Страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (18.1–18.6):

18.1.1) $arcsin2x = \frac{\pi}{3}$;

2) $arcsin3x = \frac{\pi}{4}$;

3) $arcsin2x = 1$;

4) $arcsin2x = 0$.

18.1.1) Дано уравнение $arcsin(2x) = \frac{\pi}{3}$. По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то это эквивалентно $sin(b) = a$ при условии, что значение $b$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В данном случае, $\frac{\pi}{3}$ находится в этом диапазоне, поэтому уравнение имеет решение. Применим операцию синуса к обеим частям уравнения: $sin(arcsin(2x)) = sin(\frac{\pi}{3})$. Это упрощается до $2x = sin(\frac{\pi}{3})$. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Аргумент арксинуса, $2x$, должен находиться в пределах от -1 до 1. $2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, что удовлетворяет условию $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$. Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

2) Дано уравнение $arcsin(3x) = \frac{\pi}{4}$. Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует. Применим синус к обеим частям уравнения: $sin(arcsin(3x)) = sin(\frac{\pi}{4})$. Упрощая, получаем $3x = sin(\frac{\pi}{4})$. Известно, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3: $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$. Проверим, что аргумент арксинуса $3x$ лежит в отрезке $[-1, 1]$. $3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, что удовлетворяет условию $-1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$. Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

3) Дано уравнение $arcsin(2x) = 1$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, значение 1 (один радиан) входит в этот отрезок, следовательно, уравнение имеет решение. Применим синус к обеим частям: $sin(arcsin(2x)) = sin(1)$. Это дает нам $2x = sin(1)$. Разделим обе части на 2: $x = \frac{sin(1)}{2}$. Аргумент арксинуса $2x$ должен лежать в отрезке $[-1, 1]$. Так как значение $sin(1)$ находится в этом отрезке, решение является корректным. Ответ: $x = \frac{sin(1)}{2}$.

4) Дано уравнение $arcsin(2x) = 0$. Значение 0 принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Применим синус к обеим частям уравнения: $sin(arcsin(2x)) = sin(0)$. Упрощая, получаем $2x = sin(0)$. Так как $sin(0) = 0$, то $2x = 0$. Отсюда следует, что $x = 0$. Проверим, что аргумент $2x$ находится в отрезке $[-1, 1]$. При $x=0$, $2x=0$, что удовлетворяет условию $-1 \le 0 \le 1$. Ответ: $x = 0$.

18.2.1) $\arccos 2x = \frac{\pi}{6}$;

2) $\arccos 3x = \frac{\pi}{3}$;

3) $\arccos 4x = \frac{\pi}{2}$;

4) $\arccos 2x = 0.$

1) Дано уравнение $arccos(2x) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то это эквивалентно $a = cos(b)$ при условии, что $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

В нашем случае $a = 2x$ и $b = \frac{\pi}{6}$. Условие для $b$ ($0 \le \frac{\pi}{6} \le \pi$) выполняется.

Применяем определение и получаем уравнение: $2x = cos(\frac{\pi}{6})$.

Мы знаем, что значение косинуса от угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в уравнение: $2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\sqrt{3}}{2} \div 2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Проверим выполнение условия $-1 \le 2x \le 1$. Подставим найденное значение $x$: $2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, следовательно, $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

2) Дано уравнение $arccos(3x) = \frac{\pi}{3}$.

Согласно определению арккосинуса, это уравнение можно переписать в виде $3x = cos(\frac{\pi}{3})$. Условие $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$ выполняется.

Значение косинуса от угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$.

Получаем уравнение: $3x = \frac{1}{2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$.

Проверим условие для аргумента арккосинуса: $-1 \le 3x \le 1$. Подставим $x$: $3x = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$. Неравенство $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$ верно.

Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

3) Дано уравнение $arccos(4x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, это уравнение эквивалентно $4x = cos(\frac{\pi}{2})$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$ выполняется.

Значение косинуса от угла $\frac{\pi}{2}$ равно $0$.

Получаем уравнение: $4x = 0$.

Отсюда находим $x$: $x = 0$.

Проверим условие для аргумента: $-1 \le 4x \le 1$. Подставим $x$: $4x = 4 \cdot 0 = 0$. Неравенство $-1 \le 0 \le 1$ верно.

Ответ: $x = 0$.

4) Дано уравнение $arccos(2x) = 0$.

По определению арккосинуса, это уравнение можно переписать как $2x = cos(0)$. Условие $0 \le 0 \le \pi$ выполняется.

Значение косинуса от угла $0$ равно $1$.

Получаем уравнение: $2x = 1$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{2}$.

Проверим условие для аргумента: $-1 \le 2x \le 1$. Подставим $x$: $2x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Неравенство $-1 \le 1 \le 1$ верно.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

18.3.1)

$\operatorname{arctg}4x = \frac{\pi}{4}$;

2)

$\operatorname{arctg}3x = -\frac{\pi}{3}$;

3)

$\operatorname{arcctg}2x = \frac{\pi}{6}$;

4)

$\operatorname{arcctg}3x = \frac{\pi}{2}$.

