Страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.7.

1) $ \text{tg} \left( \text{arcctg} \frac{2}{3} \right); $

2) $ \text{ctg} \left( \text{arcctg} \left( -\frac{2}{3} \right) \right); $

3) $ \text{cos} \left( \text{arcctg} \frac{1}{6} \right); $

4) $ \text{sin} \left( \text{arcctg} \left( -\frac{2}{3} \right) \right). $

1) Пусть $ \alpha = \mathrm{arcctg}\left(\frac{2}{3}\right) $. По определению арккотангенса, это означает, что $ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{2}{3} $ и $ \alpha \in (0, \pi) $.

Нам нужно найти $ \mathrm{tg}(\alpha) $. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{1}{\mathrm{ctg}(\alpha)} $.

Подставим значение котангенса:

$ \mathrm{tg}\left(\mathrm{arcctg}\left(\frac{2}{3}\right)\right) = \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

2) По определению арккотангенса как обратной функции к котангенсу, для любого действительного числа $ x $ выполняется равенство $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(x)) = x $.

В данном случае $ x = -\frac{2}{3} $.

Следовательно, $ \mathrm{ctg}\left(\mathrm{arcctg}\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2}{3} $.

3) Пусть $ \alpha = \mathrm{arcctg}\left(\frac{1}{6}\right) $. Это значит, что $ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{1}{6} $ и $ \alpha \in (0, \pi) $.

Поскольку $ \mathrm{ctg}(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, то есть $ \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $. В этой четверти косинус положителен.

Воспользуемся тождеством $ 1 + \mathrm{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.

Сначала найдем тангенс: $ \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{1}{\mathrm{ctg}(\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 $.

Теперь подставим значение тангенса в тождество:

$ 1 + 6^2 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $

$ 1 + 36 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $

$ 37 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $

$ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{37} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos(\alpha) > 0 $, поэтому:

$ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{37}} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{37}}{37} $.

4) Пусть $ \alpha = \mathrm{arcctg}\left(-\frac{2}{3}\right) $. По определению, $ \mathrm{ctg}(\alpha) = -\frac{2}{3} $ и $ \alpha \in (0, \pi) $.

Так как $ \mathrm{ctg}(\alpha) < 0 $, угол $ \alpha $ находится во второй четверти, то есть $ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) $. В этой четверти синус положителен.

Воспользуемся тождеством $ 1 + \mathrm{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $.

Подставим значение котангенса:

$ 1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ 1 + \frac{4}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ \frac{9}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ \frac{13}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ \sin^2(\alpha) = \frac{9}{13} $.

Поскольку $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin(\alpha) > 0 $, поэтому:

$ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{13}}{13} $.

17.8.

1) $tg\left(\arccos \frac{2}{7}\right);$

2) $ctg\left(\arcsin \frac{2}{5}\right);$

3) $tg\left(\arcsin -\frac{1}{4}\right);$

4) $tg\left(\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right).$

1) $\text{tg}(\arccos\frac{2}{7})$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{2}{7}$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{2}{7}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Поскольку $\cos\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти: $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти тангенс неотрицателен ($\text{tg}\alpha \ge 0$).

Воспользуемся тригонометрической формулой $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Отсюда $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(\frac{2}{7})^2} - 1 = \frac{1}{\frac{4}{49}} - 1 = \frac{49}{4} - 1 = \frac{45}{4}$.

Так как $\text{tg}\alpha \ge 0$, получаем $\text{tg}\alpha = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

2) $\text{ctg}(\arcsin\frac{2}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{2}{5}$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{2}{5}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\sin\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти: $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти котангенс неотрицателен ($\text{ctg}\alpha \ge 0$).

Воспользуемся тригонометрической формулой $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Отсюда $\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(\frac{2}{5})^2} - 1 = \frac{1}{\frac{4}{25}} - 1 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4}$.

Так как $\text{ctg}\alpha \ge 0$, получаем $\text{ctg}\alpha = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{2}$.

