Страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

54.7. 1) Найдите вероятность того, что при 8 бросках игральной кости, 2 очка выпадут не более трех раз.

2) Найдите вероятность того, что при 10 бросках игральной кости, 4 очка выпадут не более двух раз.

1)Эта задача решается с использованием формулы Бернулли для серии независимых испытаний. У нас есть $n=8$ бросков игральной кости. "Успехом" будем считать выпадение 2 очков.

Вероятность "успеха" в одном испытании (броске) $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность "неудачи" (выпадение любой другой грани) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Нам нужно найти вероятность того, что 2 очка выпадут не более трех раз. Это означает, что число "успехов" $k$ может быть равно 0, 1, 2 или 3. Искомая вероятность $P(k \le 3)$ равна сумме вероятностей этих событий:

$P_8(k \le 3) = P_8(0) + P_8(1) + P_8(2) + P_8(3)$.

Вероятность $k$ успехов в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

Вычислим каждую вероятность:

$P_8(0) = C_8^0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{8-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^8 = \frac{5^8}{6^8}$

$P_8(1) = C_8^1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{8-1} = 8 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^7 = \frac{8 \cdot 5^7}{6^8}$

$P_8(2) = C_8^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^{8-2} = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^6 = \frac{28 \cdot 5^6}{6^8}$

$P_8(3) = C_8^3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^{8-3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^5 = \frac{56 \cdot 5^5}{6^8}$

Теперь сложим эти вероятности:

$P_8(k \le 3) = \frac{5^8}{6^8} + \frac{8 \cdot 5^7}{6^8} + \frac{28 \cdot 5^6}{6^8} + \frac{56 \cdot 5^5}{6^8} = \frac{5^8 + 8 \cdot 5^7 + 28 \cdot 5^6 + 56 \cdot 5^5}{6^8}$

Вынесем общий множитель $5^5$ в числителе:

$P_8(k \le 3) = \frac{5^5 (5^3 + 8 \cdot 5^2 + 28 \cdot 5 + 56)}{6^8} = \frac{5^5 (125 + 8 \cdot 25 + 140 + 56)}{6^8}$

$P_8(k \le 3) = \frac{5^5 (125 + 200 + 140 + 56)}{6^8} = \frac{3125 \cdot 521}{1679616} = \frac{1628125}{1679616}$

Ответ: $ \frac{1628125}{1679616} $

2)Эта задача также решается с помощью формулы Бернулли. Здесь проводится $n=10$ бросков игральной кости. "Успехом" будем считать выпадение 4 очков.

Вероятность "успеха" в одном броске $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность "неудачи" $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.

Нам нужно найти вероятность того, что 4 очка выпадут не более двух раз. Это означает, что число "успехов" $k$ может быть равно 0, 1 или 2. Искомая вероятность $P(k \le 2)$ равна сумме вероятностей этих событий:

$P_{10}(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$.

Используем ту же формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Вычислим каждую вероятность:

$P_{10}(0) = C_{10}^0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^{10} = \frac{5^{10}}{6^{10}}$

$P_{10}(1) = C_{10}^1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{10-1} = 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^9 = \frac{10 \cdot 5^9}{6^{10}}$

$P_{10}(2) = C_{10}^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^{10-2} = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = \frac{45 \cdot 5^8}{6^{10}}$

Сложим эти вероятности:

$P_{10}(k \le 2) = \frac{5^{10}}{6^{10}} + \frac{10 \cdot 5^9}{6^{10}} + \frac{45 \cdot 5^8}{6^{10}} = \frac{5^{10} + 10 \cdot 5^9 + 45 \cdot 5^8}{6^{10}}$

Вынесем общий множитель $5^8$ в числителе:

$P_{10}(k \le 2) = \frac{5^8 (5^2 + 10 \cdot 5 + 45)}{6^{10}} = \frac{5^8 (25 + 50 + 45)}{6^{10}}$