1) Дано уравнение $arctg4x = \frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$, при условии, что $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, поэтому мы можем взять тангенс от обеих частей уравнения.

$tg(arctg4x) = tg(\frac{\pi}{4})$

$4x = tg(\frac{\pi}{4})$

Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

2) Дано уравнение $arctg3x = -\frac{\pi}{3}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$, при условии, что $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому интервалу. Возьмем тангенс от обеих частей:

$tg(arctg3x) = tg(-\frac{\pi}{3})$

$3x = tg(-\frac{\pi}{3})$

Так как тангенс — нечетная функция, $tg(-a) = -tg(a)$. Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

$3x = -\sqrt{3}$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Дано уравнение $arcctg2x = \frac{\pi}{6}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $ctg(b) = a$, при условии, что $b \in (0; \pi)$.

Значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому интервалу, поэтому мы можем взять котангенс от обеих частей уравнения.

$ctg(arcctg2x) = ctg(\frac{\pi}{6})$

$2x = ctg(\frac{\pi}{6})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, получаем:

$2x = \sqrt{3}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Дано уравнение $arcctg3x = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $ctg(b) = a$, при условии, что $b \in (0; \pi)$.

Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит этому интервалу. Возьмем котангенс от обеих частей:

$ctg(arcctg3x) = ctg(\frac{\pi}{2})$

$3x = ctg(\frac{\pi}{2})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

18.4. 1) $ \arccos(3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3}; $

2) $ \arcsin(x - 2) = -\frac{\pi}{4}; $

3) $ \arccos(4 - x) = \frac{\pi}{2}; $

4) $ \arcsin(2x + 1) = \frac{\pi}{3}. $

1) Решим уравнение $arccos(3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = y$, то $cos(y) = a$, при этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $0 \le y \le \pi$.

В данном уравнении $y = \frac{2\pi}{3}$ находится в промежутке $[0, \pi]$, поэтому решение существует.

Применим определение к нашему уравнению:

$3x - 3,5 = cos(\frac{2\pi}{3})$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} = -0,5$

Подставим это значение в уравнение:

$3x - 3,5 = -0,5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$3x = 3,5 - 0,5$

$3x = 3$

$x = 1$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арккосинуса. При $x=1$ выражение $3x - 3,5$ равно $3(1) - 3,5 = -0,5$.

Поскольку $-1 \le -0,5 \le 1$, условие выполнено.

Ответ: $1$.

2) Решим уравнение $arcsin(x - 2) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = y$, то $sin(y) = a$, при этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении $y = -\frac{\pi}{4}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует.

Применим определение к нашему уравнению:

$x - 2 = sin(-\frac{\pi}{4})$

Вычислим значение синуса:

$sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$x - 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Выразим $x$:

$x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса. Аргумент $x-2$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, следовательно $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$.

Условие $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$ выполнено.

Ответ: $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Решим уравнение $arccos(4 - x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = y$, то $cos(y) = a$, при этом $-1 \le a \le 1$.

Применим это определение:

$4 - x = cos(\frac{\pi}{2})$

Значение косинуса равно:

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Подставим значение в уравнение:

$4 - x = 0$

Отсюда находим $x$:

$x = 4$

Проверим условие для аргумента арккосинуса. При $x=4$ выражение $4 - x$ равно $4 - 4 = 0$.

Поскольку $-1 \le 0 \le 1$, условие выполнено.

Ответ: $4$.

4) Решим уравнение $arcsin(2x + 1) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = y$, то $sin(y) = a$, при этом $-1 \le a \le 1$.

Применим это определение:

$2x + 1 = sin(\frac{\pi}{3})$

Значение синуса равно:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение в уравнение:

$2x + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$

$2x = \frac{\sqrt{3} - 2}{2}$

$x = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Проверим условие для аргумента арксинуса. Аргумент $2x+1$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $1 < \sqrt{3} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$.

Условие $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$ выполнено.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{4}$.

18.5.1) $\operatorname{arctg}(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$;

2) $\operatorname{arctg}(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$;

3) $\operatorname{arctg}(4 - x) = \frac{\pi}{2}$;

4) $\operatorname{arctg}(2x + 1) = -\frac{\pi}{4}$.

1) Исходное уравнение: $arctg(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$.

По определению, область значений функции арктангенс, $y = arctg(x)$, является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Выразим $\frac{\pi}{2}$ в долях от 12, чтобы сравнить с правой частью уравнения: $\frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12}$.

Правая часть уравнения равна $\frac{7\pi}{12}$. Сравниваем: $\frac{7\pi}{12} > \frac{6\pi}{12}$, то есть $\frac{7\pi}{12} > \frac{\pi}{2}$.

Так как значение $\frac{7\pi}{12}$ не входит в область значений функции арктангенс, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) Исходное уравнение: $arcctg(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$.

По определению, $y = arcctg(x)$ равносильно $ctg(y) = x$ при условии, что $y$ принадлежит области значений арккотангенса, то есть $y \in (0, \pi)$.