3) $\text{tg}(\arcsin\frac{1}{4})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{4}$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\sin\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти: $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Для нахождения тангенса нам нужен косинус. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

В первой четверти косинус неотрицателен ($\cos\alpha \ge 0$), поэтому $\cos\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Теперь найдем тангенс: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{15}$.

4) $\text{tg}(\arccos(-\frac{2}{3}))$

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{2}{3})$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = -\frac{2}{3}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Поскольку $\cos\alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти: $\frac{\pi}{2} < \alpha \le \pi$. В этой четверти тангенс отрицателен ($\text{tg}\alpha < 0$).

Воспользуемся тригонометрической формулой $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Отсюда $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(-\frac{2}{3})^2} - 1 = \frac{1}{\frac{4}{9}} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$.

Так как $\text{tg}\alpha < 0$, выбираем отрицательное значение корня: $\text{tg}\alpha = -\sqrt{\frac{5}{4}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

17.9. 1) $ \arcsin(\sin20^\circ); $

2) $ \arcsin(\sin(-40^\circ)); $

3) $ \arccos(\cos10^\circ); $

4) $ \arccos(\cos(-70^\circ)). $

1) По определению арксинуса, $arcsin(\sin(\alpha)) = \alpha$ при условии, что $\alpha$ принадлежит отрезку $[-90^\circ; 90^\circ]$. В данном случае угол равен $20^\circ$. Так как $-90^\circ \le 20^\circ \le 90^\circ$, то данное равенство справедливо.

$arcsin(\sin(20^\circ)) = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$.

2) Область значений функции арксинус — это отрезок $[-90^\circ; 90^\circ]$. Мы должны проверить, попадает ли угол $-40^\circ$ в этот промежуток. Так как $-90^\circ \le -40^\circ \le 90^\circ$, то по определению арксинуса:

$arcsin(\sin(-40^\circ)) = -40^\circ$.

Ответ: $-40^\circ$.

3) По определению арккосинуса, $arccos(\cos(\alpha)) = \alpha$ при условии, что $\alpha$ принадлежит отрезку $[0^\circ; 180^\circ]$. Угол $10^\circ$ удовлетворяет этому условию, так как $0^\circ \le 10^\circ \le 180^\circ$.

Следовательно, $arccos(\cos(10^\circ)) = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.

4) Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0^\circ; 180^\circ]$. Угол $-70^\circ$ не принадлежит этому отрезку, поэтому мы не можем применить тождество напрямую. Нам необходимо найти такой угол $\beta$ из отрезка $[0^\circ; 180^\circ]$, для которого $\cos(\beta) = \cos(-70^\circ)$.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Таким образом, $\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)$.

Теперь исходное выражение можно переписать как $arccos(\cos(70^\circ))$.

Угол $70^\circ$ принадлежит отрезку $[0^\circ; 180^\circ]$, поэтому $arccos(\cos(70^\circ)) = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

17.10. Может ли $ \arcsin x $ принимать значение:

1) 0;

2) 1;

3) $ -\frac{\pi}{4} $;

4) $ -\frac{3\pi}{4} $;

5) 1,7;

6) -1,4?

По определению, арксинус числа $x$ (обозначается $\arcsin x$) — это угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Таким образом, область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Чтобы ответить на вопрос, может ли $\arcsin x$ принимать указанные значения, необходимо проверить, принадлежит ли каждое значение этому отрезку. Для удобства сравнения воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14159$. Тогда отрезок значений $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ примерно равен $[-1,57; 1,57]$.

1) 0;

Значение 0 принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \le 0 \le \frac{\pi}{2}$. Например, $\arcsin 0 = 0$.

Ответ: да, может.

2) 1;

Значение 1 принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, то выполняется неравенство $-\frac{\pi}{2} \le 1 \le \frac{\pi}{2}$.

Ответ: да, может.

3) $-\frac{\pi}{4}$;

Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как выполняется неравенство $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

Ответ: да, может.

4) $-\frac{3\pi}{4}$;

Значение $-\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поскольку $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$ (или $-0,75\pi < -0,5\pi$).

