Страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Почему при построении графиков обратных тригонометрических функций с помощью соответствующих тригонометрических функций рассматривают только их части?

2. Являются ли периодическими обратные тригонометрические функции?

1. Почему при построении графиков обратных тригонометрических функций с помощью соответствующих тригонометрических функций рассматривают только их части?

Для того чтобы у функции $f(x)$ существовала обратная функция $f^{-1}(x)$, необходимо, чтобы исходная функция была обратимой. Главное условие обратимости — функция должна быть монотонной на всей своей области определения, то есть строго возрастающей или строго убывающей. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений соответствует только одно значение $x$ из области определения (такие функции называют взаимно-однозначными).

Рассмотрим тригонометрические функции, например, $y = \sin(x)$. Эта функция является периодической с периодом $2\pi$ и не является монотонной на всей своей области определения (на всей числовой оси). Например, значению $y = 0.5$ соответствует бесконечное множество значений $x$: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ и так далее. Если бы мы попытались определить обратную функцию для всего синуса, то для одного значения $x$ (например, $x=0.5$) мы бы получили бесконечно много значений $y$, что противоречит определению функции.

Чтобы решить эту проблему и сделать возможным построение обратной функции, область определения исходной тригонометрической функции искусственно ограничивают. Выбирается такой промежуток, на котором функция монотонна и принимает все свои возможные значения. Этот промежуток называют промежутком главного значения.

Например:

• Для $y = \sin(x)$ выбирают промежуток монотонного возрастания $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке синус принимает все значения от $-1$ до $1$.
• Для $y = \cos(x)$ выбирают промежуток монотонного убывания $[0, \pi]$. На этом отрезке косинус принимает все значения от $1$ до $-1$.
• Для $y = \operatorname{tg}(x)$ выбирают промежуток монотонного возрастания $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• Для $y = \operatorname{ctg}(x)$ выбирают промежуток монотонного убывания $(0, \pi)$.

Таким образом, обратные тригонометрические функции (аркфункции) являются обратными не ко всей тригонометрической функции, а только к ее "части" — к функции, рассматриваемой на выбранном промежутке монотонности.

Ответ: Тригонометрические функции являются периодическими и, следовательно, не монотонными на всей области определения. Чтобы для них можно было построить обратные функции, их область определения ограничивают таким промежутком, на котором они ведут себя монотонно. Именно для этих "частей" и строятся обратные функции.

2. Являются ли периодическими обратные тригонометрические функции?

Нет, обратные тригонометрические функции не являются периодическими. Периодическая функция $f(x)$ по определению должна удовлетворять условию $f(x+T) = f(x)$ для некоторого числа $T \ne 0$ (периода) и для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим каждую из основных обратных тригонометрических функций:

• Функции $y = \arcsin(x)$ и $y = \arccos(x)$ определены на ограниченном промежутке $[-1, 1]$. Периодическая функция (за исключением константы) должна быть определена на бесконечном промежутке, чтобы ее значения могли повторяться. Так как область определения этих функций ограничена, они не могут быть периодическими.
• Функции $y = \operatorname{arctg}(x)$ и $y = \operatorname{arcctg}(x)$ определены на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$, поэтому теоретически они могли бы быть периодическими. Однако обе эти функции являются строго монотонными на всей своей области определения: арктангенс строго возрастает, а арккотангенс строго убывает. Строго монотонная функция принимает каждое свое значение только один раз, поэтому она не может повторять свои значения и, следовательно, не может быть периодической.

Таким образом, ни одна из обратных тригонометрических функций не удовлетворяет определению периодической функции.

Ответ: Нет, обратные тригонометрические функции не являются периодическими, так как они либо определены на ограниченном промежутке (арксинус, арккосинус), либо являются строго монотонными на всей области определения (арктангенс, арккотангенс) и не повторяют свои значения.

Найдите область определения функций (16.1–16.3):

16.1.1) $y = \arcsin(2x);$

2) $y = \arcsin(2x - 1);$

3) $y = 2\arcsin(2x + 1);$

4) $y = 2 - \arcsin(x + 2).$

16.1.1) $y = \arcsin(2x)$

Область определения функции $y = \arcsin(u)$ задается условием $|u| \le 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргументом арксинуса является выражение $2x$. Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство:

$-1 \le 2x \le 1$

Разделим все части этого неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, областью определения функции является отрезок $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

2) $y = \arcsin(2x - 1)$

Область определения функции арксинус требует, чтобы ее аргумент находился в пределах от -1 до 1 включительно. В данном случае аргумент равен $2x - 1$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$-1 \le 2x - 1 \le 1$

Прибавим ко всем частям неравенства 1:

$-1 + 1 \le 2x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le 2x \le 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$0 \le x \le 1$

Следовательно, областью определения функции является отрезок $[0; 1]$.