Значение $\frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому решение существует.

Возьмем котангенс от обеих частей уравнения:

$ctg(arcctg(4x + 1)) = ctg(\frac{3\pi}{4})$

$4x + 1 = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Найдем значение $ctg(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. $ctg(\frac{3\pi}{4}) = ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставим это значение в уравнение:

$4x + 1 = -1$

$4x = -1 - 1$

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $arcctg(4 - x) = \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит этому интервалу.

Применим функцию котангенса к обеим частям уравнения:

$ctg(arcctg(4 - x)) = ctg(\frac{\pi}{2})$

$4 - x = ctg(\frac{\pi}{2})$

Значение $ctg(\frac{\pi}{2})$ равно $0$.

Подставляем это значение в уравнение:

$4 - x = 0$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4) Исходное уравнение: $arctg(2x + 1) = -\frac{\pi}{4}$.

Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, следовательно, решение существует.

Применим функцию тангенса к обеим частям уравнения:

$tg(arctg(2x + 1)) = tg(-\frac{\pi}{4})$

$2x + 1 = tg(-\frac{\pi}{4})$

Тангенс является нечетной функцией, поэтому $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$. Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставляем это значение в уравнение:

$2x + 1 = -1$

$2x = -1 - 1$

$2x = -2$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

18.6.1)
$arctg(3-4x) = \frac{\pi}{6}$;

2) $arcctg(4x + 1) = \frac{5\pi}{4}$;

3) $arccos(4-3x) = \frac{\pi}{3}$;

4) $arcsin(2x - 1) = -\frac{\pi}{6}$.

1) Решим уравнение $arctg(3 - 4x) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арктангенса, если $arctg(y) = z$, то $tg(z) = y$. При этом область значений функции арктангенс $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Так как значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, уравнение имеет решение.

Применим определение к нашему уравнению:

$3 - 4x = tg(\frac{\pi}{6})$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$3 - 4x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$4x = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$4x = \frac{9 - \sqrt{3}}{3}$

$x = \frac{9 - \sqrt{3}}{12}$

Область определения функции арктангенс — все действительные числа, поэтому дополнительная проверка корня не требуется.

Ответ: $x = \frac{9 - \sqrt{3}}{12}$.

2) Решим уравнение $arcctg(4x + 1) = \frac{5\pi}{4}$.

По определению, область значений функции арккотангенс $E(y)$ — это интервал $(0; \pi)$.

Значение $\frac{5\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу, так как $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$, что очевидно больше $\pi$.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений, так как значение арккотангенса не может быть равным $\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: решений нет.

3) Решим уравнение $arccos(4 - 3x) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(y) = z$, то $cos(z) = y$. При этом область значений функции арккосинус $E(y) = [0; \pi]$, а область определения $D(y) = [-1; 1]$.

Значение $\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арккосинуса, поэтому решение возможно.

Применим определение к нашему уравнению:

$4 - 3x = cos(\frac{\pi}{3})$

Известно, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$4 - 3x = \frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x = 4 - \frac{1}{2}$

$3x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{6}$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли аргумент арккосинуса $(4-3x)$ области определения $[-1; 1]$ при найденном значении $x$.

Подставим $x = \frac{7}{6}$ в выражение $4 - 3x$:

$4 - 3 \cdot \frac{7}{6} = 4 - \frac{7}{2} = \frac{8}{2} - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$

Так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$, условие выполняется. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

4) Решим уравнение $arcsin(2x - 1) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(y) = z$, то $sin(z) = y$. При этом область значений функции арксинус $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, а область определения $D(y) = [-1; 1]$.

Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арксинуса, поэтому решение возможно.

Применим определение к нашему уравнению:

$2x - 1 = sin(-\frac{\pi}{6})$

Известно, что $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$2x - 1 = -\frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $x$:

$2x = 1 - \frac{1}{2}$

$2x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4}$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли аргумент арксинуса $(2x-1)$ области определения $[-1; 1]$ при найденном значении $x$.

Подставим $x = \frac{1}{4}$ в выражение $2x - 1$:

$2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Так как $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$, условие выполняется. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

18.7.1)

1) $ \arccos(3x^2 - 10x + 2.5) = \frac{2\pi}{3} $;

2) $ \arcsin(3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2} $;

3) $ \arccos(3 - x^2) = \pi $;

4) $ \arcsin(2.5 - x^2) = -\frac{\pi}{6} $.

1) Дано уравнение $arccos(3x^2 - 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. При этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

В данном уравнении $b = \frac{2\pi}{3}$, что удовлетворяет условию $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.

Следовательно, мы можем записать: $3x^2 - 10x + 2,5 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Вычислим значение косинуса: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Получаем квадратное уравнение: $3x^2 - 10x + 2,5 = -0,5$.

Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 - 10x + 2,5 + 0,5 = 0$, что равносильно $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Поскольку мы приравняли выражение под знаком арккосинуса к $-0,5$, а это значение находится в отрезке $[-1, 1]$, то оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3; \frac{1}{3}$.