Ответ: нет, не может.

5) 1,7;

Значение 1,7 не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, то $1,7 > \frac{\pi}{2}$.

Ответ: нет, не может.

6) -1,4?

Значение -1,4 принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$, то выполняется неравенство $-\frac{\pi}{2} \le -1,4 \le \frac{\pi}{2}$.

Ответ: да, может.

17.11. Может ли $\arccos x$ принимать значение:

1) -1;

2) 0;

3) $-\frac{2\pi}{5}$;

4) $-\frac{\pi}{4}$;

5) 1,9;

6) 1,3?

По определению, областью значений функции арккосинус, $y = \arccos{x}$, является отрезок $[0; \pi]$. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ (то есть $x \in [-1; 1]$), значение $\arccos{x}$ должно удовлетворять неравенству $0 \le \arccos{x} \le \pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, мы можем проверить, попадает ли каждое из предложенных значений в этот диапазон.

1) -1;

Значение $-1$ является отрицательным числом, а все значения функции арккосинус неотрицательны. Поскольку $-1 < 0$, оно не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: не может.

2) 0;

Значение $0$ является нижней границей отрезка $[0; \pi]$ и, следовательно, принадлежит ему. Например, $\arccos(1) = 0$.

Ответ: может.

3) $-\frac{2\pi}{5};$

Значение $-\frac{2\pi}{5}$ является отрицательным числом, поэтому оно не может быть значением арккосинуса, так как не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: не может.

4) $\frac{\pi}{4};$

Значение $\frac{\pi}{4}$ удовлетворяет неравенству $0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi$, поэтому оно принадлежит области значений арккосинуса. Например, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: может.

5) 1,9;

Чтобы определить, может ли арккосинус принимать значение $1,9$, нужно проверить, принадлежит ли $1,9$ отрезку $[0; \pi]$.Так как $0 < 1,9$ и $\pi \approx 3,14159$, то $1,9 < \pi$.Таким образом, неравенство $0 \le 1,9 \le \pi$ выполняется, и значение $1,9$ входит в область значений арккосинуса.

Ответ: может.

6) 1,3?

Рассмотрим значение $1,3$ (игнорируя вопросительный знак). Проверим, принадлежит ли оно отрезку $[0; \pi]$.Так как $0 < 1,3$ и $\pi \approx 3,14159$, то $1,3 < \pi$.Таким образом, неравенство $0 \le 1,3 \le \pi$ выполняется, и значение $1,3$ входит в область значений арккосинуса.

Ответ: может.

17.12. Может ли $arctg x$ принимать значение:

1) 0;

2) 1,4;

3) $-\frac{\pi}{3}$;

4) $-\frac{\pi}{2}$;

5) -1,7;

6) -12?

По определению, арктангенс ($y = \operatorname{arctg} x$) — это функция, обратная к тангенсу ($x = \operatorname{tg} y$), область значений которой — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, принадлежит ли каждое из предложенных значений этому интервалу. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Таким образом, область значений функции $\operatorname{arctg} x$ — это интервал $(-1,5708; 1,5708)$.

1) 0

Значение 0 находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$. Например, $\operatorname{arctg} 0 = 0$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ может принимать значение 0.

Ответ: да.

2) 1,4

Сравним значение 1,4 с границами интервала. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Так как $-1,5708 < 1,4 < 1,5708$, то значение 1,4 принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ может принимать значение 1,4.

Ответ: да.

3) $-\frac{\pi}{3}$

Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Первая часть неравенства $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3}$ верна, так как это эквивалентно $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Вторая часть $-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ также верна, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Например, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ может принимать значение $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: да.

4) $-\frac{\pi}{2}$

Область значений функции $\operatorname{arctg} x$ — это строгий (открытый) интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что означает, что концы интервала, $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$, не включаются в область значений. Функция $\operatorname{arctg} x$ асимптотически приближается к $-\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$, но никогда не достигает этого значения. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ не может принимать значение $-\frac{\pi}{2}$.

