Страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \text{arcctg} x$ (рис. 16.16).

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Рис. 16.16

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Глядя на представленный график функции $y = \text{arcctg } x$, можно увидеть, что он простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси $x$. Это означает, что функция определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

Область (множество) значений

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Из графика видно, что значения функции находятся между двумя горизонтальными асимптотами $y=0$ и $y=\pi$. Функция никогда не достигает этих значений, а только стремится к ним. Таким образом, все значения функции строго больше 0 и строго меньше $\pi$.

Ответ: $(0; \pi)$.

Четность (нечетность)

Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси ординат (OY), и нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат (O). График функции $y = \text{arcctg } x$ не обладает ни одним из этих видов симметрии. Например, точка $(0, \frac{\pi}{2})$ является центром симметрии, но не начало координат. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Ни четная, ни нечетная.

Монотонность

Анализируя график слева направо, мы видим, что с увеличением $x$ значение $y$ постоянно уменьшается. Это означает, что функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Ответ: Убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение — это максимальное значение $y$, которое достигает функция. Хотя функция стремится к $\pi$ при $x \to -\infty$, она никогда не достигает этого значения. Таким образом, у функции нет наибольшего значения.

Ответ: Не существует.

Наименьшее значение

Наименьшее значение — это минимальное значение $y$, которое достигает функция. Функция стремится к 0 при $x \to +\infty$, но никогда не достигает этого значения. Таким образом, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: Не существует.

Нули функции

Нули функции — это точки, в которых график пересекает ось абсцисс (ось $x$), то есть где $y=0$. Поскольку область значений функции — это интервал $(0; \pi)$, значение $y=0$ никогда не достигается. График не пересекает ось $x$.

Ответ: Не существуют.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \text{arcctg}x$, используя график функции $y = \text{ctg}x$ (рис. 16.13), рассматривают только часть тангенсоиды (рис. 16.14)?

Рис. 16.13

Рис. 16.14

Условие существования обратной функции

По определению, функция имеет обратную только в том случае, если она является обратимой (или биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и, наоборот, каждому значению функции $y$ соответствует единственное значение аргумента $x$. Графически это условие проверяется «тестом горизонтальной линии»: любая горизонтальная прямая должна пересекать график функции не более чем в одной точке.

Функция $y = \text{ctg}\,x$, рассмотренная на всей своей области определения (все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — целое число), является периодической с периодом $T = \pi$. Это означает, что она принимает одинаковые значения в бесконечном множестве точек. Например, $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(\frac{5\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(-\frac{3\pi}{4}) = 1$ и так далее. Горизонтальная прямая $y=1$ пересекает график котангенсоиды (рис. 16.13) в бесконечном числе точек. Следовательно, для функции $y = \text{ctg}\,x$ в целом нельзя построить однозначную обратную функцию, так как одному значению $y$ соответствует множество значений $x$.

Ответ: Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была взаимно-однозначной, чему периодическая функция $y = \text{ctg}\,x$ на всей области определения не удовлетворяет.

Выбор основного промежутка монотонности

Чтобы определить обратную функцию, необходимо ограничить область определения исходной функции $y = \text{ctg}\,x$ таким промежутком, на котором она монотонна (то есть только возрастает или только убывает). На таком промежутке каждому значению $y$ будет соответствовать ровно один $x$.

Для котангенса в качестве такого основного промежутка по соглашению выбирают интервал $(0, \pi)$. На этом интервале (как показано на рис. 16.14) функция $y = \text{ctg}\,x$ строго убывает и принимает все возможные действительные значения от $+\infty$ до $-\infty$. То есть, область значений этой ограниченной функции — это $(-\infty, +\infty)$.

Именно для этой «урезанной» версии функции $y = \text{ctg}\,x$ с областью определения $x \in (0, \pi)$ и строится обратная функция, которая называется арккотангенсом.

