Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

37. Печатный текст на странице книги занимает площадь в $363\text{ см}^2$. Ширина полей этой страницы сверху и снизу составляет по 2 см, ширина боковых полей — по 1,5 см. Каковы должны быть размеры книжной страницы, чтобы площадь ее была наименьшей?

Для решения задачи по оптимизации площади страницы необходимо составить функцию, выражающую эту площадь, и найти ее минимум.

1. Определение переменных и составление уравнений.

Пусть $x$ – ширина печатного текста (в см), а $y$ – высота печатного текста (в см).По условию, площадь печатного текста составляет 363 см²:$x \cdot y = 363$

Теперь определим размеры всей страницы.Ширина страницы $W$ складывается из ширины текста и двух боковых полей по 1,5 см:$W = x + 1.5 + 1.5 = x + 3$

Высота страницы $H$ складывается из высоты текста и верхнего и нижнего полей по 2 см:$H = y + 2 + 2 = y + 4$

Площадь всей страницы $S$ равна произведению ее ширины и высоты:$S = W \cdot H = (x + 3)(y + 4)$

2. Создание функции одной переменной.

Чтобы найти минимум функции площади $S$, нужно выразить ее через одну переменную. Из уравнения для площади текста выразим $y$ через $x$:$y = \frac{363}{x}$

Подставим это выражение в формулу для площади страницы:$S(x) = (x + 3)(\frac{363}{x} + 4)$

Раскроем скобки, чтобы упростить выражение:$S(x) = x \cdot \frac{363}{x} + 4x + 3 \cdot \frac{363}{x} + 3 \cdot 4$$S(x) = 363 + 4x + \frac{1089}{x} + 12$$S(x) = 4x + \frac{1089}{x} + 375$

3. Нахождение минимума функции.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю.$S'(x) = (4x + 1089x^{-1} + 375)' = 4 - 1089x^{-2} = 4 - \frac{1089}{x^2}$

Приравняем производную к нулю:$S'(x) = 0 \implies 4 - \frac{1089}{x^2} = 0$$4 = \frac{1089}{x^2}$$4x^2 = 1089$$x^2 = \frac{1089}{4}$$x = \sqrt{\frac{1089}{4}}$ (берем только положительный корень, так как ширина не может быть отрицательной)$x = \frac{33}{2} = 16.5$ см.

Это значение $x$ является точкой минимума (проверка по второй производной: $S''(x) = \frac{2178}{x^3} > 0$ при $x>0$, что подтверждает минимум).

4. Расчет размеров страницы.

Мы нашли оптимальную ширину печатного текста $x = 16.5$ см. Теперь найдем соответствующую высоту текста $y$:$y = \frac{363}{x} = \frac{363}{16.5} = 22$ см.

Осталось найти размеры всей книжной страницы:Ширина страницы: $W = x + 3 = 16.5 + 3 = 19.5$ см.Высота страницы: $H = y + 4 = 22 + 4 = 26$ см.

Ответ: Чтобы площадь книжной страницы была наименьшей, ее размеры должны быть 19,5 см в ширину и 26 см в высоту.

38. Периметр земельного участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в $30^\circ$ равен 24 м. Найдите наибольшую площадь этого участка.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Тогда $AB$ — высота трапеции, а острый угол при вершине $D$ равен $30^\circ$.

Обозначим стороны трапеции:

• $a = AD$ — большее основание
• $b = BC$ — меньшее основание
• $h = AB$ — высота
• $c = CD$ — наклонная боковая сторона

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:$P = a + b + h + c = 24$ м.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Чтобы связать стороны трапеции, проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.В прямоугольнике $ABCH$ имеем $CH = AB = h$ и $AH = BC = b$.В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $HD = AD - AH = a - b$. Угол $\angle CDH = 30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $CHD$ находим:

1. $\sin(30^\circ) = \frac{CH}{CD} = \frac{h}{c}$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\frac{h}{c} = \frac{1}{2}$, откуда $c = 2h$.

2. $\text{tg}(30^\circ) = \frac{CH}{HD} = \frac{h}{a-b}$. Так как $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\frac{h}{a-b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $a-b = h\sqrt{3}$.

Теперь подставим выражение для $c$ в формулу периметра:$a + b + h + 2h = 24$

$a + b + 3h = 24$

Отсюда выразим сумму оснований:$a + b = 24 - 3h$.

Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить зависимость площади $S$ только от высоты $h$:$S(h) = \frac{24-3h}{2} \cdot h = 12h - \frac{3}{2}h^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(h) = -\frac{3}{2}h^2 + 12h$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $h_0$ находится по формуле $h_0 = -\frac{B}{2A}$, где $A = -\frac{3}{2}$ и $B = 12$:$h_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{12}{-3} = 4$ м.