Ответ: нет.

5) -1,7

Сравним значение -1,7 с нижней границей интервала. Мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} \approx -1,5708$. Так как $-1,7 < -1,5708$, то значение -1,7 не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ не может принимать значение -1,7.

Ответ: нет.

6) -12

Сравним значение -12 с нижней границей интервала $-\frac{\pi}{2} \approx -1,5708$. Очевидно, что $-12 < -1,5708$. Значение -12 не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ не может принимать значение -12.

Ответ: нет.

17.13. Может ли $\operatorname{arcctg}x$ принимать значение:

1) 0;

2) 1,4;

3) $ -\frac{\pi}{3} $;

4) $ -\frac{\pi}{2} $;

5) -1,7;

6) 1,2?

Для решения этой задачи необходимо знать область значений функции арккотангенс. Функция $y = \text{arcctg}(x)$ определена для всех действительных чисел $x$ (область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$), а её область значений — это интервал $E(y) = (0; \pi)$.

Это означает, что любое значение, которое может принимать $\text{arcctg}(x)$, должно быть строго больше 0 и строго меньше $\pi$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Проверим каждое из предложенных значений:

1) 0;

Значение 0 является нижней границей области значений $(0; \pi)$, но не входит в нее, так как интервал открытый. Функция $\text{arcctg}(x)$ может сколь угодно близко приближаться к 0 (при $x \to +\infty$), но никогда не достигает этого значения. Следовательно, $\text{arcctg}(x)$ не может быть равен 0.

Ответ: нет.

2) 1,4;

Проверим, находится ли значение 1,4 внутри интервала $(0; \pi)$. Так как $0 < 1,4$ и $1,4 < \pi$ (поскольку $\pi \approx 3,14$), то неравенство $0 < 1,4 < \pi$ верно. Следовательно, существует такое значение $x$, что $\text{arcctg}(x) = 1,4$.

Ответ: да.

3) $-\frac{\pi}{3}$;

Значение $-\frac{\pi}{3}$ является отрицательным числом. Область значений функции $\text{arcctg}(x)$ — это интервал $(0; \pi)$, который содержит только положительные числа. Следовательно, $\text{arcctg}(x)$ не может принимать отрицательные значения.

Ответ: нет.

4) $-\frac{\pi}{2}$;

Аналогично предыдущему пункту, значение $-\frac{\pi}{2}$ отрицательное. Оно не попадает в интервал $(0; \pi)$.

Ответ: нет.

5) -1,7;

Значение -1,7 также является отрицательным и не может быть значением функции $\text{arcctg}(x)$, так как все её значения лежат в интервале $(0; \pi)$.

Ответ: нет.

6) 1,2?

Проверим, принадлежит ли значение 1,2 интервалу $(0; \pi)$. Неравенство $0 < 1,2 < \pi$ является верным, так как $1,2 < 3,14159...$. Это означает, что существует такое $x$, для которого $\text{arcctg}(x) = 1,2$.

Ответ: да.

17.14. При каких значениях параметра $a$ имеет смысл выражение:

1) $\arcsin(2 - a)$;

2) $\arcsin(2a - 3)$;

3) $\arcsin(a^2 - 3)$;

4) $\arccos(2a + 4)$;

5) $\arccos(2a - 7)$;

6) $\arccos(2a^2 - 5)$?

1) Выражение $\arcsin(2 - a)$ имеет смысл, когда его аргумент $2 - a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это приводит к двойному неравенству:

$-1 \le 2 - a \le 1$

Решим это неравенство. Вычтем $2$ из всех частей:

$-1 - 2 \le -a \le 1 - 2$

$-3 \le -a \le -1$

Умножим все части на $-1$ и изменим знаки неравенства на противоположные:

$3 \ge a \ge 1$

Что эквивалентно $1 \le a \le 3$.

Ответ: $[1; 3]$.

2) Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$. Для выражения $\arcsin(2a - 3)$ получаем неравенство:

$-1 \le 2a - 3 \le 1$

Прибавим $3$ ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le 2a \le 1 + 3$

$2 \le 2a \le 4$

Разделим все части на $2$:

$1 \le a \le 2$

Ответ: $[1; 2]$.