Ответ: Рассматривается только часть котангенсоиды на интервале $(0, \pi)$, так как на этом интервале функция $y = \text{ctg}\,x$ монотонно убывает, что позволяет определить для нее однозначную обратную функцию.

Построение графика функции y = arcctg x

Обратная функция $y = \text{arcctg}\,x$ определяется следующим образом: $\text{arcctg}\,a$ — это такое число $b$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg}\,b = a$.

Из этого определения следуют свойства арккотангенса:

• Область определения $y = \text{arcctg}\,x$ — это область значений ограниченной функции $y = \text{ctg}\,x$, то есть $(-\infty, +\infty)$.
• Область значений $y = \text{arcctg}\,x$ — это область определения ограниченной функции $y = \text{ctg}\,x$, то есть интервал $(0, \pi)$.

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$. Таким образом, чтобы построить график $y = \text{arcctg}\,x$, берут именно ту ветвь графика $y = \text{ctg}\,x$, которая соответствует интервалу $(0, \pi)$ (рис. 16.14), и отражают ее симметрично относительно прямой $y=x$.

Ответ: Для построения графика $y = \text{arcctg}\,x$ используется только ветвь котангенсоиды на интервале $(0, \pi)$, поскольку именно эта часть графика соответствует функции, для которой арккотангенс является обратной. График арккотангенса является зеркальным отражением этой ветви относительно прямой $y=x$.

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \text{arcctg}x$ (рис. 16.15)?

График функции $y = \text{arcctg}(x)$ построен на основе того факта, что арккотангенс является функцией, обратной к функции котангенс, $y = \text{ctg}(x)$. Процесс построения можно разбить на следующие этапы:

1. Ограничение области определения котангенса.

Функция $y = \text{ctg}(x)$ является периодической, а значит, не является взаимно-однозначной на всей своей области определения. Чтобы для нее существовала обратная функция, необходимо выбрать интервал, на котором она монотонна. В качестве основного интервала монотонности для котангенса традиционно выбирают промежуток $(0, \pi)$. На этом интервале функция $y = \text{ctg}(x)$ непрерывна и строго убывает, принимая все значения от $+\infty$ до $-\infty$. На рисунке эта часть графика котангенса показана серой кривой.

2. Использование свойств обратных функций.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Это означает, что для получения графика $y = \text{arcctg}(x)$, нужно взять график $y = \text{ctg}(x)$, построенный на интервале $(0, \pi)$, и отразить его симметрично относительно прямой $y=x$.

3. Анализ полученного графика.

В результате симметричного отражения происходят следующие изменения:

• Область определения и область значений меняются местами. Для $y=\text{ctg}(x)$ на $(0, \pi)$ область определения была $(0, \pi)$, а область значений $(-\infty, +\infty)$. Для $y = \text{arcctg}(x)$ область определения становится $(-\infty, +\infty)$, а область значений — $(0, \pi)$.

• Вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$ для графика котангенса превращаются в горизонтальные асимптоты $y=\pi$ и $y=0$ для графика арккотангенса. Так, стремление котангенса к $+\infty$ при $x \to 0^+$ соответствует стремлению арккотангенса к $0$ при $x \to +\infty$. А стремление котангенса к $-\infty$ при $x \to \pi^-$ соответствует стремлению арккотангенса к $\pi$ при $x \to -\infty$.

• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на графике $y=\text{ctg}(x)$ переходит в точку $(0, \frac{\pi}{2})$ на графике $y=\text{arcctg}(x)$.

• Функция $y=\text{arcctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения, так же как и $y=\text{ctg}(x)$ на интервале $(0, \pi)$.

Именно так, путем отражения главной ветви котангенса, и был построен график $y=\text{arcctg}(x)$, который мы видим на рисунке.

Ответ: График функции $y = \text{arcctg}(x)$ построен путем симметричного отражения относительно прямой $y=x$ той ветви графика функции $y = \text{ctg}(x)$, которая соответствует интервалу $x \in (0, \pi)$.