Страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.6. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin\frac{1}{x}$;

2) $y = \arcsin\frac{1}{x-2}$;

3) $y = 2\arccos\frac{2}{x+2}$;

4) $y = 2 - \arccos\frac{1}{x-1}$.

1) Областью определения для функции арксинуса $y = \arcsin(u)$ является промежуток $[-1, 1]$, то есть аргумент $u$ должен удовлетворять двойному неравенству $-1 \le u \le 1$.

Для функции $y = \arcsin\frac{1}{x}$ аргументом является $u = \frac{1}{x}$. Следовательно, мы должны решить неравенство $-1 \le \frac{1}{x} \le 1$.

Это неравенство эквивалентно неравенству $|\frac{1}{x}| \le 1$. Также необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.

Перепишем неравенство: $\frac{1}{|x|} \le 1$.

Поскольку $|x| > 0$ (так как $x \ne 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $|x|$, сохранив знак неравенства: $1 \le |x|$.

Неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge 1$ или $x \le -1$.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2) Для функции $y = \arcsin\frac{1}{x-2}$ аргументом является $u = \frac{1}{x-2}$. Область определения задается условием $-1 \le \frac{1}{x-2} \le 1$.

Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль, поэтому $x-2 \ne 0$, откуда $x \ne 2$.

Решим неравенство $|\frac{1}{x-2}| \le 1$.

Это равносильно $\frac{1}{|x-2|} \le 1$.

Так как $|x-2| > 0$, умножим на него обе части неравенства: $1 \le |x-2|$.

Неравенство $|x-2| \ge 1$ можно разбить на два случая:

а) $x-2 \ge 1 \implies x \ge 3$.

б) $x-2 \le -1 \implies x \le 1$.

Объединяя эти решения, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

3) Областью определения для функции арккосинуса $y = \arccos(u)$ также является промежуток $[-1, 1]$. Множитель $2$ перед функцией не влияет на область определения.

Для функции $y = 2\arccos\frac{2}{x+2}$ аргументом является $u = \frac{2}{x+2}$. Таким образом, должно выполняться условие $-1 \le \frac{2}{x+2} \le 1$.

Знаменатель дроби не равен нулю: $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$.

Решим систему из двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{x+2} \le 1 \\ \frac{2}{x+2} \ge -1 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$\frac{2}{x+2} - 1 \le 0 \implies \frac{2 - (x+2)}{x+2} \le 0 \implies \frac{-x}{x+2} \le 0$. Умножив на -1, получим $\frac{x}{x+2} \ge 0$.

Решением этого неравенства методом интервалов является $x \in (-\infty, -2) \cup [0, \infty)$.

Решаем второе неравенство:

$\frac{2}{x+2} + 1 \ge 0 \implies \frac{2 + (x+2)}{x+2} \ge 0 \implies \frac{x+4}{x+2} \ge 0$.

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -4] \cup (-2, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, -2) \cup [0, \infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup (-2, \infty))$.

Пересечение этих множеств дает итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.

4) Для функции $y = 2 - \arccos\frac{1}{x-1}$ константа $2$ и знак минус не влияют на область определения. Она определяется аргументом арккосинуса $u = \frac{1}{x-1}$.

Условие для аргумента: $-1 \le \frac{1}{x-1} \le 1$.

Знаменатель не равен нулю: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.

Неравенство можно переписать в виде $|\frac{1}{x-1}| \le 1$, что равносильно $1 \le |x-1|$ (поскольку $|x-1| > 0$).

Неравенство $|x-1| \ge 1$ распадается на два случая:

а) $x-1 \ge 1 \implies x \ge 2$.

б) $x-1 \le -1 \implies x \le 0$.

Объединяя решения, находим область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

16.7. Используя график функции $y = \arcsin x$, расположите выражения в порядке возрастания их значений:

1) $\arcsin \frac{\pi}{6}$; $\arcsin 0,8$; $\arcsin (-0,2)$;

2) $\arcsin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$; $\arcsin 0,9$; $\arcsin (-0,1)$;

3) $\arcsin \frac{\pi}{18}$; $\arcsin 0,3$; $\arcsin (-0,8)$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство функции $y = \arcsin x$. Эта функция определена на отрезке $[-1, 1]$ и является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-1, 1]$, если $x_1 < x_2$, то и $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$. Таким образом, чтобы расположить значения арксинусов в порядке возрастания, нам нужно сначала сравнить их аргументы, и если они все принадлежат области определения, расположить сами арксинусы в том же порядке.

1) Даны выражения: $\arcsin\frac{\pi}{6}$; $\arcsin 0,8$; $\arcsin(-0,2)$.

Сначала сравним аргументы этих функций: $\frac{\pi}{6}$, $0,8$ и $-0,2$.

Для начала убедимся, что все аргументы находятся в области определения функции арксинус, то есть в отрезке $[-1, 1]$.

Значение $\pi$ приблизительно равно $3,14$. Тогда $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,523$.

Все три аргумента: $0,523$, $0,8$ и $-0,2$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания:

$-0,2 < \frac{\pi}{6} < 0,8$

Так как функция $y = \arcsin x$ возрастающая, то значения выражений будут располагаться в том же порядке:

$\arcsin(-0,2) < \arcsin\frac{\pi}{6} < \arcsin 0,8$

Ответ: $\arcsin(-0,2)$; $\arcsin\frac{\pi}{6}$; $\arcsin 0,8$.

2) Даны выражения: $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$; $\arcsin 0,9$; $\arcsin(-0,1)$.

Сравним аргументы этих функций: $-\frac{\pi}{3}$, $0,9$ и $-0,1$.

Проверим, принадлежат ли аргументы области определения $[-1, 1]$.

Аргументы $0,9$ и $-0,1$ находятся в этом отрезке.

Рассмотрим аргумент $-\frac{\pi}{3}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3,14}{3} \approx -1,047$.

Значение $-1,047$ меньше, чем $-1$, и, следовательно, не входит в область определения функции $y = \arcsin x$. Это означает, что выражение $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ не определено в области действительных чисел.

Поскольку одно из выражений не имеет действительного значения, расположить их в порядке возрастания невозможно.

Ответ: Расположить выражения в порядке возрастания невозможно, так как выражение $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ не определено.

3) Даны выражения: $\arcsin\frac{\pi}{18}$; $\arcsin 0,3$; $\arcsin(-0,8)$.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{18}$, $0,3$ и $-0,8$.

Проверим, входят ли аргументы в область определения $[-1, 1]$.

Аргументы $0,3$ и $-0,8$ принадлежат этому отрезку.

Вычислим приближенное значение для $\frac{\pi}{18}$:

$\frac{\pi}{18} \approx \frac{3,14}{18} \approx 0,174$.

Это значение также находится в отрезке $[-1, 1]$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания:

$-0,8 < \frac{\pi}{18} < 0,3$

Поскольку функция $y = \arcsin x$ возрастающая, значения арксинусов будут в том же порядке:

$\arcsin(-0,8) < \arcsin\frac{\pi}{18} < \arcsin 0,3$

Ответ: $\arcsin(-0,8)$; $\arcsin\frac{\pi}{18}$; $\arcsin 0,3$.

16.8. Используя график функции $y = \arccos x$, расположите выражения в порядке возрастания их значений:

1) $\arccos\frac{\pi}{6}$; $\arccos 0.8$; $\arccos (-0.2)$;

2) $\arccos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$; $\arccos 0.9$; $\arccos (-0.1)$;

3) $\arccos 0$; $\arccos 0.3$; $\arccos (-0.7)$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство функции $y = \arccos x$. Эта функция определена на отрезке $[-1, 1]$ и является строго убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-1, 1]$, если $x_1 < x_2$, то $\arccos x_1 > \arccos x_2$. Иными словами, чем больше аргумент, тем меньше значение функции.

Чтобы расположить значения арккосинусов в порядке возрастания, нам нужно расположить их аргументы в порядке убывания.

1) Расположим в порядке возрастания выражения $\arccos\frac{\pi}{6}$; $\arccos0,8$; $\arccos(-0,2)$.

Аргументы данных функций: $x_1 = \frac{\pi}{6}$, $x_2 = 0,8$, $x_3 = -0,2$.

Оценим значение $\frac{\pi}{6}$, используя $\pi \approx 3,14$: $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,523$.

Теперь сравним аргументы: $-0,2 < 0,523 < 0,8$. Таким образом, $x_3 < x_1 < x_2$.

Поскольку функция $y = \arccos x$ убывающая, для значений функции будет выполняться обратное неравенство: $\arccos(-0,2) > \arccos(\frac{\pi}{6}) > \arccos(0,8)$.

Расположив выражения в порядке возрастания (от меньшего к большему), получаем: $\arccos 0,8$; $\arccos \frac{\pi}{6}$; $\arccos(-0,2)$.

Ответ: $\arccos 0,8$; $\arccos \frac{\pi}{6}$; $\arccos(-0,2)$.

2) Расположим в порядке возрастания выражения $\arccos(-\frac{\pi}{3})$; $\arccos0,9$; $\arccos(-0,1)$.

Рассмотрим аргумент первого выражения: $x_1 = -\frac{\pi}{3}$. Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $x_1 \approx -\frac{3,14}{3} \approx -1,047$.

Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $-1,047 < -1$, значение $x_1$ не входит в область определения функции. Следовательно, выражение $\arccos(-\frac{\pi}{3})$ не определено, и расположить данные выражения в порядке возрастания невозможно.

Однако, можно предположить, что в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду выражение $\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))$. В этом случае решение будет следующим:

Находим значение аргумента: $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь нам нужно сравнить аргументы: $0,5$; $0,9$; $-0,1$.

Расположим их в порядке убывания: $0,9 > 0,5 > -0,1$.

Так как функция $y = \arccos x$ убывающая, значения арккосинусов будут расположены в порядке возрастания: $\arccos(0,9) < \arccos(0,5) < \arccos(-0,1)$.

Ответ: Если считать, что в выражении $\arccos(-\frac{\pi}{3})$ допущена опечатка и оно должно читаться как $\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))$, то порядок возрастания следующий: $\arccos 0,9$; $\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))$; $\arccos(-0,1)$.

3) Расположим в порядке возрастания выражения $\arccos0$; $\arccos0,3$; $\arccos(-0,7)$.

Аргументы данных функций: $x_1 = 0$, $x_2 = 0,3$, $x_3 = -0,7$.

Все аргументы принадлежат области определения $[-1, 1]$.

Расположим аргументы в порядке убывания: $0,3 > 0 > -0,7$.

Поскольку функция $y = \arccos x$ убывающая, для значений функции будет выполняться неравенство в том же порядке, что и для убывающих аргументов, т.е. значения будут идти по возрастанию: $\arccos(0,3) < \arccos(0) < \arccos(-0,7)$.

Таким образом, выражения в порядке возрастания их значений располагаются так: $\arccos 0,3$; $\arccos 0$; $\arccos(-0,7)$.

Ответ: $\arccos 0,3$; $\arccos 0$; $\arccos(-0,7)$.

16.9. Исследуйте на четность функцию:

1) $y = 2 - \arcsin \frac{1}{x}$;

2) $y = 2x^2 - \arcsin x^2$;

3) $y = 2 \arccos \frac{2}{x^2+1}$;

4) $y = 2 \arccos \frac{1}{x+1}$.

1) $y = 2 - \arcsin\frac{1}{x}$

Для исследования функции на четность необходимо сначала найти ее область определения $D(y)$. Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$.

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x} \le 1 \\ \frac{1}{x} \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1-x}{x} \le 0 \\ \frac{1+x}{x} \ge 0 \end{cases}$

Решая эти неравенства методом интервалов, получаем:

Для первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

Для второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает область определения: $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Эта область определения является симметричной относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).

Теперь найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 2 - \arcsin\frac{1}{-x} = 2 - \arcsin(-\frac{1}{x})$.

Используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-u) = -\arcsin(u)$, получаем:

$y(-x) = 2 - (-\arcsin\frac{1}{x}) = 2 + \arcsin\frac{1}{x}$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(-x) = 2 + \arcsin\frac{1}{x} \ne y(x) = 2 - \arcsin\frac{1}{x}$ (равенство выполняется только при $\arcsin\frac{1}{x}=0$, что невозможно, так как $x \ne \infty$).

$y(-x) = 2 + \arcsin\frac{1}{x} \ne -y(x) = -(2 - \arcsin\frac{1}{x}) = -2 + \arcsin\frac{1}{x}$ (равенство $2=-2$ неверно).

Так как не выполняется ни условие четности $y(-x) = y(x)$, ни условие нечетности $y(-x) = -y(x)$, функция является функцией общего вида.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

2) $y = 2x^2 - \arcsin{x^2}$

Найдем область определения функции $D(y)$. Аргумент арксинуса должен быть в промежутке $[-1, 1]$.

$-1 \le x^2 \le 1$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $0 \le x^2 \le 1$, что равносильно $x^2 \le 1$.

Отсюда следует, что $-1 \le x \le 1$. Область определения $D(y) = [-1, 1]$.

Эта область симметрична относительно начала координат.

Теперь найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 2(-x)^2 - \arcsin((-x)^2) = 2x^2 - \arcsin(x^2)$.

Сравнивая $y(-x)$ с $y(x)$, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

3) $y = 2 \arccos\frac{2}{x^2 + 1}$

Найдем область определения функции $D(y)$. Аргумент арккосинуса должен быть в промежутке $[-1, 1]$.

$-1 \le \frac{2}{x^2 + 1} \le 1$.

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (больше или равен 1). Поэтому дробь $\frac{2}{x^2 + 1}$ всегда положительна. Таким образом, левая часть неравенства, $-1 \le \frac{2}{x^2 + 1}$, выполняется всегда.

Остается решить неравенство $\frac{2}{x^2 + 1} \le 1$.

Так как $x^2+1 > 0$, можем умножить обе части на $x^2+1$:

$2 \le x^2 + 1$

$1 \le x^2$

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Область определения $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

Теперь найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 2 \arccos\frac{2}{(-x)^2 + 1} = 2 \arccos\frac{2}{x^2 + 1}$.

Сравнивая $y(-x)$ с $y(x)$, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

4) $y = 2 \arccos\frac{1}{x + 1}$

Найдем область определения функции $D(y)$. Аргумент арккосинуса должен быть в промежутке $[-1, 1]$, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$-1 \le \frac{1}{x + 1} \le 1$ и $x+1 \ne 0$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x+1} \le 1 \\ \frac{1}{x+1} \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1-(x+1)}{x+1} \le 0 \\ \frac{1+(x+1)}{x+1} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{-x}{x+1} \le 0 \\ \frac{x+2}{x+1} \ge 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство $\frac{x}{x+1} \ge 0$, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$.

Решая второе неравенство $\frac{x+2}{x+1} \ge 0$, получаем $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств является $D(y) = (-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.

Проверим область определения на симметричность. Возьмем точку $x=1 \in D(y)$. Противоположная ей точка $-x = -1$. Точка $-1$ не принадлежит области определения $D(y)$.

Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

16.10. Постройте график функции:

1) $y = - \arcsin x$;

2) $y = 2 - \arcsin x$;

3) $y = 2 \arccos x$;

4) $y = - \arccos(-x)$.

1) Чтобы построить график функции $y = -\arcsin x$, мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$.

Сначала рассмотрим свойства и график функции $y_0 = \arcsin x$:

• Область определения: $D(y_0) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y_0) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.
• Функция является возрастающей.

График функции $y = -\arcsin x$ получается из графика $y_0 = \arcsin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Это преобразование меняет знак каждой ординаты точки графика.

Свойства функции $y = -\arcsin x$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений также остается неизменной: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Ключевые точки преобразуются следующим образом:
  • $(-1, -\frac{\pi}{2})$ переходит в $(-1, -(-\frac{\pi}{2}))$, то есть в точку $(-1, \frac{\pi}{2})$.
  • $(0, 0)$ переходит в $(0, -0)$, то есть остается на месте $(0, 0)$.
  • $(1, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(1, -\frac{\pi}{2})$.
• Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -\arcsin x$ получается из графика функции $y = \arcsin x$ симметричным отражением относительно оси абсцисс.

2) Чтобы построить график функции $y = 2 - \arcsin x$, мы можем использовать график функции $y_1 = -\arcsin x$, построенный в предыдущем пункте.

Функция $y = 2 - \arcsin x$ может быть записана как $y = (-\arcsin x) + 2$. Это означает, что ее график получается из графика $y_1 = -\arcsin x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции $y = 2 - \arcsin x$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений $E(y_1) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ сдвигается на 2 вверх. Новая область значений: $E(y) = [2 - \frac{\pi}{2}, 2 + \frac{\pi}{2}]$.
• Ключевые точки графика $y_1 = -\arcsin x$ смещаются на 2 вверх:
  • $(-1, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(-1, \frac{\pi}{2} + 2)$.
  • $(0, 0)$ переходит в $(0, 2)$.
  • $(1, -\frac{\pi}{2})$ переходит в $(1, -\frac{\pi}{2} + 2)$.
• Функция является убывающей, так как сдвиг не меняет монотонность.

Ответ: График функции $y = 2 - \arcsin x$ получается из графика функции $y = -\arcsin x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

3) Чтобы построить график функции $y = 2 \arccos x$, мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y_0 = \arccos x$.

Сначала рассмотрим свойства и график функции $y_0 = \arccos x$:

• Область определения: $D(y_0) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y_0) = [0, \pi]$.
• Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.
• Функция является убывающей.

График функции $y = 2 \arccos x$ получается из графика $y_0 = \arccos x$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Это означает, что каждая ордината точки графика умножается на 2.

Свойства функции $y = 2 \arccos x$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений $E(y_0) = [0, \pi]$ растягивается в 2 раза. Новая область значений: $E(y) = [0, 2\pi]$.
• Ключевые точки преобразуются следующим образом:
  • $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, 2\pi)$.
  • $(0, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(0, 2 \cdot \frac{\pi}{2})$, то есть в точку $(0, \pi)$.
  • $(1, 0)$ переходит в $(1, 2 \cdot 0)$, то есть в точку $(1, 0)$.
• Функция является убывающей, так как коэффициент растяжения положителен.

Ответ: График функции $y = 2 \arccos x$ получается из графика функции $y = \arccos x$ растяжением в 2 раза вдоль оси ординат от оси абсцисс.

4) Чтобы построить график функции $y = -\arccos(-x)$, сначала упростим выражение, используя известное тождество для арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

Подставим это тождество в нашу функцию:$y = -(\pi - \arccos x) = \arccos x - \pi$.

Теперь задача сводится к построению графика функции $y = \arccos x - \pi$. Этот график получается из графика базовой функции $y_0 = \arccos x$ путем параллельного переноса (сдвига) на $\pi$ единиц вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции $y = \arccos x - \pi$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений $E(y_0) = [0, \pi]$ сдвигается на $\pi$ вниз. Новая область значений: $E(y) = [0 - \pi, \pi - \pi]$, то есть $E(y) = [-\pi, 0]$.
• Ключевые точки графика $y_0 = \arccos x$ смещаются на $\pi$ вниз:
  • $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, \pi - \pi)$, то есть в точку $(-1, 0)$.
  • $(0, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(0, \frac{\pi}{2} - \pi)$, то есть в точку $(0, -\frac{\pi}{2})$.
  • $(1, 0)$ переходит в $(1, 0 - \pi)$, то есть в точку $(1, -\pi)$.
• Функция является убывающей, так как сдвиг не меняет монотонность.

Ответ: График функции $y = -\arccos(-x)$ совпадает с графиком функции $y = \arccos x - \pi$ и получается из графика функции $y = \arccos x$ сдвигом на $\pi$ единиц вниз вдоль оси ординат.

16.11. Постройте график функции и исследуйте функцию на монотонность.

1) $y = \arcsin(x - 1) + 2;$

2) $y = \pi - \arcsin x;$

3) $y = \pi + \arccos x;$

4) $y = -\arccos\frac{x}{2}.$

1) $y = \arcsin(x - 1) + 2$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$ путем следующих геометрических преобразований:

1. Сдвиг графика $y_0 = \arcsin x$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox, получаем график функции $y_1 = \arcsin(x - 1)$.

2. Сдвиг графика $y_1 = \arcsin(x - 1)$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, получаем искомый график $y = \arcsin(x - 1) + 2$.

Для исследования на монотонность найдем область определения функции. Аргумент арксинуса должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим:

$0 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, 2]$.

Функция $y_0 = \arcsin t$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Преобразования сдвига не меняют характер монотонности функции. Следовательно, функция $y = \arcsin(x - 1) + 2$ также является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

Проверим это с помощью производной:

$y' = (\arcsin(x - 1) + 2)' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} \cdot (x-1)' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}}$.

На всей области определения $x \in (0, 2)$ производная $y' > 0$, что подтверждает, что функция возрастает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=0$, $y = \arcsin(-1) + 2 = -\frac{\pi}{2} + 2$.

• При $x=1$, $y = \arcsin(0) + 2 = 2$.

• При $x=2$, $y = \arcsin(1) + 2 = \frac{\pi}{2} + 2$.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $x \in [0, 2]$.

2) $y = \pi - \arcsin x$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$ путем следующих преобразований:

1. Симметричное отражение графика $y_0 = \arcsin x$ относительно оси Ox, получаем график функции $y_1 = -\arcsin x$.

2. Сдвиг графика $y_1 = -\arcsin x$ на $\pi$ единиц вверх вдоль оси Oy, получаем искомый график $y = \pi - \arcsin x$.

Область определения функции совпадает с областью определения $y_0 = \arcsin x$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

Функция $y_0 = \arcsin x$ является возрастающей. Отражение относительно оси Ox меняет монотонность на противоположную, поэтому $y_1 = -\arcsin x$ является убывающей. Сдвиг по оси Oy не влияет на монотонность. Следовательно, функция $y = \pi - \arcsin x$ является убывающей на всей своей области определения.

Проверим с помощью производной:

$y' = (\pi - \arcsin x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

На всей области определения $x \in (-1, 1)$ производная $y' < 0$, что подтверждает, что функция убывает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=-1$, $y = \pi - \arcsin(-1) = \pi - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2}$.

• При $x=0$, $y = \pi - \arcsin(0) = \pi$.

• При $x=1$, $y = \pi - \arcsin(1) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: функция убывает на всей области определения $x \in [-1, 1]$.

3) $y = \pi + \arccos x$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arccos x$ путем сдвига на $\pi$ единиц вверх вдоль оси Oy.

Область определения функции совпадает с областью определения $y_0 = \arccos x$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

Функция $y_0 = \arccos x$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Сдвиг не меняет характер монотонности. Следовательно, функция $y = \pi + \arccos x$ является убывающей на всей своей области определения.

Проверим с помощью производной:

$y' = (\pi + \arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

На всей области определения $x \in (-1, 1)$ производная $y' < 0$, что подтверждает, что функция убывает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=-1$, $y = \pi + \arccos(-1) = \pi + \pi = 2\pi$.

• При $x=0$, $y = \pi + \arccos(0) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

• При $x=1$, $y = \pi + \arccos(1) = \pi + 0 = \pi$.

Ответ: функция убывает на всей области определения $x \in [-1, 1]$.

4) $y = -\arccos\frac{x}{2}$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arccos x$ путем следующих преобразований:

1. Растяжение графика $y_0 = \arccos x$ от оси Oy в 2 раза, получаем график функции $y_1 = \arccos\frac{x}{2}$.

2. Симметричное отражение графика $y_1 = \arccos\frac{x}{2}$ относительно оси Ox, получаем искомый график $y = -\arccos\frac{x}{2}$.

Найдем область определения функции. Аргумент арккосинуса должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$

Умножив все части на 2, получим:

$-2 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, 2]$.

Функция $y_0 = \arccos t$ является убывающей. Функция $t(x)=\frac{x}{2}$ является возрастающей. Композиция убывающей и возрастающей функций ($y_1 = \arccos\frac{x}{2}$) является убывающей функцией. Отражение относительно оси Ox меняет монотонность на противоположную. Следовательно, итоговая функция $y = -\arccos\frac{x}{2}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Проверим с помощью производной:

$y' = (-\arccos\frac{x}{2})' = - \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}}\right) \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$.

На всей области определения $x \in (-2, 2)$ производная $y' > 0$, что подтверждает, что функция возрастает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=-2$, $y = -\arccos(-1) = -\pi$.

• При $x=0$, $y = -\arccos(0) = -\frac{\pi}{2}$.

• При $x=2$, $y = -\arccos(1) = 0$.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $x \in [-2, 2]$.

16.12. Постройте график функции:

1) $y = |\arcsin x - \pi|$;

2) $y = 2\arcsin|x|$;

3) $y = -2\arccos|x|$;

4) $y = \arccos|x - 2|$.

1) $y = |\arcsin x - \pi|$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования, начиная с графика базовой функции $y_1 = \arcsin x$.

1. График функции $y_1 = \arcsin x$ определен на отрезке $x \in [-1, 1]$ и имеет область значений $y_1 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.

2. Построим график функции $y_2 = \arcsin x - \pi$. Он получается путем сдвига графика $y_1$ на $\pi$ единиц вниз вдоль оси Oy. Область определения остается прежней, $D(y_2) = [-1, 1]$, а область значений смещается: $E(y_2) = [-\frac{\pi}{2} - \pi, \frac{\pi}{2} - \pi] = [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

3. Наконец, построим график искомой функции $y = |\arcsin x - \pi|$. Это означает, что все значения $y_2$ берутся по модулю. Поскольку область значений $E(y_2)$ целиком лежит ниже оси Ox (все значения $y_2$ отрицательны), то для получения графика $y = |y_2|$ нужно отразить график $y_2$ симметрично относительно оси Ox. Это равносильно построению графика функции $y = -y_2 = -(\arcsin x - \pi) = \pi - \arcsin x$.

Итоговый график $y = \pi - \arcsin x$ имеет:

- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

- Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

- Ключевые точки:

- при $x = -1, y = \pi - \arcsin(-1) = \pi - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2}$. Точка $(-1, \frac{3\pi}{2})$.

- при $x = 0, y = \pi - \arcsin(0) = \pi - 0 = \pi$. Точка $(0, \pi)$.

- при $x = 1, y = \pi - \arcsin(1) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Точка $(1, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, убывающую на отрезке $[-1, 1]$ от точки $(-1, \frac{3\pi}{2})$ до точки $(1, \frac{\pi}{2})$ и проходящую через точку $(0, \pi)$.

2) $y = 2\arcsin|x|$

Построение графика выполним в несколько шагов.

1. Начнем с графика $y_1 = \arcsin x$.

2. Построим график функции $y_2 = \arcsin|x|$. Поскольку функция $y_2(x)$ является четной ($y_2(-x) = \arcsin|-x| = \arcsin|x| = y_2(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$, $|x|=x$, поэтому график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$ на отрезке $[0, 1]$. Часть графика для $x < 0$ получаем, отразив симметрично часть для $x > 0$ относительно оси Oy. Область определения $D(y_2): |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1]$. Область значений $E(y_2):$ так как $|x| \in [0, 1]$, то $y_2 \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

3. Построим график искомой функции $y = 2\arcsin|x| = 2y_2$. Этот график получается из графика $y_2$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy.

Итоговый график $y = 2\arcsin|x|$ имеет:

- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

- Область значений: $E(y) = [2 \cdot 0, 2 \cdot \frac{\pi}{2}] = [0, \pi]$.

- Ключевые точки:

- при $x = 0, y = 2\arcsin|0| = 0$. Точка $(0, 0)$.

- при $x = 1, y = 2\arcsin|1| = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$. Точка $(1, \pi)$.

- при $x = -1, y = 2\arcsin|-1| = 2\arcsin(1) = \pi$. Точка $(-1, \pi)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, выходит из точки $(0, 0)$ (точка минимума) и возрастает на $[0, 1]$ до точки $(1, \pi)$, а на $[-1, 0]$ убывает от точки $(-1, \pi)$ до $(0, 0)$.

3) $y = -2\arccos|x|$

Построение графика также выполним последовательными преобразованиями.

1. Базовая функция — $y_1 = \arccos x$. Область определения $D(y_1) = [-1, 1]$, область значений $E(y_1) = [0, \pi]$.

2. Построим график функции $y_2 = \arccos|x|$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \in [0, 1]$ график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$. Часть для $x < 0$ является зеркальным отражением части для $x > 0$. Область определения $D(y_2) = [-1, 1]$. Область значений $E(y_2) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

3. Построим график искомой функции $y = -2\arccos|x| = -2y_2$. Для этого нужно график $y_2$ растянуть в 2 раза вдоль оси Oy, а затем отразить симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график $y = -2\arccos|x|$ имеет:

- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

- Область значений: $E(y) = [-2 \cdot \frac{\pi}{2}, -2 \cdot 0] = [-\pi, 0]$.

- Ключевые точки:

- при $x = 0, y = -2\arccos|0| = -2 \cdot \frac{\pi}{2} = -\pi$. Точка $(0, -\pi)$.

- при $x = 1, y = -2\arccos|1| = -2 \cdot 0 = 0$. Точка $(1, 0)$.

- при $x = -1, y = -2\arccos|-1| = -2\arccos(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума $(0, -\pi)$ и проходит через точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4) $y = \arccos|x - 2|$

Построение графика основано на преобразовании графика функции $y_1 = \arccos|x|$.

1. Как было установлено в предыдущем пункте, график функции $y_1 = \arccos|x|$ определен на $x \in [-1, 1]$, имеет область значений $y_1 \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и проходит через ключевые точки $(-1, 0)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.

2. График искомой функции $y = \arccos|x - 2|$ получается из графика $y_1$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

- Область определения: аргумент функции $|x-2|$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Так как $|x-2| \ge 0$, имеем $0 \le |x-2| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x-2 \le 1$. Отсюда $1 \le x \le 3$. Итак, $D(y) = [1, 3]$.

- Область значений: так как аргумент $|x-2|$ принимает значения на отрезке $[0, 1]$, область значений функции $y = \arccos(|x-2|)$ будет $[0, \frac{\pi}{2}]$. Итак, $E(y) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

- Ключевые точки (получены сдвигом ключевых точек $y_1$ на 2 вправо):

- $(-1, 0) \rightarrow (-1+2, 0) = (1, 0)$.

- $(0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0+2, \frac{\pi}{2}) = (2, \frac{\pi}{2})$.

- $(1, 0) \rightarrow (1+2, 0) = (3, 0)$.

Ответ: График функции определен на отрезке $[1, 3]$, симметричен относительно прямой $x=2$. Он начинается в точке $(1, 0)$, возрастает до точки максимума $(2, \frac{\pi}{2})$, а затем убывает до точки $(3, 0)$.

53.1. Найдите моду и математическое ожидание дискретной случайной величины $X$, заданной рядом распределения (табл. 35):

Таблица 35

X: 1, 2, 4

P: 0,1, 0,3, 0,6

Мода

Модой ($Mo$) дискретной случайной величины является её значение с наибольшей вероятностью.

Из таблицы распределения имеем следующие вероятности для каждого значения $X$:

Вероятность того, что $X=1$, равна $P(X=1) = 0,1$.

Вероятность того, что $X=2$, равна $P(X=2) = 0,3$.

Вероятность того, что $X=4$, равна $P(X=4) = 0,6$.

Наибольшая вероятность $p_{max} = 0,6$. Это значение вероятности соответствует значению случайной величины $X=4$.

Ответ: $Mo = 4$.

Математическое ожидание

Математическое ожидание ($M(X)$) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Формула для вычисления математического ожидания: $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$

Подставим в формулу значения из таблицы: $M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$

$M(X) = 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,6$

Произведем вычисления: $M(X) = 0,1 + 0,6 + 2,4 = 3,1$

Ответ: $M(X) = 3,1$.

53.2. Дискретная случайная величина $X$ задана значениями: 2; 4; 7; 8; 9. Закон распределения случайной величины задан таблицей 36.

Таблица 36

Найдите математическое ожидание и моду.

Математическое ожидание

Математическое ожидание (E[X] или M(X)) дискретной случайной величины является суммой произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для расчёта математического ожидания:

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Используя данные из таблицы:

$x_1=2, p_1=0,1$

$x_2=4, p_2=0,2$

$x_3=7, p_3=0,3$

$x_4=8, p_4=0,3$

$x_5=9, p_5=0,1$

Подставим эти значения в формулу:

$E[X] = (2 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,2) + (7 \cdot 0,3) + (8 \cdot 0,3) + (9 \cdot 0,1)$

$E[X] = 0,2 + 0,8 + 2,1 + 2,4 + 0,9 = 6,4$

Ответ: $6,4$

Мода

Мода (Mo) случайной величины — это её значение, которое имеет наибольшую вероятность. Необходимо найти в таблице распределения максимальную вероятность и соответствующее ей значение X.

В данном законе распределения вероятности равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,3; 0,1.

Наибольшая вероятность равна $0,3$. Эта вероятность соответствует двум значениям случайной величины X: $7$ и $8$.

Следовательно, данное распределение имеет две моды.

Ответ: $7$ и $8$

53.3. Найдите дисперсию случайной величины $X$, заданной рядом распределения (табл. 37).

Таблица 37

X: 1, 2, 4

P: 0,1, 0,3, 0,6

Дисперсия $D(X)$ случайной величины $X$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$.

Математическое ожидание для дискретной случайной величины находится как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Используя данные из таблицы:

$M(X) = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.6 = 0.1 + 0.6 + 2.4 = 3.1$

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$.

Это значение вычисляется по формуле $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.3 + 4^2 \cdot 0.6 = 1 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.6 = 0.1 + 1.2 + 9.6 = 10.9$

3. Вычислим дисперсию $D(X)$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 10.9 - (3.1)^2 = 10.9 - 9.61 = 1.29$

Ответ: $1.29$

53.4. Известны математические ожидания независимых случайных величин $X$ и $Y$: $M(X) = 5$, $M(Y) = 9$. Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $Z = 3X + Y$;

2) $Z = 2X - Y + 5$;

3) $Z = XY$.

53.5. Известны матема

Для решения данной задачи мы будем использовать основные свойства математического ожидания. Нам даны математические ожидания двух независимых случайных величин X и Y: $M(X) = 5$ и $M(Y) = 9$.

Основные свойства, которые нам понадобятся:

1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M(cX) = c \cdot M(X)$, где c - константа.

3. Математическое ожидание константы равно самой константе: $M(c) = c$.

4. Для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: $M(XY) = M(X) \cdot M(Y)$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) Z = 3X + Y

Используя свойства 1 и 2, находим математическое ожидание $M(Z)$:

$M(Z) = M(3X + Y) = M(3X) + M(Y) = 3 \cdot M(X) + M(Y)$

Подставляем известные значения $M(X) = 5$ и $M(Y) = 9$:

$M(Z) = 3 \cdot 5 + 9 = 15 + 9 = 24$

Ответ: 24

2) Z = 2X - Y + 5

Используя свойства 1, 2 и 3, находим математическое ожидание $M(Z)$:

$M(Z) = M(2X - Y + 5) = M(2X) - M(Y) + M(5) = 2 \cdot M(X) - M(Y) + 5$

Подставляем известные значения $M(X) = 5$ и $M(Y) = 9$:

$M(Z) = 2 \cdot 5 - 9 + 5 = 10 - 9 + 5 = 6$

Ответ: 6

3) Z = XY

Поскольку по условию случайные величины X и Y являются независимыми, мы можем использовать свойство 4:

$M(Z) = M(XY) = M(X) \cdot M(Y)$

Подставляем известные значения $M(X) = 5$ и $M(Y) = 9$:

$M(Z) = 5 \cdot 9 = 45$

Ответ: 45

53.5. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения вероятностей (табл. 38, 39):

Таблица 38

Таблица 39

Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $Z = X + Y$; 2) $Z = 2X + 3Y$; 3) $Z = X \cdot Y$.

Для решения задачи сначала найдем математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$ для заданных случайных величин X и Y. По условию, величины X и Y независимы.

Закон распределения для X:

$x_1 = 1$ с вероятностью $p_1 = 0,7$

$x_2 = 3$ с вероятностью $p_2 = 0,3$

Закон распределения для Y:

$y_1 = 2$ с вероятностью $q_1 = 0,6$

$y_2 = 4$ с вероятностью $q_2 = 0,4$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: $M(V) = \sum v_i p_i$.

Вычислим математическое ожидание для X:

$M(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 = 1 \cdot 0,7 + 3 \cdot 0,3 = 0,7 + 0,9 = 1,6$.

Вычислим математическое ожидание для Y:

$M(Y) = y_1 \cdot q_1 + y_2 \cdot q_2 = 2 \cdot 0,6 + 4 \cdot 0,4 = 1,2 + 1,6 = 2,8$.

Теперь, используя свойства математического ожидания, найдем $M(Z)$ для каждого случая.

1) Z = X + Y;

Для нахождения математического ожидания суммы случайных величин используется свойство аддитивности: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Это свойство справедливо для любых случайных величин.

$M(Z) = M(X + Y) = M(X) + M(Y)$

Подставляем ранее вычисленные значения $M(X)$ и $M(Y)$:

$M(Z) = 1,6 + 2,8 = 4,4$.

Ответ: $4,4$.

2) Z = 2X + 3Y;

Используем свойства линейности математического ожидания:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M(cX) = cM(X)$.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M(X+Y) = M(X)+M(Y)$.

Комбинируя эти свойства, получаем: $M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)$. В данном случае $a=2$ и $b=3$.

$M(Z) = M(2X + 3Y) = 2M(X) + 3M(Y)$

Подставляем значения $M(X)$ и $M(Y)$:

$M(Z) = 2 \cdot 1,6 + 3 \cdot 2,8 = 3,2 + 8,4 = 11,6$.

Ответ: $11,6$.

3) Z = X · Y.

Для нахождения математического ожидания произведения случайных величин используется следующее свойство: если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий.

$M(X \cdot Y) = M(X) \cdot M(Y)$

По условию задачи величины X и Y независимы, поэтому мы можем применить это свойство.

$M(Z) = M(X \cdot Y) = M(X) \cdot M(Y)$

Подставляем найденные значения:

$M(Z) = 1,6 \cdot 2,8 = 4,48$.

Ответ: $4,48$.

53.6. Найдите математическое ожидание и дисперсию, если закон распределения случайной величины задан таблицей 40.

Таблица 40

$X$: 3 4 6 7 8

$P$: 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины $X$ — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для вычисления:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

В качестве проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1,0$

Подставим значения из таблицы в формулу математического ожидания:

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 6 \cdot 0,4 + 7 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 0,8 + 2,4 + 1,4 + 0,8$

$M(X) = 5,7$

Ответ: математическое ожидание равно 5,7.

Дисперсия

Дисперсия $D(X)$ — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Удобная формула для вычисления дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,2 + 6^2 \cdot 0,4 + 7^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,2 + 36 \cdot 0,4 + 49 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 3,2 + 14,4 + 9,8 + 6,4 = 34,7$

Теперь, зная $M(X) = 5,7$ и $M(X^2) = 34,7$, можем вычислить дисперсию:

$D(X) = 34,7 - (5,7)^2 = 34,7 - 32,49 = 2,21$

Ответ: дисперсия равна 2,21.