2) Дано уравнение $arcsin(3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении $b = \frac{\pi}{2}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем записать: $3x^2 - 5x + 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Вычислим значение синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Получаем уравнение: $3x^2 - 5x + 1 = 1$.

Перенесем 1 в левую часть: $3x^2 - 5x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 5) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$.

$3x - 5 = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3}$.

Поскольку мы приравняли выражение под знаком арксинуса к $1$, а это значение находится в отрезке $[-1, 1]$, то оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; \frac{5}{3}$.

3) Дано уравнение $arccos(3 - x^2) = \pi$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$, при $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

Значение $b = \pi$ удовлетворяет условию для области значений арккосинуса.

Применяем определение: $3 - x^2 = \cos(\pi)$.

Вычисляем значение косинуса: $\cos(\pi) = -1$.

Получаем уравнение: $3 - x^2 = -1$.

Выразим $x^2$: $x^2 = 3 + 1 = 4$.

Отсюда находим корни: $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Выражение под знаком арккосинуса мы приравняли к $-1$, что удовлетворяет условию $-1 \le 3-x^2 \le 1$. Следовательно, найденные корни подходят.

Ответ: $-2; 2$.

4) Дано уравнение $arcsin(2,5 - x^2) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$, при $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.

Значение $b = -\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию для области значений арксинуса.

Применяем определение: $2,5 - x^2 = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Вычисляем значение синуса: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Получаем уравнение: $2,5 - x^2 = -0,5$.

Выразим $x^2$: $x^2 = 2,5 + 0,5 = 3$.

Отсюда находим корни: $x = \pm\sqrt{3}$, то есть $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Выражение под знаком арксинуса мы приравняли к $-0,5$, что удовлетворяет условию $-1 \le 2,5-x^2 \le 1$. Следовательно, найденные корни подходят.

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

18.8.1)

1) $ \text{arctg}(x^3 - 27x - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}; $ 2) $ \text{arctg}(3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}; $

3) $ \text{arctg}(3x - x^2 + 1) = \frac{\pi}{4}; $ 4) $ \text{arctg}(x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}. $

18.9.

1)Исходное уравнение: $arctg(x^3 - 27x - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $a = tg(b)$. Применим это свойство к нашему уравнению. Значение $-\frac{\pi}{3}$ находится в области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому преобразование является равносильным.

$x^3 - 27x - \sqrt{3} = tg(-\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$x^3 - 27x - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Прибавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения:

$x^3 - 27x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 27) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность уравнений:

$x = 0$ или $x^2 - 27 = 0$.

Решая второе уравнение, получаем: $x^2 = 27 \implies x = \pm\sqrt{27} \implies x = \pm3\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}$.

2)Исходное уравнение: $arctg(3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арктангенса, это уравнение равносильно следующему:

$3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3} = tg(-\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса для данного угла: $tg(-\frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение:

$3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Упростим уравнение, прибавив $\frac{\sqrt{3}}{3}$ к обеим частям:

$3x^2 - 12x = 0$.

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$.

Отсюда находим корни:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$.

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 4$.

3)Исходное уравнение: $arcctg(3x - x^2 + 1) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $a = ctg(b)$. Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арккотангенса $(0; \pi)$, поэтому преобразование равносильно.

$3x - x^2 + 1 = ctg(\frac{\pi}{4})$.

Известно, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем это значение в уравнение:

$3x - x^2 + 1 = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$3x - x^2 = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3 - x) = 0$.

Это уравнение имеет два решения:

$x_1 = 0$.

$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$.

Ответ: $0; 3$.

4)Исходное уравнение: $arcctg(x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, данное уравнение равносильно уравнению:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = ctg(\frac{\pi}{4})$.

Так как $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = 1$.

Упростим уравнение:

$x^3 - 8x^2 + 15x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 8x + 15) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x^2 - 8x + 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = 5$.

Проверка: $3+5=8$, $3 \cdot 5 = 15$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 3; 5$.

18.9.Решите уравнение:

1) $18\text{arctg}^2x - 3\pi\text{arctg}x - \pi^2 = 0;$

2) $16\text{arcctg}^2x - 16\pi\text{arcctg}x + 3\pi^2 = 0;$

3) $\text{arctg}(x^2 - 9) = \text{arctg}8x;$

4) $\text{arcctg}(x^2 - x) = \text{arcctg}(4x - 6).$

1) $18\text{arctg}^2x - 3\pi\text{arctg}x - \pi^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{arctg}x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{arctg}x$. Тогда уравнение примет вид:

$18y^2 - 3\pi y - \pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi + \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi + 9\pi}{36} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$

Область значений функции арктангенс: $E(\text{arctg}x) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Оба найденных значения, $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{6}$, принадлежат этому интервалу. Следовательно, оба решения подходят.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\text{arctg}x = \frac{\pi}{3} \implies x = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

2. $\text{arctg}x = -\frac{\pi}{6} \implies x = \text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) $16\text{arcctg}^2x - 16\pi\text{arcctg}x + 3\pi^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{arcctg}x$. Сделаем замену переменной: пусть $z = \text{arcctg}x$. Уравнение примет вид:

