим} = -\frac{\pi}{2}$.

Нули функции. Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. График функции $y = \arcsin(x)$ пересекает ось Ox в одной точке — начале координат $(0,0)$. Следовательно, функция обращается в ноль при $x=0$. Ответ: $x = 0$.

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \arcsin x$ (рис. 16.3)?

Рис. 16.3

Рис. 16.4

График функции $y = \arcsin(x)$ строится на основе того факта, что арксинус является функцией, обратной к синусу ($y = \sin(x)$). Построение, изображенное на рисунке 16.3, иллюстрирует общее правило построения графиков взаимно обратных функций.

Функция $y = \sin(x)$ является периодической, и на всей своей области определения она не является взаимно-однозначной (например, одному значению $y=0$ соответствуют разные значения $x$: $0, \pi, 2\pi$ и т.д.). Чтобы можно было определить обратную функцию, необходимо ограничить область определения синуса таким промежутком, где функция будет монотонной (только возрастать или только убывать). Общепринято для этой цели выбирать отрезок $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $. На этом отрезке функция $y = \sin(x)$ строго возрастает, принимая все значения от $-1$ до $1$. Именно этот участок графика $y = \sin(x)$ и показан на рисунке 16.3.

Графики взаимно обратных функций всегда симметричны относительно прямой $y=x$. Это фундаментальное свойство следует из определения обратной функции: если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику исходной функции $y = f(x)$ (то есть $b = f(a)$), то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$ (поскольку $a = f^{-1}(b)$). Преобразование координат $(a, b) \to (b, a)$ — это и есть симметрия относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, прямой $y=x$.

Таким образом, для построения графика $y = \arcsin(x)$ был взят график функции $y = \sin(x)$ на отрезке $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ и симметрично отражен относительно прямой $y=x$. В результате этого отражения область определения и область значений исходной функции меняются местами. Область определения синуса $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ становится областью значений арксинуса, а область значений синуса $ [-1, 1] $ становится областью определения арксинуса.

Ключевые точки графика синуса, такие как $ \left(-\frac{\pi}{2}, -1\right) $, $(0, 0)$ и $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $, после отражения переходят в точки $ \left(-1, -\frac{\pi}{2}\right) $, $(0, 0)$ и $ \left(1, \frac{\pi}{2}\right) $ соответственно, которые и формируют график арксинуса, показанный на рисунках 16.3 и 16.4.

Ответ: График функции $y = \arcsin(x)$ был построен путем симметричного отражения графика функции $y = \sin(x)$, рассматриваемого на отрезке его монотонного возрастания $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $, относительно прямой $y = x$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \arccos x$, используя график функции $y = \cos x$ (рис. 16.5), рассматривают только часть синусоиды (рис. 16.6)?

Рис. 16.5

Рис. 16.6

Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$. По определению, обратная функция $f^{-1}(x)$ может существовать только для такой функции $f(x)$, которая является взаимно-однозначной (или биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует уникальное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению $y$ соответствует уникальное значение $x$.

Для выполнения этого условия функция должна быть строго монотонной на рассматриваемом интервале, то есть либо строго возрастать, либо строго убывать.

Рассмотрим график функции $y = \cos x$, представленный на рисунке 16.5. Это периодическая функция, и она не является монотонной на всей своей области определения. Например, одному и тому же значению $y=0$ соответствует бесконечное множество значений $x$: $\pi/2$, $3\pi/2$, $-\pi/2$, и так далее. Если бы мы попытались определить обратную функцию для всей косинусоиды, то, например, для значения $x=0$ обратная функция $\arccos(0)$ должна была бы принять сразу несколько значений, что противоречит самому определению функции.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо ограничить область определения $y = \cos x$ таким интервалом, на котором она будет монотонной и при этом будет принимать все свои возможные значения из отрезка $[-1, 1]$. По математическому соглашению для функции косинуса выбирают отрезок $[0, \pi]$.

Именно на этом отрезке $[0, \pi]$, как показано на рисунке 16.6, функция $y = \cos x$ строго убывает от $1$ до $-1$. На этом интервале каждому значению $y$ из отрезка $[-1, 1]$ соответствует единственное значение $x$ из отрезка $[0, \pi]$. Такое ограничение позволяет корректно определить обратную функцию $y = \arccos x$, у которой область определения будет $[-1, 1]$, а область значений — $[0, \pi]$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \arccos x$, которая является обратной к функции $y = \cos x$, необходимо выбрать такой участок косинусоиды, на котором функция будет монотонной. Это необходимо, чтобы каждому значению $y$ соответствовало только одно значение $x$. Стандартным выбором является отрезок $[0, \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ строго убывает и принимает все значения от $-1$ до $1$ ровно один раз. Это и позволяет корректно определить арккосинус как однозначную функцию.