Таким образом, наибольшая площадь участка будет при высоте $h = 4$ м. Найдем значение этой площади, подставив $h=4$ в функцию $S(h)$:$S_{max} = 12(4) - \frac{3}{2}(4)^2 = 48 - \frac{3}{2} \cdot 16 = 48 - 3 \cdot 8 = 48 - 24 = 24$ м².

Проверим, что при $h=4$ м все стороны трапеции имеют положительную длину:

$h = 4$ м

$c = 2h = 8$ м

$a+b = 24 - 3h = 24 - 12 = 12$ м

$a-b = h\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ м

Из системы $\begin{cases} a+b=12 \\ a-b=4\sqrt{3} \end{cases}$ находим $a = 6+2\sqrt{3} > 0$ и $b = 6-2\sqrt{3} > 0$ (так как $36 > 12$). Все размеры корректны.

Ответ: наибольшая площадь участка равна $24$ м².

39. В равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной катета в $2\sqrt{2}$ см вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на гипотенузе, две другие — на катетах треугольника. Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны: $AC = BC = 2\sqrt{2}$ см. Так как треугольник является равнобедренным и прямоугольным, его острые углы при гипотенузе равны $45^\circ$: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$.Следовательно, $AB = \sqrt{16} = 4$ см.

В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ наибольшей площади. Согласно условию, две его вершины ($K$ и $L$) лежат на гипотенузе $AB$, а две другие ($M$ и $N$) — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что одна из сторон прямоугольника ($KL$) лежит на гипотенузе треугольника.

Проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к основанию (гипотенузе), является также медианой. Длина этой высоты равна половине длины гипотенузы:$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Пусть высота вписанного прямоугольника (длины сторон $ML$ и $NK$, которые перпендикулярны гипотенузе) равна $x$. Пусть ширина прямоугольника (длина стороны $MN$, которая параллельна гипотенузе) равна $y$. Сторона $MN$ отсекает от исходного треугольника малый треугольник $NMC$. Так как сторона $MN$ параллельна гипотенузе $AB$, треугольник $NMC$ подобен треугольнику $ABC$.

Высота треугольника $NMC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $MN$, будет равна разности высоты $CD$ всего треугольника и высоты прямоугольника $x$. То есть, ее длина составляет $2-x$. Из подобия треугольников $NMC$ и $ABC$ следует, что отношение их оснований (сторон $MN$ и $AB$) равно отношению их высот:$\frac{MN}{AB} = \frac{\text{высота } \triangle NMC}{\text{высота } \triangle ABC}$Подставим известные значения и переменные ($MN = y$, $AB = 4$, высота $\triangle NMC = 2-x$, высота $\triangle ABC = CD = 2$):$\frac{y}{4} = \frac{2-x}{2}$Выразим ширину прямоугольника $y$ через его высоту $x$:$y = 4 \cdot \frac{2-x}{2} = 2(2-x) = 4 - 2x$.

Площадь прямоугольника $S$ является произведением его сторон:$S(x) = x \cdot y = x(4 - 2x) = 4x - 2x^2$.

Чтобы найти стороны прямоугольника с наибольшей площадью, необходимо найти значение $x$, при котором функция $S(x) = -2x^2 + 4x$ достигает своего максимума. Эта функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины параболы вида $f(x)=ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.Для нашей функции $a=-2$ и $b=4$.$x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.Это значение высоты $x=1$ см находится в допустимом интервале $(0, 2)$, так как высота прямоугольника не может быть отрицательной или большей, чем высота треугольника $CD$.

Итак, одна из сторон прямоугольника (его высота), при которой площадь максимальна, равна $1$ см.Теперь найдем длину второй стороны (ширины):$y = 4 - 2x = 4 - 2 \cdot 1 = 2$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника наибольшей площади равны $1$ см и $2$ см.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 1 см и 2 см.

40. 1) Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, значение суммы квадратов которых будет наименьшим.

2) Число 32 представлено в виде произведения двух положительных множителей. Найдите значения этих множителей, чтобы значение суммы одного из них на квадратный корень из другого было наименьшим.

1) Пусть два положительных числа это $x$ и $y$. По условию задачи, их произведение равно 16, а сами числа являются положительными:

$x \cdot y = 16$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Требуется найти наименьшее значение суммы их квадратов. Обозначим эту сумму как $S$:

$S = x^2 + y^2$.

Чтобы найти минимум, выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения получаем $y = \frac{16}{x}$. Подставим это выражение в формулу для суммы $S$, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x^2 + \left(\frac{16}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$.

Для нахождения наименьшего значения функции найдем ее производную по $x$ и приравняем ее к нулю.