Ответ: $[0; 1]$

3) $y = 2\arcsin(2x + 1)$

Множитель 2 перед функцией арксинуса влияет на область значений функции, но не на ее область определения. Область определения зависит только от аргумента арксинуса, который должен быть в пределах от -1 до 1. Аргумент равен $2x + 1$.

$-1 \le 2x + 1 \le 1$

Вычтем из всех частей неравенства 1:

$-1 - 1 \le 2x + 1 - 1 \le 1 - 1$

$-2 \le 2x \le 0$

Разделим все части неравенства на 2:

$-1 \le x \le 0$

Таким образом, областью определения функции является отрезок $[-1; 0]$.

Ответ: $[-1; 0]$

4) $y = 2 - \arcsin(x + 2)$

Постоянное слагаемое 2 и знак минус перед функцией арксинуса не влияют на область определения. Она определяется только условием, накладываемым на аргумент функции $\arcsin$, который равен $x + 2$.

$-1 \le x + 2 \le 1$

Вычтем из всех частей неравенства 2:

$-1 - 2 \le x + 2 - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le x \le -1$

Следовательно, областью определения функции является отрезок $[-3; -1]$.

Ответ: $[-3; -1]$

16.2.1)

1) $y = \arccos3x;$ 2) $y = 2\arccos(2x - 1);$

3) $y = 2\arccos(2x + 3);$ 4) $y = 2-\arccos(x - 3).

1) $y = \arccos(3x)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $3x$, должен находиться в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-1 \le 3x \le 1$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$.

Найдем область значений функции. Стандартная функция $z = \arccos(t)$ имеет область значений $[0; \pi]$.

Когда $x$ пробегает все значения из области определения $[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$, выражение $3x$ пробегает все значения из отрезка $[-1; 1]$.

Следовательно, функция $y = \arccos(3x)$ принимает все значения из стандартной области значений для арккосинуса.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$. Область значений $E(y) = [0; \pi]$.

2) $y = 2\arccos(2x - 1)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $2x-1$, должен удовлетворять условию:

$-1 \le 2x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le 2x \le 1 + 1$

$0 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$0 \le x \le 1$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; 1]$.

Найдем область значений функции. Область значений функции $\arccos(t)$ есть отрезок $[0; \pi]$.

Значит, $0 \le \arccos(2x - 1) \le \pi$.

Умножим все части этого неравенства на 2:

$2 \cdot 0 \le 2\arccos(2x - 1) \le 2 \cdot \pi$

$0 \le y \le 2\pi$

Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; 2\pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; 1]$. Область значений $E(y) = [0; 2\pi]$.

3) $y = 2\arccos(2x + 3)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $2x+3$, должен удовлетворять условию:

$-1 \le 2x + 3 \le 1$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-1 - 3 \le 2x \le 1 - 3$

$-4 \le 2x \le -2$

Разделим все части на 2:

$-2 \le x \le -1$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-2; -1]$.

Найдем область значений функции. Область значений функции $\arccos(t)$ есть отрезок $[0; \pi]$.

Значит, $0 \le \arccos(2x + 3) \le \pi$.

Умножим все части этого неравенства на 2:

$2 \cdot 0 \le 2\arccos(2x + 3) \le 2 \cdot \pi$

$0 \le y \le 2\pi$

Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; 2\pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2; -1]$. Область значений $E(y) = [0; 2\pi]$.

4) $y = 2 - \arccos(x - 3)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $x-3$, должен удовлетворять условию:

$-1 \le x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x \le 1 + 3$

$2 \le x \le 4$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [2; 4]$.

Найдем область значений функции. Область значений для $\arccos(x-3)$ есть отрезок $[0; \pi]$:

$0 \le \arccos(x - 3) \le \pi$

Умножим неравенство на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-\pi \le -\arccos(x - 3) \le 0$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - \pi \le 2 - \arccos(x - 3) \le 2 + 0$

$2 - \pi \le y \le 2$

Таким образом, область значений функции $E(y) = [2 - \pi; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; 4]$. Область значений $E(y) = [2 - \pi; 2]$.

16.3.

1) $y = \operatorname{arctg}2x;$

2) $y = \operatorname{arctg}(2x - 1);$

3) $y = 2 \operatorname{arctg}(2x - 1);$

4) $y = 2 - \operatorname{arcctg}(x - 2).$

1) Найдем производную функции $y = \operatorname{arctg}(2x)$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной $y'$ мы используем цепное правило (производная сложной функции).

Пусть $u = 2x$. Тогда $y = \operatorname{arctg}(u)$.

Производная внешней функции по промежуточному аргументу $u$: $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1 + u^2}$.

Производная внутренней функции по $x$: $(2x)' = 2$.

По цепному правилу, производная $y'$ равна произведению производных внешней и внутренней функций:

$y' = (\operatorname{arctg}(2x))' = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1 + 4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

2) Найдем производную функции $y = \operatorname{arctg}(2x - 1)$, используя цепное правило.

Пусть $u = 2x - 1$. Тогда $y = \operatorname{arctg}(u)$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1 + u^2}$.

Производная внутренней функции: $(2x - 1)' = 2$.

Перемножаем производные:

$y' = (\operatorname{arctg}(2x - 1))' = \frac{1}{1 + (2x - 1)^2} \cdot (2x - 1)' = \frac{1}{1 + (4x^2 - 4x + 1)} \cdot 2 = \frac{2}{4x^2 - 4x + 2}$.

Сократив дробь на 2, получим окончательный вид:

$y' = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$.

3) Найдем производную функции $y = 2 \operatorname{arctg}(2x - 1)$. Используем правило для константы, умноженной на функцию, и цепное правило.

$y' = (2 \operatorname{arctg}(2x - 1))' = 2 \cdot (\operatorname{arctg}(2x - 1))'$.

Теперь найдем производную $(\operatorname{arctg}(2x - 1))'$. По цепному правилу:

$(\operatorname{arctg}(2x - 1))' = \frac{1}{1 + (2x - 1)^2} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{1 + (4x^2 - 4x + 1)} \cdot 2 = \frac{2}{4x^2 - 4x + 2} = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$.

Подставим это обратно в выражение для $y'$:

$y' = 2 \cdot \frac{1}{2x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{2x^2 - 2x + 1}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{2x^2 - 2x + 1}$.

4) Найдем производную функции $y = 2 - \operatorname{arcctg}(x - 2)$.

Используем правило дифференцирования разности: $y' = (2)' - (\operatorname{arcctg}(x - 2))'$.

Производная константы равна нулю: $(2)' = 0$.

Для нахождения производной $(\operatorname{arcctg}(x - 2))'$ используем цепное правило. Стандартная производная $(\operatorname{arcctg}(u))' = -\frac{1}{1 + u^2}$.

Пусть $u = x - 2$. Тогда $(u)' = (x - 2)' = 1$.

$(\operatorname{arcctg}(x - 2))' = -\frac{1}{1 + (x - 2)^2} \cdot (x - 2)' = -\frac{1}{1 + (x - 2)^2} \cdot 1 = -\frac{1}{1 + (x-2)^2}$.

Подставляем найденные производные в выражение для $y'$:

$y' = 0 - \left(-\frac{1}{1 + (x - 2)^2}\right) = \frac{1}{1 + (x - 2)^2}$.

Раскроем скобки в знаменателе для альтернативной формы ответа: $1 + (x - 2)^2 = 1 + x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 5$.

Ответ: $y' = \frac{1}{1 + (x - 2)^2}$ (или $y' = \frac{1}{x^2 - 4x + 5}$).

16.4. Докажите, что верно числовое равенство:

1) $ \arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} $;

2) $ \arcsin 1 + \arccos 0 = \pi $;

3) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} $;

4) $ \arcsin \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $.

1) Для доказательства равенства $arcsin1 + arccos1 = \frac{\pi}{2}$ вычислим значения каждого слагаемого в левой части. По определению арксинуса, $arcsin(x)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Следовательно, $arcsin1$ — это угол, синус которого равен 1, что соответствует $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arcsin1 = \frac{\pi}{2}$. По определению арккосинуса, $arccos(x)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$. Следовательно, $arccos1$ — это угол, косинус которого равен 1, что соответствует 0. Таким образом, $arccos1 = 0$. Подставим найденные значения в исходное выражение: $arcsin1 + arccos1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.

2) Для доказательства равенства $arcsin1 + arccos0 = \pi$ вычислим значения каждого слагаемого. Из предыдущего пункта известно, что $arcsin1 = \frac{\pi}{2}$. Теперь найдем $arccos0$. По определению, $arccos0$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 0. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arccos0 = \frac{\pi}{2}$. Подставим найденные значения: $arcsin1 + arccos0 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

3) Для доказательства равенства $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2}$ вычислим значения каждого слагаемого. По определению, $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$. По определению, $arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$. Сложим полученные значения: $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

4) Для доказательства равенства $arcsin\frac{1}{2} + arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$ вычислим значения каждого слагаемого. По определению, $arcsin\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. По определению, $arccos\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$. Сложим полученные значения: $arcsin\frac{1}{2} + arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

16.5. Найдите множество значений функции:

1) $y = -1 + \arccos(3x - 1);$

2) $y = \arcsin(2x - 1) + 1;$

3) $y = 2 - \arccos(2x + 3);$

4) $y = 2 - 2\arcsin(x - 3).$

1) Для нахождения множества значений функции $y = -1 + \arccos(3x - 1)$ воспользуемся свойством функции арккосинус, множество значений которой есть отрезок $[0, \pi]$. Это означает, что для любого $t$ из области определения функции $\arccos(t)$, выполняется неравенство $0 \le \arccos(t) \le \pi$. В нашем случае $t = 3x - 1$, поэтому $0 \le \arccos(3x - 1) \le \pi$. Далее, чтобы получить выражение для $y$, вычтем 1 из всех частей двойного неравенства: $0 - 1 \le \arccos(3x - 1) - 1 \le \pi - 1$. В результате получаем $-1 \le y \le \pi - 1$. Ответ: $E(y) = [-1, \pi - 1]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = \arcsin(2x - 1) + 1$ воспользуемся свойством функции арксинус, множество значений которой есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, для любого допустимого $x$ выполняется двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(2x - 1) \le \frac{\pi}{2}$. Чтобы из центральной части неравенства получить $y$, необходимо прибавить 1. Выполним это действие со всеми частями неравенства: $-\frac{\pi}{2} + 1 \le \arcsin(2x - 1) + 1 \le \frac{\pi}{2} + 1$. В результате получаем $1 - \frac{\pi}{2} \le y \le 1 + \frac{\pi}{2}$. Ответ: $E(y) = [1 - \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$.

3) Для нахождения множества значений функции $y = 2 - \arccos(2x + 3)$ воспользуемся свойством функции арккосинус, множество значений которой есть отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, $0 \le \arccos(2x + 3) \le \pi$. Преобразуем это неравенство. Сначала умножим все части на -1, что изменит знаки неравенства на противоположные: $0 \ge -\arccos(2x + 3) \ge -\pi$. Запишем это в стандартном виде: $-\pi \le -\arccos(2x + 3) \le 0$. Теперь, чтобы получить $y$, прибавим 2 ко всем частям: $2 - \pi \le 2 - \arccos(2x + 3) \le 2 + 0$. В результате получаем $2 - \pi \le y \le 2$. Ответ: $E(y) = [2 - \pi, 2]$.

4) Для нахождения множества значений функции $y = 2 - 2\arcsin(x - 3)$ воспользуемся свойством функции арксинус, множество значений которой есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x - 3) \le \frac{\pi}{2}$. Преобразуем это неравенство. Сначала умножим все части на -2. Так как множитель отрицательный, знаки неравенства изменятся на противоположные: $(-\frac{\pi}{2}) \cdot (-2) \ge -2\arcsin(x - 3) \ge (\frac{\pi}{2}) \cdot (-2)$, что равносильно $\pi \ge -2\arcsin(x - 3) \ge -\pi$. Запишем это в стандартном виде: $-\pi \le -2\arcsin(x - 3) \le \pi$. Теперь, чтобы получить $y$, прибавим 2 ко всем частям: $2 - \pi \le 2 - 2\arcsin(x - 3) \le 2 + \pi$. В результате получаем $2 - \pi \le y \le 2 + \pi$. Ответ: $E(y) = [2 - \pi, 2 + \pi]$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему значение $x_6 = 7$ из рассмотренного выше опыта является модой дискретной случайной величины $X$?

Модой (обозначается как $M_o$) дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Если рассматривать ряд данных, полученных в результате эксперимента, то модой будет то значение, которое встречается в этом ряду чаще всего, то есть имеет наибольшую частоту.

Вопрос утверждает, что значение $x_6 = 7$ является модой для случайной величины $X$ по результатам некоего "рассмотренного выше опыта". Хотя у нас нет данных этого опыта, мы можем объяснить, почему это утверждение является верным, исходя из определения моды.

Пусть случайная величина $X$ может принимать значения $x_1, x_2, ..., x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, ..., p_n$. Значение $x_k$ является модой, если его вероятность $p_k$ — максимальная среди всех вероятностей: $p_k = \max(p_1, p_2, ..., p_n)$.

В контексте эксперимента, проведенного некоторое количество раз, мы оперируем не теоретическими вероятностями, а наблюдаемыми частотами. Таким образом, утверждение, что $x_6 = 7$ является модой, означает, что в ходе "рассмотренного выше опыта" результат "7" был зафиксирован большее количество раз, чем любой другой возможный результат случайной величины $X$.

Например, если бы в опыте были получены следующие значения: {2, 5, 7, 4, 7, 8, 7}, то значение "7" встречается 3 раза, а все остальные значения — по одному разу. Поскольку частота появления "7" наивысшая, именно это значение и является модой данной выборки.

Ответ: Значение $x_6 = 7$ является модой дискретной случайной величины $X$, потому что по определению мода — это наиболее вероятное значение случайной величины. В контексте эксперимента это означает, что значение 7 встречалось чаще (имело наибольшую частоту) по сравнению со всеми другими возможными значениями, которые принимала случайная величина $X$.

1. Перечислите важные числовые характеристики дискретных случайных величин.

2. Какие данные нужны для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины $X$?

3. Что называется отклонением дискретной случайной величины?

4. Чем является мода дискретной случайной величины $X$?

1. Перечислите важные числовые характеристики дискретных случайных величин.К основным числовым характеристикам, которые описывают распределение дискретной случайной величины, относятся:

1. Математическое ожидание ($M(X)$ или $E(X)$) — это средневзвешенное значение всех возможных значений случайной величины, где в качестве весов выступают их вероятности. Оно характеризует центральную тенденцию или "центр тяжести" распределения.

2. Дисперсия ($D(X)$ или $Var(X)$) — это мера разброса или изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X) = M((X - M(X))^2)$.

3. Среднее квадратическое отклонение ($\sigma(X)$) — это корень квадратный из дисперсии ($\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$). Эта характеристика также показывает меру разброса, но, в отличие от дисперсии, выражается в тех же единицах, что и сама случайная величина, что делает её более наглядной.

4. Мода ($Mo(X)$) — это значение случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность появления.

Ответ: Важнейшие числовые характеристики дискретных случайных величин — это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и мода.

2. Какие данные нужны для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины X?Для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины $X$ необходимо знать её закон распределения вероятностей. Закон распределения — это соответствие между всеми возможными значениями, которые может принимать случайная величина, и их вероятностями. Обычно он задается в виде таблицы:

X: $x_1, x_2, ..., x_n$

P: $p_1, p_2, ..., p_n$

где $x_i$ — возможные значения величины $X$, а $p_i$ — соответствующие им вероятности, причём $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.Математическое ожидание вычисляется по формуле как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:$M(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Ответ: Для вычисления математического ожидания нужно знать все возможные значения, которые может принимать дискретная случайная величина, и соответствующие им вероятности.

3. Что называется отклонением дискретной случайной величины?Отклонением дискретной случайной величины $X$ от её математического ожидания $M(X)$ называется разность между значением, которое приняла случайная величина в результате испытания, и её математическим ожиданием. Если $X$ принимает значение $x_i$, то отклонение равно $x_i - M(X)$. Отклонение показывает, насколько конкретное значение случайной величины отличается от её среднего (ожидаемого) значения. Отклонение может быть положительным, если значение больше математического ожидания, отрицательным, если меньше, и равным нулю, если значение совпадает с математическим ожиданием. Сама разность $X - M(X)$ также является случайной величиной.

Ответ: Отклонением дискретной случайной величины называется разность между этой случайной величиной и её математическим ожиданием.

4. Чем является мода дискретной случайной величины X?Модой ($Mo(X)$) дискретной случайной величины $X$ называется её наиболее вероятное значение. Другими словами, это то значение, которое случайная величина принимает с наибольшей вероятностью по сравнению со всеми остальными возможными значениями. Если закон распределения задан таблицей, то мода — это то значение $x_k$, для которого соответствующая вероятность $p_k$ является максимальной.

У случайной величины может быть:

• одна мода (унимодальное распределение);

• две или более моды (мультимодальное распределение), если несколько значений имеют одинаковую максимальную вероятность;

• мода может отсутствовать, если все значения равновероятны (например, при броске игральной кости).

Ответ: Мода дискретной случайной величины X — это её значение, обладающее наибольшей вероятностью.