52.3. Заполните таблицу 33, задающую закон распределения случайной величины $X$, если доли неизвестных вероятностей одинаковы.

Таблица 33

$X$ 3 7 12 15 18 21

$P$ 0,1 0,05 ? ? 0,05 0,1

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо найти неизвестные вероятности. Основное свойство любого закона распределения дискретной случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей ее возможных значений равна единице. Математически это записывается как $ \sum_{i} p_i = 1 $.

В таблице даны следующие значения случайной величины $X$ и их вероятности $P$:

$P(X=3) = 0,1$

$P(X=7) = 0,05$

$P(X=12) = ?$

$P(X=15) = ?$

$P(X=18) = 0,05$

$P(X=21) = 0,1$

По условию задачи, доли неизвестных вероятностей одинаковы, это означает, что сами вероятности равны. Обозначим каждую из неизвестных вероятностей как $p$. Тогда $P(X=12) = p$ и $P(X=15) = p$.

Теперь мы можем составить уравнение, используя свойство о сумме вероятностей:

$P(X=3) + P(X=7) + P(X=12) + P(X=15) + P(X=18) + P(X=21) = 1$

Подставим известные значения и нашу переменную $p$ в уравнение:

$0,1 + 0,05 + p + p + 0,05 + 0,1 = 1$

Сгруппируем и сложим известные вероятности:

$(0,1 + 0,1) + (0,05 + 0,05) + 2p = 1$

$0,2 + 0,1 + 2p = 1$

$0,3 + 2p = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$2p = 1 - 0,3$

$2p = 0,7$

$p = \frac{0,7}{2}$

$p = 0,35$

Следовательно, каждая из неизвестных вероятностей равна 0,35. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение 12, равна 0,35, и вероятность того, что она примет значение 15, также равна 0,35.

Ответ: Вероятность для $X=12$ равна 0,35, вероятность для $X=15$ равна 0,35.

52.4. Монета подбрасывается 5 раз. Составьте таблицу распределения дискретной случайной X — числа выпадений герба и постройте гистограмму распределения.

Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины X — числа выпадений герба

Эксперимент состоит в подбрасывании симметричной монеты $n=5$ раз. Это серия из 5 независимых испытаний. Случайная величина X — это число выпадений герба.

Вероятность "успеха" (выпадение герба) в одном испытании равна $p = 0.5$. Вероятность "неудачи" (выпадение решки) равна $q = 1 - p = 0.5$.

Так как испытания независимы и вероятность успеха постоянна, случайная величина X имеет биномиальное распределение. Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В данном случае $n=5$, $p=0.5$, $q=0.5$. Формула принимает вид:

$P_5(k) = C_5^k (0.5)^k (0.5)^{5-k} = C_5^k (0.5)^5 = C_5^k \frac{1}{32}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Возможные значения, которые может принимать случайная величина X (число гербов), это {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений:

$P(X=0) = C_5^0 \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$

$P(X=1) = C_5^1 \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=2) = C_5^2 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = C_5^3 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=4) = C_5^4 \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=5) = C_5^5 \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1+5+10+10+5+1}{32} = \frac{32}{32} = 1$.

Ответ:

постройте гистограмму распределения

Гистограмма распределения (или полигон распределения для дискретной величины) — это графическое представление закона распределения. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются возможные значения случайной величины $X$, а по вертикальной оси (оси ординат) — соответствующие им вероятности $p_i$. Для каждого значения $x_i$ строится столбец, высота которого равна (или пропорциональна) вероятности $p_i$.

Ответ:

52.5. В урне находятся 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Постройте ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины $X$ — числа извлечения шаров.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, обозначающая число извлеченных шаров до первого появления белого шара.

В урне всего находится $4$ белых (Б) и $3$ черных (Ч) шара, то есть $4+3=7$ шаров. Шары вынимают последовательно без возвращения.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения:

$X=1$: если первый же извлеченный шар оказался белым.

$X=2$: если первый шар был черным, а второй — белым.

$X=3$: если первые два шара были черными, а третий — белым.

$X=4$: если первые три шара были черными, а четвертый — белым. Это максимальное возможное значение, так как в урне всего 3 черных шара, и после их извлечения в урне останутся только белые шары.