3) Выражение $\arcsin(a^2 - 3)$ имеет смысл, когда его аргумент $a^2 - 3$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le a^2 - 3 \le 1$

Прибавим $3$ ко всем частям:

$2 \le a^2 \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 \ge 2 \\ a^2 \le 4 \end{cases}$

Решение первого неравенства $a^2 \ge 2$ есть $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решение второго неравенства $a^2 \le 4$ есть $-2 \le a \le 2$, то есть $a \in [-2; 2]$.

Найдём пересечение этих двух множеств: $a \in ([-2; 2]) \cap ((-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty))$.

Ответ: $[-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

4) Областью определения функции $y = \arccos(x)$ является отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для выражения $\arccos(2a + 4)$ должно выполняться условие:

$-1 \le 2a + 4 \le 1$

Вычтем $4$ из всех частей неравенства:

$-1 - 4 \le 2a \le 1 - 4$

$-5 \le 2a \le -3$

Разделим все части на $2$:

$-\frac{5}{2} \le a \le -\frac{3}{2}$

В виде десятичных дробей это $-2,5 \le a \le -1,5$.

Ответ: $[-2,5; -1,5]$.

5) Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$. Для выражения $\arccos(2a - 7)$ получаем неравенство:

$-1 \le 2a - 7 \le 1$

Прибавим $7$ ко всем частям:

$-1 + 7 \le 2a \le 1 + 7$

$6 \le 2a \le 8$

Разделим все части на $2$:

$3 \le a \le 4$

Ответ: $[3; 4]$.

6) Выражение $\arccos(2a^2 - 5)$ имеет смысл, когда его аргумент $2a^2 - 5$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le 2a^2 - 5 \le 1$

Прибавим $5$ ко всем частям:

$4 \le 2a^2 \le 6$

Разделим все части на $2$:

$2 \le a^2 \le 3$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} a^2 \ge 2 \\ a^2 \le 3 \end{cases}$

Решение первого неравенства $a^2 \ge 2$: $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решение второго неравенства $a^2 \le 3$: $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$, то есть $a \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Пересечение этих множеств $a \in ([-\sqrt{3}; \sqrt{3}]) \cap ((-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty))$ даёт итоговый результат.

Ответ: $[-\sqrt{3}; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \sqrt{3}]$.

Найдите значения выражений (17.15–17.17):

17.15. 1) $ \arcsin(\sin 1.2) $; 2) $ \arcsin(\sin 2) $

3) $ \arcsin(\sin 6) $; 4) $ \arcsin(\sin 20) $

Для нахождения значения выражения `arcsin(sin(x))` необходимо помнить, что область значений функции арксинус — это отрезок `[-π/2, π/2]`. Тождество `arcsin(sin(x)) = x` справедливо только в том случае, если `x` принадлежит этому отрезку. Если `x` находится за пределами этого отрезка, мы должны найти такой эквивалентный угол `y`, который лежит в диапазоне `[-π/2, π/2]` и для которого `sin(y) = sin(x)`. Это можно сделать, используя свойства функции синус: `sin(x) = sin(x + 2πk)` и `sin(x) = sin(π - x)` для любого целого `k`. Комбинируя их, мы получаем два семейства решений для `sin(y) = sin(x)`: `y = x + 2πk` и `y = π - x + 2πk`. Нам нужно найти такое целое число `k`, чтобы `y` попадал в требуемый диапазон `[-π/2, π/2]`. Будем использовать приближение `π ≈ 3,14159`, следовательно `π/2 ≈ 1,5708`.

1) arcsin(sin1,2)

Значение `x = 1,2` необходимо сравнить с областью значений функции арксинус, которая равна `[-π/2, π/2]`. Приближенно `π/2 ≈ 1,57`. Проверяем неравенство: `-1,57 ≤ 1,2 ≤ 1,57`. Это неравенство верно. Поскольку аргумент `1,2` находится в пределах области главных значений функции арксинус, тождество `arcsin(sin(x)) = x` применимо напрямую. Следовательно, `arcsin(sin1,2) = 1,2`.