$P_{10}(k \le 2) = \frac{5^8 \cdot 120}{6^{10}} = \frac{5^8 \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5)}{(2 \cdot 3)^{10}} = \frac{5^9 \cdot 2^3 \cdot 3}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{5^9}{2^7 \cdot 3^9}$

Вычислим числитель и знаменатель:

$5^9 = 1953125$

$2^7 \cdot 3^9 = 128 \cdot 19683 = 2519424$

Таким образом, $P_{10}(k \le 2) = \frac{1953125}{2519424}$

Ответ: $ \frac{1953125}{2519424} $

54.8. Вероятность появления события А в испытании равна 0,25. Испытания повторяли независимым образом десять раз. Найдите вероятность того, что событие А появится не более двух раз.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя исходами (событие А произошло или не произошло) и постоянной вероятностью успеха.

Введем обозначения:

$n = 10$ — общее количество испытаний.

$p = 0,25$ — вероятность появления события А (успех) в одном испытании.

$q = 1 - p = 1 - 0,25 = 0,75$ — вероятность того, что событие А не появится (неудача).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие А наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Событие "А появится не более двух раз" означает, что оно произойдет 0 раз, 1 раз или 2 раза. Так как эти три события несовместны, искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$

Вычислим каждое слагаемое:

1. Вероятность того, что событие А не появится ни разу ($k=0$):

$P_{10}(0) = C_{10}^0 \cdot (0,25)^0 \cdot (0,75)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0,75)^{10} \approx 0,0563$

2. Вероятность того, что событие А появится ровно один раз ($k=1$):

$P_{10}(1) = C_{10}^1 \cdot (0,25)^1 \cdot (0,75)^9 = 10 \cdot 0,25 \cdot (0,75)^9 \approx 2,5 \cdot 0,0751 \approx 0,1877$

3. Вероятность того, что событие А появится ровно два раза ($k=2$):

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$

$P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot (0,25)^2 \cdot (0,75)^8 = 45 \cdot 0,0625 \cdot (0,75)^8 \approx 2,8125 \cdot 0,1001 \approx 0,2816$

Теперь сложим полученные вероятности:

$P(k \le 2) \approx 0,0563 + 0,1877 + 0,2816 = 0,5256$

Можно провести и точные вычисления, используя обыкновенные дроби $p=\frac{1}{4}$ и $q=\frac{3}{4}$:

$P(k \le 2) = (\frac{3}{4})^{10} + 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{4})^9 + 45 \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^8 = \frac{3^{10}}{4^{10}} + \frac{10 \cdot 3^9}{4^{10}} + \frac{45 \cdot 3^8}{4^{10}}$

$P(k \le 2) = \frac{3^8}{4^{10}}(3^2 + 10 \cdot 3 + 45) = \frac{3^8}{4^{10}}(9 + 30 + 45) = \frac{6561 \cdot 84}{1048576} = \frac{551124}{1048576} \approx 0,5256$

Ответ: Вероятность того, что событие А появится не более двух раз, равна приблизительно 0,5256.

54.9. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность испортиться после 1000 часов работы равна 0,4. Прибор требует ремонта, если испортилось не менее двух предохранителей. Найдите вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители портятся независимо друг от друга.

Это задача на использование формулы Бернулли для биномиального распределения. У нас есть серия из $n$ независимых испытаний (проверка каждого предохранителя), где в каждом испытании есть два исхода: "успех" (предохранитель испортился) и "неудача" (предохранитель не испортился).

Введем следующие обозначения:

• $n = 6$ — общее количество предохранителей (испытаний).
• $p = 0.4$ — вероятность того, что предохранитель испортится ("успех").
• $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ — вероятность того, что предохранитель не испортится ("неудача").

Прибор требует ремонта, если испортилось не менее двух предохранителей. Это означает, что количество испорченных предохранителей $k$ может быть равно 2, 3, 4, 5 или 6. Нам нужно найти вероятность события $A$, где $k \ge 2$.