Теперь найдем вероятности $p_i = P(X=x_i)$ для каждого возможного значения $X$.

1. Для $X=1$:

Вероятность того, что первый вынутый шар будет белым, равна отношению числа белых шаров к общему числу шаров.

$p_1 = P(X=1) = \frac{4}{7}$.

2. Для $X=2$:

Это событие означает, что сначала был вынут черный шар, а затем белый.

Вероятность вынуть первым черный шар: $P(Ч_1) = \frac{3}{7}$.

После этого в урне останется 6 шаров (4 белых и 2 черных). Вероятность вынуть вторым белый шар при условии, что первый был черным: $P(Б_2|Ч_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$p_2 = P(X=2) = P(Ч_1) \cdot P(Б_2|Ч_1) = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.

3. Для $X=3$:

Это событие означает, что первые два шара были черными, а третий — белым.

$p_3 = P(X=3) = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{210} = \frac{4}{35}$.

4. Для $X=4$:

Это событие означает, что первые три шара были черными, а четвертый — белым.

$p_4 = P(X=4) = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} = \frac{6}{210} = \frac{1}{35}$.

Проведем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$\sum p_i = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{20}{35} + \frac{10}{35} + \frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{20+10+4+1}{35} = \frac{35}{35} = 1$.

Вероятности найдены верно.

Ряд распределения

Ряд распределения дискретной случайной величины $X$ — это таблица, сопоставляющая возможные значения величины с их вероятностями.

$x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 -----|-------|-------|--------|-------- $p_i$ | 4/7 | 2/7 | 4/35 | 1/35

Многоугольник распределения

Многоугольник распределения — это графическое представление ряда распределения. Для его построения в декартовой системе координат отмечают точки $(x_i, p_i)$ и соединяют их последовательно отрезками прямых.

В данном случае необходимо построить ломаную линию, соединяющую точки:

$A_1(1; \frac{4}{7})$, $A_2(2; \frac{2}{7})$, $A_3(3; \frac{4}{35})$, $A_4(4; \frac{1}{35})$.

Для удобства построения можно использовать приближенные десятичные значения:

$\frac{4}{7} \approx 0.571$; $\frac{2}{7} \approx 0.286$; $\frac{4}{35} \approx 0.114$; $\frac{1}{35} \approx 0.029$.

Точки для построения: $A_1(1; 0.571)$, $A_2(2; 0.286)$, $A_3(3; 0.114)$, $A_4(4; 0.029)$.

Ответ: Ряд распределения случайной величины $X$:

$x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 -----|-------|-------|--------|-------- $p_i$ | 4/7 | 2/7 | 4/35 | 1/35

Многоугольник распределения — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами $(1; \frac{4}{7})$, $(2; \frac{2}{7})$, $(3; \frac{4}{35})$ и $(4; \frac{1}{35})$.

52.6. Дана арифметическая прогрессия из четырех членов, причем значения средних членов равны 10 и 14. Составьте закон распределения случайной величины, если вероятность средних членов в 4 раза больше вероятностей крайних членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$, состоящая из четырех членов: $a_1, a_2, a_3, a_4$. По условию, значения средних членов равны $a_2 = 10$ и $a_3 = 14$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$, которая равна разности между двумя соседними членами:

$d = a_3 - a_2 = 14 - 10 = 4$.

Зная разность, можем найти крайние члены прогрессии:

Первый член: $a_1 = a_2 - d = 10 - 4 = 6$.

Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 14 + 4 = 18$.

Таким образом, значениями случайной величины $X$ являются члены этой прогрессии: 6, 10, 14, 18.

Далее составим закон распределения. Обозначим вероятности, с которыми случайная величина $X$ принимает свои значения, как $p_1, p_2, p_3, p_4$ соответственно.

$P(X=6) = p_1$

$P(X=10) = p_2$

$P(X=14) = p_3$

$P(X=18) = p_4$

По условию, "вероятность средних членов в 4 раза больше вероятностей крайних членов". Это означает, что вероятность появления каждого из средних членов ($a_2=10$ и $a_3=14$) в 4 раза больше вероятности появления каждого из крайних членов ($a_1=6$ и $a_4=18$).

Пусть вероятность крайнего члена равна $p$. Тогда $p_1 = p_4 = p$.

Вероятность среднего члена будет в 4 раза больше, то есть $p_2 = p_3 = 4p$.

Сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины должна быть равна 1:

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$.