$16z^2 - 16\pi z + 3\pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-16\pi)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (3\pi^2) = 256\pi^2 - 192\pi^2 = 64\pi^2$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{16\pi + \sqrt{64\pi^2}}{2 \cdot 16} = \frac{16\pi + 8\pi}{32} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$

$z_2 = \frac{16\pi - \sqrt{64\pi^2}}{2 \cdot 16} = \frac{16\pi - 8\pi}{32} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4}$

Область значений функции арккотангенс: $E(\text{arcctg}x) = (0; \pi)$. Оба найденных значения, $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$, принадлежат этому интервалу.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\text{arcctg}x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$

2. $\text{arcctg}x = \frac{\pi}{4} \implies x = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

3) $\text{arctg}(x^2 - 9) = \text{arctg}(8x)$

Функция $y = \text{arctg}(u)$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому, если арктангенсы двух выражений равны, то равны и сами выражения. Область определения арктангенса - все действительные числа, поэтому дополнительных ограничений на $x$ нет.

$x^2 - 9 = 8x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = -9$

Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -1$.

4) $\text{arcctg}(x^2 - x) = \text{arcctg}(4x - 6)$

Функция $y = \text{arcctg}(u)$ является монотонно убывающей на всей числовой оси. Если арккотангенсы двух выражений равны, то равны и сами выражения. Область определения арккотангенса - все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.

$x^2 - x = 4x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 4x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

1. Найдите значение выражения:

1) $ \arccos(-1) - \arccos0 - \operatorname{arctg}1; $

2) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} - \operatorname{arcctg}1; $

3) $ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arcsin1; $

4) $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\frac{1}{2} - \arccos0. $

1) Для нахождения значения выражения $arccos(-1) - arccos0 - arctg1$ необходимо вычислить значение каждого из его компонентов.

По определению обратных тригонометрических функций:

• $arccos(-1)$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этим углом является $\pi$.

• $arccos(0)$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

• $arctg(1)$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - \pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

2) Для нахождения значения выражения $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - arccos\frac{\sqrt{3}}{2} - arcctg1$ вычислим значение каждого из его компонентов.

• Для $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

• $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

• $arcctg(1)$ — это угол из промежутка $(0, \pi)$, котангенс которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = (\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

3) Для нахождения значения выражения $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - arcsin1$ вычислим значение каждого из его компонентов.

• $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

• Для $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

• $arcsin(1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $12$:

$\frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = \frac{3\pi - 10\pi - 6\pi}{12} = \frac{-13\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{13\pi}{12}$

4) Для нахождения значения выражения $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arccos\frac{1}{2} - arccos0$ вычислим значение каждого из его компонентов.

• Для $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем тождество $arcsin(-x) = -arcsin(x)$. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

• $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

• $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

2. Найдите значение выражения:

1) $ \sin \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) $;

2) $ \operatorname{ctg} \left( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) $;

3) $ \operatorname{tg} \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

4) $ \cos \left( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) $.

1) Чтобы найти значение выражения $sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$, сначала вычислим значение внутреннего выражения $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$. По определению, $\arccos(x)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = x$. Используем тождество $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Таким образом, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, то $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Теперь подставляем найденный угол в исходное выражение: $sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$. Значение $sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Чтобы найти значение выражения $ctg\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$, сначала вычислим $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Используя тождество $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$. Значит, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Теперь вычислим котангенс этого угла: $ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right)$. Мы знаем, что $ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Чтобы найти значение выражения $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, сначала вычислим $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. По определению, это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $tg\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Значение тангенса этого угла равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$, сначала вычислим внутреннее выражение $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. По определению, $\arcsin(x)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, для которого $\sin(\alpha) = x$. Используем тождество $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$. Теперь подставим найденный угол в исходное выражение: $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$. Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3. Найдите значение выражения:

1) $\arcsin\left(\cos\frac{50\pi}{14}\right)$;

2) $\arccos\left(\sin\frac{27\pi}{7}\right)$;

3) $\arcsin\left(\sin\frac{10\pi}{3}\right)$;

4) $\arcsin(\sin6)$;

5) $\arcsin(\cos8)$;

6) $\arccos(\cos10).$

1) arcsin(cos(50π/14))

Сначала упростим аргумент косинуса: $ \frac{50\pi}{14} = \frac{25\pi}{7} $. Выражение принимает вид: $ \arcsin(\cos(\frac{25\pi}{7})) $. Воспользуемся формулой приведения $ \cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $. $ \cos(\frac{25\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{25\pi}{7}) = \sin(\frac{7\pi - 50\pi}{14}) = \sin(-\frac{43\pi}{14}) $. Теперь выражение выглядит так: $ \arcsin(\sin(-\frac{43\pi}{14})) $. Область значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Угол $ -\frac{43\pi}{14} $ не входит в этот промежуток. Нам нужно найти такой угол $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, что $ \sin(\alpha) = \sin(-\frac{43\pi}{14}) $. Используем периодичность синуса $ \sin(x) = \sin(x+2k\pi) $ и свойство нечетности $ \sin(-x) = -\sin(x) $. $ \sin(-\frac{43\pi}{14}) = \sin(-\frac{43\pi}{14} + 4\pi) = \sin(\frac{-43\pi + 56\pi}{14}) = \sin(\frac{13\pi}{14}) $. Угол $ \frac{13\pi}{14} $ все еще не входит в $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Воспользуемся формулой $ \sin(x) = \sin(\pi - x) $. $ \sin(\frac{13\pi}{14}) = \sin(\pi - \frac{13\pi}{14}) = \sin(\frac{\pi}{14}) $. Угол $ \frac{\pi}{14} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{14})) = \frac{\pi}{14} $.

Более простой способ: $ \cos(\frac{25\pi}{7}) = \cos(\frac{28\pi - 3\pi}{7}) = \cos(4\pi - \frac{3\pi}{7}) = \cos(-\frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{3\pi}{7}) $. Тогда $ \arcsin(\cos(\frac{3\pi}{7})) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7})) = \arcsin(\sin(\frac{7\pi-6\pi}{14})) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{14})) $. Так как $ \frac{\pi}{14} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, то результат равен $ \frac{\pi}{14} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{14} $

2) arccos(sin(27π/7))

Воспользуемся формулой приведения $ \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $. $ \sin(\frac{27\pi}{7}) = \sin(\frac{28\pi - \pi}{7}) = \sin(4\pi - \frac{\pi}{7}) = \sin(-\frac{\pi}{7}) $. Выражение принимает вид: $ \arccos(\sin(-\frac{\pi}{7})) $. Теперь преобразуем синус в косинус: $ \sin(-\frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{7})) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi + 2\pi}{14}) = \cos(\frac{9\pi}{14}) $. Получаем $ \arccos(\cos(\frac{9\pi}{14})) $. Область значений арккосинуса $ [0, \pi] $. Так как $ 0 \le \frac{9\pi}{14} \le \pi $ (поскольку $ 0 \le 9 \le 14 $), то искомое значение равно $ \frac{9\pi}{14} $.

Ответ: $ \frac{9\pi}{14} $

3) arcsin(sin(10π/3))

По определению $ \arcsin(\sin(x)) = x $ только если $ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Угол $ \frac{10\pi}{3} $ не принадлежит этому промежутку. Найдем эквивалентный угол. $ \frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi+\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} $. $ \sin(\frac{10\pi}{3}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) $. Выражение принимает вид: $ \arcsin(-\sin(\frac{\pi}{3})) $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем: $ -\arcsin(\sin(\frac{\pi}{3})) $. Так как $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, то $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, итоговый результат $ -\frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $

4) arcsin(sin(6))

Область значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Приближенно $ \pi \approx 3.14159 $, значит $ -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $ и $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Число 6 не входит в промежуток $ [-1.57, 1.57] $. Нам нужно найти угол $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ такой, что $ \sin(\alpha) = \sin(6) $. Используем периодичность синуса $ \sin(x) = \sin(x - 2\pi) $. $ \sin(6) = \sin(6 - 2\pi) $. Проверим, принадлежит ли угол $ 6 - 2\pi $ нужному промежутку. $ 6 - 2\pi \approx 6 - 2 \times 3.14159 = 6 - 6.28318 = -0.28318 $. Поскольку $ -1.57 < -0.28318 < 1.57 $, то $ 6 - 2\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, $ \arcsin(\sin(6)) = \arcsin(\sin(6 - 2\pi)) = 6 - 2\pi $.

Ответ: $ 6 - 2\pi $

5) arcsin(cos(8))

Сначала используем формулу приведения $ \cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $. $ \cos(8) = \sin(\frac{\pi}{2} - 8) $. Выражение становится $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 8)) $. Проверим, принадлежит ли угол $ \frac{\pi}{2} - 8 $ области значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. $ \frac{\pi}{2} - 8 \approx 1.57 - 8 = -6.43 $. Это значение не входит в требуемый интервал. Найдем эквивалентный угол, используя периодичность синуса $ \sin(y) = \sin(y + 2k\pi) $. Пусть $ y = \frac{\pi}{2} - 8 $. При $ k=1 $: $ y + 2\pi = \frac{\pi}{2} - 8 + 2\pi = \frac{5\pi}{2} - 8 $. Оценим значение: $ \frac{5\pi}{2} - 8 \approx \frac{5 \times 3.14}{2} - 8 = 7.85 - 8 = -0.15 $. Значение -0.15 принадлежит интервалу $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57] $. Значит, $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 8)) = \arcsin(\sin(\frac{5\pi}{2} - 8)) = \frac{5\pi}{2} - 8 $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{2} - 8 $

6) arccos(cos(10))

Область значений арккосинуса $ [0, \pi] $. Приближенно $ \pi \approx 3.14159 $. Число 10 не входит в этот промежуток. Нам нужно найти угол $ \alpha \in [0, \pi] $ такой, что $ \cos(\alpha) = \cos(10) $. Используем свойство четности косинуса $ \cos(x) = \cos(-x) $ и его периодичность $ \cos(x) = \cos(x + 2k\pi) $. $ \cos(10) = \cos(10 - 2k\pi) $ или $ \cos(10) = \cos(2k\pi - 10) $. Подберем целое $ k $ так, чтобы результат попал в промежуток $ [0, \pi] $. Попробуем $ k=1 $: $ \cos(10) = \cos(10-2\pi) \approx \cos(3.72) $. Не подходит. $ \cos(2\pi-10) \approx \cos(-3.72) $. Не подходит. Попробуем $ k=2 $: $ \cos(10) = \cos(10-4\pi) \approx \cos(10 - 12.57) = \cos(-2.57) $. Используя четность, $ \cos(-2.57) = \cos(2.57) $. Значение $ 2.57 $ принадлежит промежутку $ [0, \pi] \approx [0, 3.14] $. Таким образом, мы нашли, что $ \cos(10) = \cos(4\pi - 10) $. Поскольку $ 4\pi - 10 \in [0, \pi] $, то $ \arccos(\cos(10)) = \arccos(\cos(4\pi - 10)) = 4\pi - 10 $.

Ответ: $ 4\pi - 10 $

4. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = 3 + (2x - 1)^2 + 4\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 2x - 1$, $x_0 = 1$;

4) $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{4}{x + 1}$, $x_0 = -2$;

5) $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + \pi$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

6) $f(x) = \cos(2x - \pi) + \pi$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$.

Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: $f(x) = x^3 - 2x^{1/2}$.

Используем правила дифференцирования (производная разности, производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$):

$f'(x) = (x^3 - 2x^{1/2})' = (x^3)' - (2x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^2 - x^{-1/2} = 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 3(1)^2 - \frac{1}{\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

Ответ: 2

2) Дана функция $f(x) = 3 + (2x - 1)^2 + 4\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило для производной суммы, производную сложной функции и производную степенной функции.

$f'(x) = (3)' + ((2x - 1)^2)' + (4x^{1/2})'$.

Производная константы $(3)' = 0$.

Производная сложной функции $((2x - 1)^2)' = 2(2x-1)^{2-1} \cdot (2x-1)' = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1) = 8x-4$.

Производная степенной функции $(4x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = 0 + 8x - 4 + \frac{2}{\sqrt{x}} = 8x - 4 + \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

$f'(1) = 8(1) - 4 + \frac{2}{\sqrt{1}} = 8 - 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

3) Дана функция $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 2x - 1$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем функцию в виде степеней: $f(x) = 3(2x)^{1/2} - 5x^{-1} + 2x - 1$.

Найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (3(2x)^{1/2})' - (5x^{-1})' + (2x)' - (1)'$.

$(3(2x)^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot (2x)' = 3 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = 3(2x)^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{2x}}$.

$(-5x^{-1})' = -5(-1)x^{-2} = \frac{5}{x^2}$.

$(2x)' = 2$.

$(-1)' = 0$.

Таким образом, $f'(x) = \frac{3}{\sqrt{2x}} + \frac{5}{x^2} + 2$.

Подставим $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 1}} + \frac{5}{1^2} + 2 = \frac{3}{\sqrt{2}} + 5 + 2 = 7 + \frac{3}{\sqrt{2}} = 7 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $7 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

4) Дана функция $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{4}{x+1}$ и точка $x_0 = -2$.

Найдем производную $f'(x)$.

Для первого слагаемого используем производную сложной функции:

$((3x + 4)^2)' = 2(3x+4) \cdot (3x+4)' = 2(3x+4) \cdot 3 = 6(3x+4) = 18x+24$.

Для второго слагаемого перепишем его как $4(x+1)^{-1}$ и найдем производную:

$(\frac{4}{x+1})' = (4(x+1)^{-1})' = 4 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -4(x+1)^{-2} = -\frac{4}{(x+1)^2}$.

Следовательно, $f'(x) = 18x + 24 - \frac{4}{(x+1)^2}$.

Подставим $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 18(-2) + 24 - \frac{4}{(-2+1)^2} = -36 + 24 - \frac{4}{(-1)^2} = -12 - \frac{4}{1} = -12 - 4 = -16$.

Ответ: -16

5) Дана функция $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + \pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Сначала можно упростить функцию, используя свойство периодичности синуса $\sin(\alpha - 2\pi) = \sin(\alpha)$:

$f(x) = \sin(3x) + \pi$.

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (\sin(3x) + \pi)' = (\sin(3x))' + (\pi)'$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'$.

$(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Производная константы $\pi$ равна нулю: $(\pi)' = 0$.

$f'(x) = 3\cos(3x)$.

Подставим $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 3\cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: -3

6) Дана функция $f(x) = \cos(2x - \pi) + \pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Сначала можно упростить функцию, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$:

$f(x) = -\cos(2x) + \pi$.

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (-\cos(2x) + \pi)' = (-\cos(2x))' + (\pi)'$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$.

$(-\cos(2x))' = -(-\sin(2x)) \cdot (2x)' = \sin(2x) \cdot 2 = 2\sin(2x)$.

Производная константы $\pi$ равна нулю: $(\pi)' = 0$.

$f'(x) = 2\sin(2x)$.

Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

5. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику $y = f(x)$ функции в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = \frac{2x+1}{x-1}$;

2) $y = \frac{x}{x+1} + \sqrt{3-x}$, $x_0 = 2$;

3) $y = \frac{2x-1}{x+1} + \frac{9}{x}$, $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$

В условии для этого пункта не указана точка с абсциссой $x_0$. Найдем производную функции в общем виде. Используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, получаем:

$y' = f'(x) = \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right)' = \frac{(2x+1)'(x-1) - (2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - (2x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

Значение углового коэффициента в точке $x_0$ равно $k = f'(x_0) = \frac{-3}{(x_0-1)^2}$.

Поскольку значение $x_0$ не задано, можно предположить, что в условии имеется опечатка. Интересно, что для двух наиболее вероятных в таких задачах точек, $x_0=0$ (точка пересечения с осью ординат) и $x_0=2$ (аналогично пункту 2), результат получается одинаковый.

При $x_0 = 2$: $k = \frac{-3}{(2-1)^2} = \frac{-3}{1^2} = -3$.

При $x_0 = 0$: $k = \frac{-3}{(0-1)^2} = \frac{-3}{(-1)^2} = -3$.

Следовательно, можно с высокой степенью уверенности утверждать, что искомое значение равно -3.

Ответ: -3.

2) $y = \frac{x}{x+1} + \sqrt{3-x}$, $x_0 = 2$

Найдем производную функции как производную суммы двух функций: $y' = (\frac{x}{x+1})' + (\sqrt{3-x})'$.

Производная первого слагаемого по правилу дифференцирования частного:

$(\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Производная второго слагаемого по правилу дифференцирования сложной функции:

$(\sqrt{3-x})' = ((3-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3-x)^{-1/2} \cdot (3-x)' = \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Таким образом, производная функции равна: $y' = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = y'(2) = \frac{1}{(2+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-2}} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{2} = \frac{2}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$.

3) $y = \frac{2x-1}{x+1} + \frac{9}{x}$, $x_0 = 3$

Найдем производную функции как производную суммы двух функций: $y' = (\frac{2x-1}{x+1})' + (\frac{9}{x})'$.

Производная первого слагаемого по правилу дифференцирования частного:

$(\frac{2x-1}{x+1})' = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.

Производная второго слагаемого:

$(\frac{9}{x})' = (9x^{-1})' = -9x^{-2} = -\frac{9}{x^2}$.

Таким образом, производная функции равна: $y' = \frac{3}{(x+1)^2} - \frac{9}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = y'(3) = \frac{3}{(3+1)^2} - \frac{9}{3^2} = \frac{3}{4^2} - \frac{9}{9} = \frac{3}{16} - 1 = \frac{3-16}{16} = -\frac{13}{16}$.

Ответ: $-\frac{13}{16}$.

6. Найдите значение $f''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin3x, x_0 = \frac{\pi}{2};$

2) $f(x) = \cos4x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

3) $f(x) = \sin^2 3x, x_0 = -\frac{\pi}{2}.$

1) Дана функция $f(x) = \sin3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Чтобы найти значение второй производной $f''(x)$ в точке $x_0$, необходимо сначала найти первую, а затем вторую производную функции.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\sin3x)' = \cos3x \cdot (3x)' = 3\cos3x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (3\cos3x)' = 3 \cdot (-\sin3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot (-\sin3x) \cdot 3 = -9\sin3x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в полученное выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{2}) = -9\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -9\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем:

$f''(\frac{\pi}{2}) = -9 \cdot (-1) = 9$.

Ответ: 9

2) Дана функция $f(x) = \cos4x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (\cos4x)' = -\sin4x \cdot (4x)' = -4\sin4x$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (-4\sin4x)' = -4 \cdot \cos4x \cdot (4x)' = -4 \cdot \cos4x \cdot 4 = -16\cos4x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16\cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = -16\cos(\pi)$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16 \cdot (-1) = 16$.

Ответ: 16

3) Дана функция $f(x) = \sin^23x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Представим функцию в виде $f(x) = (\sin3x)^2$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя цепное правило:

$f'(x) = 2\sin3x \cdot (\sin3x)' = 2\sin3x \cdot \cos3x \cdot (3x)' = 6\sin3x\cos3x$.

Для упрощения дальнейших вычислений воспользуемся формулой синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin3x\cos3x) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin6x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$ от упрощенного выражения:

$f''(x) = (3\sin6x)' = 3\cos6x \cdot (6x)' = 3\cos6x \cdot 6 = 18\cos6x$.

Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для второй производной:

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18\cos(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 18\cos(-3\pi)$.

Поскольку функция косинуса является четной, $\cos(-x) = \cos(x)$, то $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi)$. Значение $\cos(3\pi) = -1$.

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18 \cdot (-1) = -18$.

Ответ: -18