Проще найти вероятность противоположного (дополнительного) события $\bar{A}$, которое заключается в том, что испортилось менее двух предохранителей, то есть 0 или 1. Затем найти искомую вероятность по формуле $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Вероятность того, что из $n$ испытаний будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

1. Найдем вероятность того, что не испортился ни один предохранитель (k=0):

$P_6(0) = C_6^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^6 = 0.046656$.

2. Найдем вероятность того, что испортился ровно один предохранитель (k=1):

$P_6(1) = C_6^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^{6-1} = 6 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^5 = 2.4 \cdot 0.07776 = 0.186624$.

3. Найдем вероятность дополнительного события $\bar{A}$ (испортилось менее двух предохранителей):

$P(\bar{A}) = P_6(0) + P_6(1) = 0.046656 + 0.186624 = 0.23328$.

4. Найдем искомую вероятность $P(A)$ (испортилось не менее двух предохранителей):

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.23328 = 0.76672$.

Ответ: $0.76672$

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

54.10. Якоб Бернулли — один из основателей теории вероятностей. Доказал частный случай закона больших чисел — теорему Бернулли. Пафнутий Львович Чебышев — величайший русский математик XIX века, основоположник петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (с 1859 г.) и еще 24 академий мира.

Якоб Бернулли

(1655—1705)

Пафнутий Львович

Чебышев

(1821—1894)

Якоб Бернулли (1655–1705)

Якоб Бернулли — выдающийся швейцарский математик, один из первых и ключевых исследователей в области теории вероятностей. Он принадлежал к знаменитой династии ученых Бернулли. Его главный труд, «Искусство предположений» (Ars Conjectandi), был опубликован уже после его смерти, в 1713 году. В этой работе Бернулли систематизировал известные на тот момент знания о вероятностях и ввел фундаментальные понятия.

Одним из центральных достижений Якоба Бернулли является доказательство первого варианта закона больших чисел, который получил название теорема Бернулли. Эта теорема устанавливает связь между теоретической вероятностью события и его относительной частотой в серии независимых испытаний. Испытания с двумя исходами («успех» или «неудача») и постоянной вероятностью успеха получили название схемы Бернулли.

Теорема Бернулли утверждает, что с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом числе испытаний $n$, относительная частота появления события $\frac{k}{n}$ (где $k$ — число «успехов») будет сколь угодно мало отличаться от его истинной вероятности $p$. Математически это выражается так: для любого $\epsilon > 0$ справедливо равенство:

$ \lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{k}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1 $

Эта теорема стала краеугольным камнем математической статистики, поскольку она теоретически обосновывает возможность оценки вероятности на основе экспериментальных данных. Помимо теории вероятностей, Якоб Бернулли внес значительный вклад в развитие математического анализа (ввел термин «интеграл») и исследование различных кривых, таких как лемниската Бернулли и цепная линия.

Ответ: Якоб Бернулли — один из основателей теории вероятностей, автор фундаментального труда «Искусство предположений» и теоремы Бернулли (закона больших чисел), которая математически обосновала связь между относительной частотой и вероятностью события в длинной серии независимых испытаний.

Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894)

Пафнутий Львович Чебышев — величайший русский математик и механик XIX века, основоположник знаменитой петербургской математической школы, оказавшей огромное влияние на развитие математики в России и во всем мире. Его научные интересы были чрезвычайно широки и охватывали теорию чисел, теорию вероятностей, теорию приближения функций и механику.