Подставим выражения для вероятностей через $p$ в это уравнение и решим его:

$p + 4p + 4p + p = 1$

$10p = 1$

$p = \frac{1}{10} = 0.1$.

Теперь можем найти конкретные значения вероятностей:

Вероятности крайних членов: $p_1 = p_4 = p = 0.1$.

Вероятности средних членов: $p_2 = p_3 = 4p = 4 \cdot 0.1 = 0.4$.

Проверка: $0.1 + 0.4 + 0.4 + 0.1 = 1.0$. Сумма вероятностей равна 1, что верно.

Ответ: Закон распределения искомой случайной величины представлен в следующей таблице:

52.7. Постройте ряд распределения числа попаданий в корзину при игре в баскетбол при двух штрафных бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,7.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу попаданий в корзину при двух штрафных бросках. Возможные значения для $X$: 0, 1, 2.

Вероятность попадания при одном броске (успех) по условию равна $p = 0,7$.

Следовательно, вероятность промаха (неудача) равна $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.

Броски являются независимыми испытаниями. Вероятности для каждого значения $X$ можно рассчитать по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=2$ — число бросков, а $k$ — число попаданий.

Вероятность 0 попаданий ($X=0$)

Это событие означает, что оба броска — промахи.

$P(X=0) = C_2^0 \cdot (0,7)^0 \cdot (0,3)^2 = 1 \cdot 1 \cdot 0,09 = 0,09$.

Вероятность 1 попадания ($X=1$)

Это событие означает одно попадание и один промах. Таких комбинаций две: попадание-промах и промах-попадание.

$P(X=1) = C_2^1 \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^1 = 2 \cdot 0,7 \cdot 0,3 = 0,42$.

Вероятность 2 попаданий ($X=2$)

Это событие означает, что оба броска — попадания.

$P(X=2) = C_2^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^0 = 1 \cdot 0,49 \cdot 1 = 0,49$.

Для контроля выполним проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$0,09 + 0,42 + 0,49 = 1$.

Ряд распределения представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Ответ:

52.8. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,9. Составьте закон распределения числа попаданий.

Пусть $X$ — это случайная величина, обозначающая число попаданий по мишени. По условию, стрелок производит $n=3$ независимых выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле (событие «успех») составляет $p=0.9$. Следовательно, вероятность промаха (событие «неудача») равна $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.

Поскольку выстрелы являются независимыми испытаниями с двумя возможными исходами и постоянной вероятностью успеха, случайная величина $X$ подчиняется биномиальному закону распределения. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, находится по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Случайная величина $X$ (число попаданий) может принимать значения 0, 1, 2 или 3. Вычислим вероятности для каждого из этих значений.

Для $k=0$ (нет попаданий):

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.001 = 0.001$.

Для $k=1$ (одно попадание):

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^{3-1} = 3 \cdot 0.9 \cdot 0.01 = 0.027$.

Для $k=2$ (два попадания):

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^{3-2} = 3 \cdot 0.81 \cdot 0.1 = 0.243$.

Для $k=3$ (три попадания):

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^{3-3} = 1 \cdot 0.729 \cdot 1 = 0.729$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вычисленных вероятностей равна единице:

$0.001 + 0.027 + 0.243 + 0.729 = 1$.

Закон распределения случайной величины представляет собой таблицу, в которой каждому возможному значению случайной величины сопоставлена его вероятность.

Ответ:

52.9. Два стрелка целятся по мишеням. Вероятность попадания их в мишень равны 0,8 и 0,9. Стрелки по очереди производят по одному выстрелу. Случайная величина $X$ — это число попаданий в цель. Запишите закон распределения этой случайной величины.

Пусть $p_1$ — это вероятность попадания первого стрелка, а $p_2$ — вероятность попадания второго стрелка. Согласно условию задачи:

$p_1 = 0,8$

$p_2 = 0,9$

Вероятности промаха для каждого стрелка ($q_1$ и $q_2$) будут равны:

$q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,8 = 0,2$

$q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0,9 = 0,1$

Случайная величина $X$ — это общее число попаданий в цель. Поскольку стрелков двое и каждый делает по одному выстрелу, $X$ может принимать три возможных значения: 0, 1 или 2. Найдем вероятности для каждого из этих значений, считая выстрелы независимыми событиями.