$S'(x) = \left(x^2 + 256x^{-2}\right)' = 2x - 2 \cdot 256x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$2x - \frac{512}{x^3} = 0$

$2x = \frac{512}{x^3}$

$2x^4 = 512$

$x^4 = 256$

Поскольку по условию $x$ — положительное число, мы берем только положительный корень: $x = \sqrt[4]{256} = 4$.

Чтобы убедиться, что $x=4$ является точкой минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(x) = \left(2x - 512x^{-3}\right)' = 2 - 512(-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$.

При $x=4$ значение второй производной $S''(4) = 2 + \frac{1536}{4^4} = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8$.

Так как $S''(4) > 0$, точка $x=4$ действительно является точкой минимума.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$.

Следовательно, число 16 нужно представить в виде произведения чисел 4 и 4, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Ответ: 4 и 4.

2) Пусть два положительных множителя это $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 32:

$x \cdot y = 32$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Нам нужно найти такие значения множителей, чтобы сумма одного из них и квадратного корня из другого была наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$. Существует два варианта для этой суммы: $S_1 = x + \sqrt{y}$ или $S_2 = y + \sqrt{x}$. Найдем значение, которое минимизирует эту сумму.

Рассмотрим первый случай, минимизацию функции $S_1(x) = x + \sqrt{y}$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{32}{x}$.

$S_1(x) = x + \sqrt{\frac{32}{x}} = x + \sqrt{32}x^{-1/2}$.

Найдем производную этой функции по $x$:

$S_1'(x) = \left(x + \sqrt{32}x^{-1/2}\right)' = 1 + \sqrt{32} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = 1 - \frac{4\sqrt{2}}{2x^{3/2}} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{x^{3/2}}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$1 - \frac{2\sqrt{2}}{x^{3/2}} = 0 \implies x^{3/2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(x^{3/2}\right)^2 = (\sqrt{8})^2 \implies x^3 = 8$.

Отсюда $x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{32}{x} = \frac{32}{2} = 16$.

В этом случае множители равны 2 и 16, а наименьшее значение суммы составляет $S_1 = x + \sqrt{y} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$.

Если бы мы рассматривали второй случай, $S_2 = y + \sqrt{x}$, то аналогичные вычисления привели бы нас к результату $x=16$ и $y=2$. Значение суммы при этом было бы таким же: $S_2 = y + \sqrt{x} = 2 + \sqrt{16} = 6$.

В обоих случаях наименьшее значение суммы равно 6, и оно достигается, когда множителями являются числа 2 и 16.

Ответ: 2 и 16.

*41. К графику функции $y = 6x - x^2$ проведены две касательные. Одна касательная в точке графика функции с абсциссой $x_0 = -2$, другая — в точке максимума данной функции. Найдите площадь треугольника, образованного двумя этими касательными и осью ординат.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти уравнения двух касательных, определить вершины треугольника, образованного этими касательными и осью ординат, и, наконец, вычислить его площадь.

1. Нахождение уравнения первой касательной

Первая касательная проведена к графику функции $y = 6x - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, где $f(x) = 6x - x^2$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (6x - x^2)' = 6 - 2x$.

Теперь вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = 6(-2) - (-2)^2 = -12 - 4 = -16$.

$f'(-2) = 6 - 2(-2) = 6 + 4 = 10$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -16 + 10(x - (-2))$

$y = -16 + 10(x + 2)$

$y = -16 + 10x + 20$

$y = 10x + 4$.

Это уравнение первой касательной.

2. Нахождение уравнения второй касательной

Вторая касательная проведена в точке максимума функции $y = 6x - x^2$.

Чтобы найти точку максимума, приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$6 - 2x = 0$

$2x = 6$

$x = 3$.

Это абсцисса точки максимума (поскольку вторая производная $f''(x) = -2 < 0$, это действительно максимум).

Теперь найдем координаты точки касания. Абсцисса $x_1 = 3$.

Ордината: $f(3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$.

Наклон касательной в точке максимума равен значению производной в этой точке: $f'(3) = 6 - 2(3) = 0$.

Уравнение второй касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$

$y = 9 + 0(x - 3)$

$y = 9$.

Это уравнение второй касательной (горизонтальная прямая).

3. Нахождение вершин треугольника

Треугольник образован тремя прямыми:

1. Первая касательная: $y = 10x + 4$

2. Вторая касательная: $y = 9$

3. Ось ординат: $x = 0$

Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих прямых.

Вершина A (пересечение двух касательных):

Приравняем уравнения $y = 10x + 4$ и $y = 9$:

$10x + 4 = 9$

$10x = 5$

$x = 0.5$.

Координата $y$ равна 9. Таким образом, вершина A имеет координаты $(0.5, 9)$.

Вершина B (пересечение первой касательной с осью ординат):

Подставим $x = 0$ в уравнение $y = 10x + 4$:

$y = 10(0) + 4 = 4$.

Вершина B имеет координаты $(0, 4)$.