В области теории вероятностей Чебышев значительно развил и обобщил идеи своих предшественников, включая Якоба Бернулли. Он доказал закон больших чисел в гораздо более общей форме, чем теорема Бернулли. Ключевым инструментом для этого стало неравенство Чебышева, которое дает универсальную оценку вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Неравенство справедливо для любой случайной величины $X$, имеющей конечное математическое ожидание $E[X]$ и конечную дисперсию $D(X)$. Для любого числа $\epsilon > 0$ оно имеет вид:

$ P(|X - E[X]| \ge \epsilon) \le \frac{D(X)}{\epsilon^2} $

Это неравенство является одним из самых важных результатов в теории вероятностей благодаря своей общности. Чебышев также внес вклад в доказательство центральной предельной теоремы.

Помимо этого, Чебышев получил фундаментальные результаты в теории чисел, в частности, в области распределения простых чисел (доказал постулат Бертрана). Он является создателем теории приближения функций, где центральную роль играют многочлены Чебышева. Его работы в области механики привели к созданию новых типов механизмов, многие из которых носят его имя.

Ответ: Пафнутий Львович Чебышев — выдающийся русский математик, основатель петербургской математической школы, внесший фундаментальный вклад в теорию вероятностей (доказательство закона больших чисел в общей форме, неравенство Чебышева), теорию чисел и теорию приближения функций.

1. Заполните таблицу 52, поставив (+) или (–) в соответствующей строке.

Таблица 52

Для правильного заполнения таблицы необходимо различать дискретные (прерывные) и непрерывные случайные величины. В контексте задания столбец «Случайная» соответствует дискретной величине, а «Непрерывная» — непрерывной.

• Дискретная случайная величина принимает отдельные, изолированные значения, которые можно пересчитать (например, 0, 1, 2, 3, ...). Как правило, это результат подсчета чего-либо.
• Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в пределах некоторого интервала. Как правило, это результат измерения (температура, скорость, вес, длина).

1. Температура тела при его нагревании

Температура является физической величиной, которая измеряется, а не подсчитывается. Она может принимать любое значение в пределах некоторого диапазона и изменяется плавно, а не скачкообразно. Например, температура может быть $30.5^\circ\text{C}$, $30.51^\circ\text{C}$ или любое другое значение между ними. Такие величины, которые могут принимать любое значение в некотором интервале, называются непрерывными.

Ответ: Случайная (–), Непрерывная (+).

2. Количество посетителей кинотеатра в течение дня

Количество посетителей — это величина, которую можно посчитать. Она может принимать только целые неотрицательные значения: $0, 1, 2, 3, \ldots$. Невозможно иметь, например, $125.5$ посетителей. Величина, которая может принимать только отдельные, изолированные значения, называется дискретной. В контексте данной таблицы такие величины относятся к «случайным» (подразумевается дискретная случайная величина), так как точное число посетителей заранее неизвестно и меняется от дня ко дню.

Ответ: Случайная (+), Непрерывная (–).

3. Выпадение цифры 5 при трехкратном бросании игральной кости

Эта величина означает количество выпадений цифры 5. При трех бросках игральной кости цифра 5 может выпасть 0 раз, 1 раз, 2 раза или 3 раза. Множество возможных значений этой величины — $\{0, 1, 2, 3\}$. Это конечный набор отдельных целых чисел. Следовательно, это дискретная (в терминах таблицы — «случайная») величина.

Ответ: Случайная (+), Непрерывная (–).

4. Количество пассажиров, вышедших из маршрутного такси на остановке N

Количество пассажиров, как и количество посетителей, можно только сосчитать. Оно может быть равно $0, 1, 2, \ldots$ и не может быть дробным. Это дискретная величина, значение которой заранее не определено и является случайным.

Ответ: Случайная (+), Непрерывная (–).

5. Скорость движения моторной лодки по течению реки

Скорость — это физическая величина, которая измеряется. Она может принимать любое действительное значение в определённом интервале. Например, скорость может быть равна $15 \text{ км/ч}$, $15.25 \text{ км/ч}$ или любому другому промежуточному значению. Она не ограничена набором дискретных значений. Следовательно, это непрерывная величина.

Ответ: Случайная (–), Непрерывная (+).