1. Вероятность $P(X=0)$ (нет попаданий)

Это событие произойдет, если оба стрелка промахнутся. Вероятность этого равна произведению вероятностей промахов каждого стрелка:

$P(X=0) = q_1 \cdot q_2 = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02$

2. Вероятность $P(X=1)$ (одно попадание)

Это событие может произойти в двух случаях:

а) Первый стрелок попал, а второй промахнулся. Вероятность: $p_1 \cdot q_2 = 0,8 \cdot 0,1 = 0,08$.

б) Первый стрелок промахнулся, а второй попал. Вероятность: $q_1 \cdot p_2 = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18$.

Так как эти два случая являются несовместными событиями, общая вероятность для $X=1$ равна их сумме:

$P(X=1) = (p_1 \cdot q_2) + (q_1 \cdot p_2) = 0,08 + 0,18 = 0,26$

3. Вероятность $P(X=2)$ (два попадания)

Это событие произойдет, если оба стрелка попадут в цель. Вероятность этого равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка:

$P(X=2) = p_1 \cdot p_2 = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72$

Для контроля выполним проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,02 + 0,26 + 0,72 = 1,00$

Таким образом, мы нашли все возможные значения случайной величины и их вероятности. Теперь запишем закон распределения в виде таблицы.

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ (число попаданий) имеет следующий вид:

52.10. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,4. Составьте ряд распределения числа библиотек, которые студент может посетить, если ему доступны четыре библиотеки.

Пусть $X$ — это случайная величина, обозначающая число библиотек, которые посетит студент. По условию, студент ищет книгу последовательно в четырех доступных библиотеках и прекращает поиски, как только находит ее.

Вероятность того, что студент найдет книгу в любой конкретной библиотеке (событие "успех"), составляет $p = 0,4$.

Соответственно, вероятность того, что он не найдет книгу в библиотеке (событие "неудача"), составляет $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$.

Случайная величина $X$ (число посещенных библиотек) может принимать значения 1, 2, 3 или 4. Найдем вероятности для каждого из этих значений.

Событие $\{X=1\}$ означает, что студент нашел книгу в первой же библиотеке. Вероятность этого события равна вероятности успеха в первой попытке:

$P(X=1) = p = 0,4$.

Событие $\{X=2\}$ означает, что в первой библиотеке студент книгу не нашел (неудача), а во второй нашел (успех). Поскольку попытки являются независимыми событиями, их вероятности перемножаются:

$P(X=2) = q \cdot p = 0,6 \cdot 0,4 = 0,24$.

Событие $\{X=3\}$ означает, что в первых двух библиотеках была неудача, а в третьей — успех. Вероятность этого события равна:

$P(X=3) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (0,6)^2 \cdot 0,4 = 0,36 \cdot 0,4 = 0,144$.

Событие $\{X=4\}$ означает, что студент посетил четвертую библиотеку. Это происходит в том случае, если он не нашел книгу в первых трех библиотеках. Этот случай объединяет два исхода: студент нашел книгу в четвертой библиотеке или не нашел ее и там. В обоих случаях он посетил 4 библиотеки. Поэтому вероятность этого события равна вероятности потерпеть неудачу в первых трех попытках:

$P(X=4) = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0,6)^3 = 0,216$.

Для контроля правильности расчетов убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,4 + 0,24 + 0,144 + 0,216 = 1$.

Сумма вероятностей равна 1, следовательно, ряд распределения составлен верно.

Ряд распределения случайной величины $X$ — это таблица, сопоставляющая возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Ответ:

Ряд распределения числа посещенных библиотек имеет следующий вид:

52.11. Студент должен сдать три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,8, второго — 0,7, третьего — 0,7. Составьте ряд распределения случайной величины $X$ — числа экзаменов, сданных студентом.

Пусть $X$ — это случайная величина, обозначающая количество успешно сданных студентом экзаменов. Возможные значения для $X$: $0, 1, 2, 3$.

Введем обозначения для событий:

• $A_1$ — успешная сдача первого экзамена.
• $A_2$ — успешная сдача второго экзамена.
• $A_3$ — успешная сдача третьего экзамена.

Тогда вероятности противоположных событий (неуспешной сдачи экзаменов) будут:

• $P(\bar{A_1}) = q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0.8 = 0.2$
• $P(\bar{A_2}) = q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0.7 = 0.3$
• $P(\bar{A_3}) = q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0.7 = 0.3$

Считаем, что сдача каждого экзамена — независимое событие. Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.

$X=0$ (студент не сдал ни одного экзамена)

Это означает, что студент не сдал первый, И не сдал второй, И не сдал третий экзамен. Вероятность этого события равна произведению вероятностей каждого из этих независимых событий:

$P(X=0) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.018$.