Ответ: $1,2$

2) arcsin(sin2)

Значение `x = 2` находится вне отрезка `[-π/2, π/2]`, так как `2 > π/2 ≈ 1,57`. Нам нужно найти число `y` из отрезка `[-π/2, π/2]` такое, что `sin(y) = sin(2)`. Воспользуемся тождеством `sin(x) = sin(π - x)`. Рассмотрим `y = π - 2`. Проверим, принадлежит ли это значение отрезку `[-π/2, π/2]`. `π - 2 ≈ 3,14 - 2 = 1,14`. Неравенство `-π/2 ≤ π - 2 ≤ π/2` является верным, так как `-1,57 ≤ 1,14 ≤ 1,57`. Таким образом, `arcsin(sin2) = arcsin(sin(π - 2)) = π - 2`.

Ответ: $π - 2$

3) arcsin(sin6)

Значение `x = 6` находится вне отрезка `[-π/2, π/2]`, так как `6 > π/2 ≈ 1,57`. Нам нужно найти число `y` из отрезка `[-π/2, π/2]` такое, что `sin(y) = sin(6)`. Будем искать `y` в виде `y = 6 + 2πk` или `y = π - 6 + 2πk` для некоторого целого `k`. Рассмотрим первую форму: `y = 6 + 2πk`. Найдем такое целое `k`, что `-π/2 ≤ 6 + 2πk ≤ π/2`. Вычтем 6 из всех частей: `-6 - π/2 ≤ 2πk ≤ -6 + π/2`. Разделим на `2π`: `-3/π - 1/4 ≤ k ≤ -3/π + 1/4`. Используя `π ≈ 3,14`, получаем `-3/3,14 - 0,25 ≤ k ≤ -3/3,14 + 0,25`, что равносильно `-0,955 - 0,25 ≤ k ≤ -0,955 + 0,25`, или `-1,205 ≤ k ≤ -0,705`. Единственное целое число `k` в этом интервале — это `k = -1`. При `k = -1` получаем `y = 6 + 2π(-1) = 6 - 2π`. Это значение `6 - 2π ≈ 6 - 6,28 = -0,28` действительно принадлежит отрезку `[-1,57, 1,57]`. Следовательно, `arcsin(sin6) = 6 - 2π`.

Ответ: $6 - 2π$

4) arcsin(sin20)

Значение `x = 20` находится вне отрезка `[-π/2, π/2]`. Нам нужно найти число `y` из отрезка `[-π/2, π/2]` такое, что `sin(y) = sin(20)`. Будем искать `y` в виде `y = 20 + 2πk` или `y = π - 20 + 2πk` для некоторого целого `k`. Рассмотрим первую форму: `y = 20 + 2πk`. Найдем такое целое `k`, что `-π/2 ≤ 20 + 2πk ≤ π/2`. Вычтем 20 из всех частей: `-20 - π/2 ≤ 2πk ≤ -20 + π/2`. Разделим на `2π`: `-10/π - 1/4 ≤ k ≤ -10/π + 1/4`. Используя `π ≈ 3,14`, получаем `-10/3,14 - 0,25 ≤ k ≤ -10/3,14 + 0,25`, что равносильно `-3,18 - 0,25 ≤ k ≤ -3,18 + 0,25`, или `-3,43 ≤ k ≤ -2,93`. Единственное целое число `k` в этом интервале — это `k = -3`. При `k = -3` получаем `y = 20 + 2π(-3) = 20 - 6π`. Это значение `20 - 6π ≈ 20 - 6 · 3,1416 = 20 - 18,8496 = 1,1504` действительно принадлежит отрезку `[-1,57, 1,57]`. Проверим вторую форму: `y = π - 20 + 2πk`. Нам нужно, чтобы `-π/2 ≤ π - 20 + 2πk ≤ π/2`. Прибавим `20 - π` ко всем частям: `20 - 3π/2 ≤ 2πk ≤ 20 - π/2`. Разделим на `2π`: `10/π - 3/4 ≤ k ≤ 10/π - 1/4`. Это `3,18 - 0,75 ≤ k ≤ 3,18 - 0,25`, или `2,43 ≤ k ≤ 2,93`. В этом интервале нет целых чисел `k`. Таким образом, единственное подходящее значение — это `20 - 6π`. Следовательно, `arcsin(sin20) = 20 - 6π`.

Ответ: $20 - 6π$

17.16. 1) $ \arccos(\cos 1,1); $

2) $ \arccos(\cos 2); $

3) $ \arccos(\cos 6); $

4) $ \arccos(\cos 20). $

1) arccos(cos1,1)

По определению, функция арккосинус $arccos(y)$ возвращает угол $x$ в диапазоне $[0; \pi]$ такой, что $cos(x) = y$. Следовательно, тождество $arccos(cos(x)) = x$ справедливо только для тех $x$, которые принадлежат отрезку $[0; \pi]$. В данном случае $x = 1,1$. Оценим, попадает ли это значение в указанный диапазон. Приблизительное значение $\pi \approx 3,14159$. Неравенство $0 \le 1,1 \le \pi$ является верным. Поэтому, $arccos(cos(1,1)) = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

2) arccos(cos2)

Как и в предыдущем примере, мы должны проверить, принадлежит ли аргумент косинуса, $x=2$, отрезку $[0; \pi]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $0 \le 2 \le \pi$. Так как условие выполняется, то $arccos(cos(2)) = 2$.

Ответ: $2$.

3) arccos(cos6)

Аргумент косинуса $x = 6$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$, так как $6 > \pi \approx 3,14159$. Нам необходимо найти такое число $y \in [0; \pi]$, для которого выполняется равенство $cos(y) = cos(6)$. Воспользуемся свойствами функции косинус: она является четной ($cos(-a) = cos(a)$) и периодической с периодом $2\pi$ ($cos(a) = cos(a + 2k\pi)$, где $k$ — любое целое число). Из этих свойств следует, что решения уравнения $cos(y) = cos(x)$ можно записать в виде $y = \pm x + 2k\pi$. Нам нужно найти такое целое число $k$ и выбрать знак, чтобы значение $y$ попало в отрезок $[0; \pi]$. Подставим $x = 6$: $y = \pm 6 + 2k\pi$. Рассмотрим вариант $y = -6 + 2k\pi$. Чтобы $y$ было близко к отрезку $[0; \pi]$, значение $2k\pi$ должно быть близко к 6. Так как $2\pi \approx 6,283$, подходящим значением является $k=1$. При $k=1$ получаем: $y = 2\pi - 6$. Оценим полученное значение: $y = 2\pi - 6 \approx 6,283 - 6 = 0,283$. Значение $0,283$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Таким образом, мы нашли искомое значение.

Ответ: $2\pi - 6$.

4) arccos(cos20)

Аргумент косинуса $x = 20$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Мы ищем такое число $y \in [0; \pi]$, что $cos(y) = cos(20)$. Общая формула для $y$: $y = \pm 20 + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Нам нужно найти $k$ и знак, при которых $0 \le y \le \pi$. Найдем, какой из "оборотов" ($2k\pi$) находится ближе всего к 20. Для этого разделим 20 на $2\pi$: $20 / (2\pi) = 10/\pi \approx 10 / 3,14159 \approx 3,18$. Это означает, что 20 находится близко к $3 \times (2\pi) = 6\pi$. Проверим вариант $y = 20 - 2k\pi$. При $k=3$ получаем: $y = 20 - 6\pi$. Оценим это значение: $y = 20 - 6\pi \approx 20 - 6 \times 3,14159 = 20 - 18,84954 = 1,15046$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le 1,15046 \le \pi$, значит, это правильный ответ. Для полноты решения можно проверить другие варианты. Например, $y = -20 + 2k\pi$. При $k=3$ $y = -20 + 6\pi \approx -1,15$, что не входит в $[0; \pi]$. При $k=4$ $y = -20+8\pi \approx -20+25,13 = 5,13$, что больше $\pi$. Значит, единственное подходящее решение — это $20 - 6\pi$.

Ответ: $20 - 6\pi$.

17.17. 1) $ \text{arctg}(\text{tg}1,2); $

2) $ \text{arctg}(\text{tg}5); $

3) $ \text{arcctg}(\text{ctg}6); $

4) $ \text{arcctg}(\text{ctg}10). $

1) По определению, область значений функции арктангенс $y = \operatorname{arctg}(x)$ – это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha)) = \alpha$ справедливо только для $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Таким образом, интервал, которому должен принадлежать аргумент, это $(-1,5708; 1,5708)$. Число $1,2$ принадлежит этому интервалу, так как $-1,5708 < 1,2 < 1,5708$. Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(1,2)) = 1,2$.

Ответ: $1,2$.

2) Область значений функции арктангенс – это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Число $5$ не принадлежит этому интервалу, так как $5 > \frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Мы должны найти такое число $\alpha'$, что $\alpha' \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $\operatorname{tg}(\alpha') = \operatorname{tg}(5)$. Так как тангенс – периодическая функция с периодом $\pi$, то $\operatorname{tg}(\alpha) = \operatorname{tg}(\alpha - k\pi)$ для любого целого $k$. Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы выполнялось неравенство: $-\frac{\pi}{2} < 5 - k\pi < \frac{\pi}{2}$. Преобразуем неравенство: $k\pi - \frac{\pi}{2} < 5 < k\pi + \frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $k - \frac{1}{2} < \frac{5}{\pi} < k + \frac{1}{2}$. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{5}{\pi} \approx 1,5915$. Неравенство $k - 0,5 < 1,5915 < k + 0,5$ выполняется при $k=2$. Таким образом, искомое значение равно $5 - 2\pi$.

Ответ: $5 - 2\pi$.

3) По определению, область значений функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg}(x)$ – это интервал $(0; \pi)$. Тождество $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\alpha)) = \alpha$ справедливо только для $\alpha \in (0; \pi)$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Интервал $(0; \pi)$ примерно равен $(0; 3,14159)$. Число $6$ не принадлежит этому интервалу. Мы должны найти такое число $\alpha'$, что $\alpha' \in (0; \pi)$ и $\operatorname{ctg}(\alpha') = \operatorname{ctg}(6)$. Так как котангенс – периодическая функция с периодом $\pi$, то $\operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha - k\pi)$ для любого целого $k$. Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы выполнялось неравенство: $0 < 6 - k\pi < \pi$. Преобразуем неравенство: $k\pi < 6 < k\pi + \pi$, что эквивалентно $k < \frac{6}{\pi} < k + 1$. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{6}{\pi} \approx 1,9098$. Неравенство $k < 1,9098 < k + 1$ выполняется при $k=1$. Таким образом, искомое значение равно $6 - \pi$.

Ответ: $6 - \pi$.

4) Область значений функции арккотангенс – это интервал $(0; \pi) \approx (0; 3,14159)$. Число $10$ не принадлежит этому интервалу. Мы должны найти такое число $\alpha'$, что $\alpha' \in (0; \pi)$ и $\operatorname{ctg}(\alpha') = \operatorname{ctg}(10)$. Используя периодичность котангенса (период равен $\pi$), мы ищем целое число $k$, для которого $10 - k\pi$ попадает в нужный интервал. Неравенство: $0 < 10 - k\pi < \pi$. Преобразуем его: $k\pi < 10 < k\pi + \pi$, что эквивалентно $k < \frac{10}{\pi} < k + 1$. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{10}{\pi} \approx 3,183$. Неравенство $k < 3,183 < k + 1$ выполняется при $k=3$. Таким образом, искомое значение равно $10 - 3\pi$.

Ответ: $10 - 3\pi$.