Вершина C (пересечение второй касательной с осью ординат):

Подставим $x = 0$ в уравнение $y = 9$:

$y = 9$.

Вершина C имеет координаты $(0, 9)$.

4. Вычисление площади треугольника

Мы получили треугольник с вершинами A(0.5, 9), B(0, 4), C(0, 9).

За основание треугольника можно взять отрезок BC, который лежит на оси ординат. Длина этого основания равна разности y-координат точек C и B:

$b = |9 - 4| = 5$.

Высота треугольника, проведенная из вершины A к основанию BC (лежащему на оси Y), равна перпендикулярному расстоянию от точки A до оси Y. Это расстояние равно абсциссе точки A.

$h = 0.5$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 2.5 = 1.25$.

Ответ: 1.25.

42. Первый оператор на компьютере набирает рукопись за 9 ч, второй оператор — за 6 ч. После того как первый оператор работал 3 ч, ему поручили другую работу. Оставшуюся часть рукописи набрал второй оператор.

1) За сколько часов второй оператор набрал оставшуюся часть работы?

2) За какое время выполнена вся работа?

3) Если половину рукописи наберет один оператор, вторую половину — другой оператор, то за какое время выполнится вся работа?

4) Если оба оператора одновременно набирают рукопись, то за какое время будет выполнена вся работа?

5) За выполненную работу операторам оплатили 9 000 тг. Какую сумму получит каждый оператор при совместной работе?

1) За сколько часов второй оператор набрал оставшуюся часть работы?

Сначала определим производительность (скорость работы) каждого оператора. Примем всю рукопись за 1.

Производительность первого оператора составляет $P_1 = \frac{1}{9}$ часть рукописи в час.

Производительность второго оператора составляет $P_2 = \frac{1}{6}$ часть рукописи в час.

Первый оператор работал 3 часа и выполнил часть работы: $A_1 = P_1 \times t_1 = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ рукописи.

После этого осталась невыполненной часть работы: $A_{ост} = 1 - A_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ рукописи.

Эту оставшуюся часть набрал второй оператор. Найдем время, которое ему для этого потребовалось: $t_2 = \frac{A_{ост}}{P_2} = \frac{2/3}{1/6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{12}{3} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

2) За какое время выполнена вся работа?

Общее время выполнения работы равно сумме времени, которое работал первый оператор, и времени, которое работал второй оператор.

Время работы первого оператора: $t_1 = 3$ часа.

Время работы второго оператора: $t_2 = 4$ часа (из предыдущего пункта).

Общее время: $T_{общ} = t_1 + t_2 = 3 + 4 = 7$ часов.

Ответ: 7 часов.

3) Если половину рукописи наберет один оператор, вторую половину — другой оператор, то за какое время выполнится вся работа?

В этом случае каждый оператор выполняет половину работы ($A = \frac{1}{2}$).

Время, за которое первый оператор наберет половину рукописи: $t_1 = \frac{1/2}{P_1} = \frac{1/2}{1/9} = \frac{9}{2} = 4,5$ часа.

Время, за которое второй оператор наберет половину рукописи: $t_2 = \frac{1/2}{P_2} = \frac{1/2}{1/6} = \frac{6}{2} = 3$ часа.

Общее время выполнения всей работы будет суммой времени работы обоих операторов: $T_{общ} = 4,5 + 3 = 7,5$ часов.

Ответ: 7,5 часов.

4) Если оба оператора одновременно набирают рукопись, то за какое время будет выполнена вся работа?

При одновременной работе их производительности складываются.

Общая производительность: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18: $P_{общ} = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$ рукописи в час.

Время, за которое они выполнят всю работу вместе: $T_{совм} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{5/18} = \frac{18}{5} = 3,6$ часа.

Можно перевести в часы и минуты: $3$ часа и $0,6 \times 60 = 36$ минут.

Ответ: 3,6 часа.

5) За выполненную работу операторам оплатили 9 000 тг. Какую сумму получит каждый оператор при совместной работе?

Оплата должна быть распределена пропорционально объему работы, выполненному каждым оператором во время совместной работы (сценарий из пункта 4).

Время совместной работы: $T_{совм} = 3,6$ часа.

Объем работы первого оператора: $A_1 = P_1 \times T_{совм} = \frac{1}{9} \times 3,6 = 0,4$ всей рукописи.

Объем работы второго оператора: $A_2 = P_2 \times T_{совм} = \frac{1}{6} \times 3,6 = 0,6$ всей рукописи.

Сумма для первого оператора: $9000 \times A_1 = 9000 \times 0,4 = 3600$ тг.

Сумма для второго оператора: $9000 \times A_2 = 9000 \times 0,6 = 5400$ тг.

Ответ: первый оператор получит 3600 тг, а второй — 5400 тг.