$X=1$ (студент сдал ровно один экзамен)

Существует три взаимоисключающих варианта:

1. Сдал первый, не сдал второй и третий: $p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.072$.

2. Не сдал первый, сдал второй, не сдал третий: $q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.042$.

3. Не сдал первые два, сдал третий: $q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.042$.

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих вариантов:

$P(X=1) = 0.072 + 0.042 + 0.042 = 0.156$.

$X=2$ (студент сдал ровно два экзамена)

Существует три взаимоисключающих варианта:

1. Сдал первый и второй, не сдал третий: $p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.168$.

2. Сдал первый и третий, не сдал второй: $p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.168$.

3. Не сдал первый, сдал второй и третий: $q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.098$.

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих вариантов:

$P(X=2) = 0.168 + 0.168 + 0.098 = 0.434$.

$X=3$ (студент сдал все три экзамена)

Это означает, что студент сдал первый, И сдал второй, И сдал третий экзамен.

$P(X=3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.392$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вычисленных вероятностей равна 1:

$0.018 + 0.156 + 0.434 + 0.392 = 1.000$.

Расчеты верны.

Теперь мы можем составить ряд распределения для случайной величины $X$, который представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения $X$ с их вероятностями.

Ответ:

Ряд распределения случайной величины $X$ — числа сданных студентом экзаменов: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline p_i & 0,018 & 0,156 & 0,434 & 0,392 \end{array} $$

52.12. В партии из 20 изделий имеются 4 изделия с дефектами. Для проверки их качества случайно выбирают 3 изделия. Составьте ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в этой выборке.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу дефектных изделий в выборке. По условию задачи, в партии 20 изделий, из которых 4 являются дефектными, а остальные $20 - 4 = 16$ изделий — стандартными (без дефектов). Из партии случайным образом отбирают 3 изделия.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Для нахождения вероятностей будем использовать классическое определение вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. Число исходов будем вычислять с помощью формулы для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 3 изделия из 20 равно:

$n = C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 19 \cdot 6 = 1140$.

Теперь найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. В выборке 0 дефектных изделий ($X=0$).

Это означает, что все 3 выбранных изделия — стандартные. Число способов выбрать 0 дефектных изделий из 4 и 3 стандартных из 16 равно:

$m_0 = C_4^0 \cdot C_{16}^3 = 1 \cdot \frac{16!}{3!(16-3)!} = 1 \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560$.

Вероятность этого события:

$P(X=0) = \frac{m_0}{n} = \frac{560}{1140} = \frac{56}{114} = \frac{28}{57}$.

2. В выборке 1 дефектное изделие ($X=1$).

Это означает, что выбрано 1 дефектное изделие из 4 и 2 стандартных изделия из 16. Число таких способов:

$m_1 = C_4^1 \cdot C_{16}^2 = 4 \cdot \frac{16!}{2!(16-2)!} = 4 \cdot \frac{16 \cdot 15}{2} = 4 \cdot 120 = 480$.

Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{m_1}{n} = \frac{480}{1140} = \frac{48}{114} = \frac{24}{57}$.

3. В выборке 2 дефектных изделия ($X=2$).

Это означает, что выбрано 2 дефектных изделия из 4 и 1 стандартное изделие из 16. Число таких способов:

$m_2 = C_4^2 \cdot C_{16}^1 = \frac{4!}{2!2!} \cdot 16 = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96$.

Вероятность этого события:

$P(X=2) = \frac{m_2}{n} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.

4. В выборке 3 дефектных изделия ($X=3$).

Это означает, что все 3 выбранных изделия — дефектные. Число способов выбрать 3 дефектных изделия из 4 и 0 стандартных из 16:

$m_3 = C_4^3 \cdot C_{16}^0 = 4 \cdot 1 = 4$.

Вероятность этого события:

$P(X=3) = \frac{m_3}{n} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1. Приведем дроби к общему знаменателю 285:

$\frac{28}{57} + \frac{24}{57} + \frac{8}{95} + \frac{1}{285} = \frac{28 \cdot 5}{285} + \frac{24 \cdot 5}{285} + \frac{8 \cdot 3}{285} + \frac{1}{285} = \frac{140 + 120 + 24 + 1}{285} = \frac{285}{285} = 1$.

Вычисления верны.

Ответ: Ряд распределения числа дефектных изделий в выборке можно представить в виде таблицы: