Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

19.4.1) $ \cos x = -0,7; $

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{5}}{4}; $

3) $ \cos x = 0,3; $

4) $ \operatorname{ctg} x = -5; $

5) $ \operatorname{tg} x = 0; $

6) $ \sin x = -1. $

1) Дано тригонометрическое уравнение $\cos x = -0,7$. Общее решение уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -0,7$, и так как $|-0,7| \le 1$, уравнение имеет решение. Подставляя значение $a$, получаем: $x = \pm \arccos(-0,7) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(-0,7) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано тригонометрическое уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{5}}{4}$. Общее решение уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие для $a = -\frac{\sqrt{5}}{4}$. Так как $4^2 = 16$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$, то $5 < 16$, значит $\sqrt{5} < 4$ и $|\frac{\sqrt{5}}{4}| < 1$. Следовательно, $|-\frac{\sqrt{5}}{4}| < 1$, и уравнение имеет решение. Подставляем значение $a$: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{5}}{4}) + \pi k$. Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$, получаем: $x = (-1)^k (-\arcsin(\frac{\sqrt{5}}{4})) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано тригонометрическое уравнение $\cos x = 0,3$. Это уравнение вида $\cos x = a$ с $a = 0,3$. Так как $|0,3| \le 1$, решение существует и находится по общей формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставляем значение $a$: $x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = -5$. Общее решение уравнения вида $\text{ctg } x = a$ определяется для любого действительного числа $a$ по формуле $x = \text{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -5$. Подставляя это значение в формулу, получаем решение: $x = \text{arcctg}(-5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arcctg}(-5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано тригонометрическое уравнение $\text{tg } x = 0$. Это частный случай уравнения $\text{tg } x = a$. Общее решение находится по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставляем $a = 0$: $x = \text{arctg}(0) + \pi k$. Поскольку $\text{arctg}(0) = 0$, решение упрощается до $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано тригонометрическое уравнение $\sin x = -1$. Это частный случай уравнения $\sin x = a$. Решениями этого уравнения являются углы, для которых ордината на единичной окружности равна -1. Это происходит в точке с углом $-\frac{\pi}{2}$ и во всех точках, отличающихся на целое число полных оборотов ($2\pi$). Таким образом, решение можно записать в виде $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

19.5.1) $\sin2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\cos3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin2x = -\frac{1}{2}$;

4) $\text{tg}0{,}5x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

5) $\sin4x = 0$;

6) $\text{ctg}3x = -1$.

1) Дано уравнение $\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Арксинус этого значения является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k}{2}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

2) Дано уравнение $\cos(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $t = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арккосинус этого значения является табличным: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3}$

$x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in Z$.

3) Дано уравнение $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Находим арксинус: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$, где $k \in Z$.

Используя свойство степеней $(-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1}$, можем записать:

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k}{2}$

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

4) Дано уравнение $\operatorname{tg}(0,5x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\operatorname{tg}(t) = a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В данном уравнении $t = 0,5x = \frac{x}{2}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ не является стандартным табличным значением для тангенса, поэтому арктангенс записывается в общем виде: $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

$\frac{x}{2} = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (-\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k)$

$x = -2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = -2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, $k \in Z$.

5) Дано уравнение $\sin(4x) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\sin(t) = 0$ имеет вид $t = \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $t = 4x$.

Приравниваем аргумент синуса к решению:

$4x = \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$, $k \in Z$.

6) Дано уравнение $\operatorname{ctg}(3x) = -1$.

Общее решение для уравнения $\operatorname{ctg}(t) = a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В данном уравнении $t = 3x$ и $a = -1$.

Находим арккотангенс, это табличное значение: $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{3\pi}{4} + \pi k}{3}$

$x = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.

19.6.1) $ \sin 2x = 1,2 $;

2) $ \cos 3x = \sqrt{2} $;

3) $ \sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{2} $;

4) $ \tan 5x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

5) $ \cos 4x = 0 $;

6) $ \cot(-3x) = -1 $.

1) Дано уравнение $sin(2x) = 1,2$.

Область значений функции синус, $y = \sin(\alpha)$, есть промежуток $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного угла $\alpha$, значение $\sin(\alpha)$ не может быть больше 1 или меньше -1.

В данном уравнении правая часть равна $1,2$, что больше 1. Так как $1,2 > 1$, это значение выходит за пределы области значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

2) Дано уравнение $cos(3x) = \sqrt{2}$.

Область значений функции косинус, $y = \cos(\alpha)$, также есть промежуток $[-1; 1]$.

Значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1,414$. Так как $\sqrt{2} > 1$, это значение выходит за пределы области значений функции косинус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

3) Дано уравнение $\sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot ((-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n)$

$x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{6} + 3\pi n$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in Z$.

4) Дано уравнение $tg(5x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $tg(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 5x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$5x = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Используем свойство нечетности арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$:

$5x = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = -\frac{1}{5}arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{1}{5}arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.

5) Дано уравнение $cos(4x) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $\cos(t) = 0$ имеет решение $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 4x$.

Подставляем в формулу для частного случая:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

6) Дано уравнение $ctg(-3x) = -1$.

Используем свойство нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.

Уравнение принимает вид: $-ctg(3x) = -1$.

Умножим обе части на -1, получим: $ctg(3x) = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ctg(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 3x$ и $a = 1$.

Найдем арккотангенс: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{4 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

19.7.1) $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

2) $ \cos(-3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \sin(2(x - 1)) = -\frac{1}{2}; $

4) $ \text{tg}(0.5x + 2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

5) $ \sin(4x - 1) = 0; $

6) $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = 1. $

1) Решим уравнение $sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его решения можно найти, используя две серии решений: $t = \alpha + 2\pi n$ и $t = \pi - \alpha + 2\pi n$, где $\alpha = \arcsin(a)$ и $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = 2x - \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Основное значение угла: $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Рассмотрим обе серии решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

2) $2x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos(-3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Уравнение принимает вид: $cos(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это тригонометрическое уравнение вида $cos(t) = a$. Его решения находятся по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$3x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $sin(2(x - 1)) = -\frac{1}{2}$.

Раскроем скобки в аргументе синуса: $sin(2x - 2) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 2x - 2$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$2x - 2 = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$2x - 2 = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$:

$2x = 2 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = 1 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = 1 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $tg(0,5x + 2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это тригонометрическое уравнение вида $tg(t) = a$. Его решения находятся по формуле $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = 0,5x + 2$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ не является табличным для тангенса, решение выражается через арктангенс.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

$0,5x + 2 = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

$0,5x + 2 = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Выразим $x$:

$0,5x = -2 - \operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = -4 - 2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$.

Ответ: $x = -4 - 2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $sin(4x - 1) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

Уравнение $sin(t) = 0$ имеет решение $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x - 1$.

$4x - 1 = \pi n$

Выразим $x$:

$4x = 1 + \pi n$

$x = \frac{1 + \pi n}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{4}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $ctg(\frac{\pi}{4} - 2x) = 1$.

Это тригонометрическое уравнение вида $ctg(t) = a$. Его решения находятся по формуле $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = \frac{\pi}{4} - 2x$ и $a = 1$.

Значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{\pi}{4} - 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$-2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$-2x = \pi n$

$x = -\frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

19.8.1) $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\cos(2 - 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin(3(x + 1)) = \frac{1}{2}$;

4) $\operatorname{tg}(5x - 2) = -\sqrt{3}$;

5) $\sin(4x - 3) = -1$;

6) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + 3x\right) = 1$.

1) Решим уравнение $\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x + \frac{\pi}{6}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставим значения в общую формулу:

$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n$

$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим $x$:

$2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos(2 - 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\cos(2 - 3x) = \cos(3x - 2)$.

Получаем уравнение $\cos(3x - 2) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 3x - 2$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем арккосинус: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставим значения в общую формулу:

$3x - 2 = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$:

$3x = 2 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{2}{3} \pm \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3}$

$x = \frac{2}{3} \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3} \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sin(3(x + 1)) = \frac{1}{2}$.

Раскроем скобки в аргументе: $\sin(3x + 3) = \frac{1}{2}$.

Общее решение для $\sin(t) = a$ есть $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 3x + 3$ и $a = \frac{1}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим в формулу:

$3x + 3 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$:

$3x = -3 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{-3}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3}$

$x = -1 + (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -1 + (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\text{tg}(5x - 2) = -\sqrt{3}$.

Общее решение для $\text{tg}(t) = a$ есть $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 5x - 2$ и $a = -\sqrt{3}$.

Найдем арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставим в формулу:

$5x - 2 = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Выразим $x$:

$5x = 2 - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$x = \frac{2}{5} - \frac{\pi}{3 \cdot 5} + \frac{\pi n}{5}$

$x = \frac{2}{5} - \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{5} - \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\sin(4x - 3) = -1$.

Это частный случай уравнения $\sin(t) = a$. Решение для $\sin(t) = -1$ имеет вид $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 4x - 3$.

Подставляем:

$4x - 3 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Выражаем $x$:

$4x = 3 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{2 \cdot 4} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $\text{ctg}(\frac{\pi}{3} + 3x) = 1$.

Общее решение для $\text{ctg}(t) = a$ есть $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{\pi}{3} + 3x$ и $a = 1$.

Найдем арккотангенс: $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим в формулу:

$\frac{\pi}{3} + 3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$3x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$3x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi n$

$3x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3}$

$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

19.9.1) $sin3x \cdot cos4x + cos3x \cdot sin4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;$

2) $sin5x \cdot cos3x - cos5x \cdot sin3x = -0,5$;$

3) $cos8x \cdot cos4x + sin8x \cdot sin4x = -\frac{1}{2}$;$

4) $cos3x \cdot cos4x - sin3x \cdot sin4x = \frac{1}{2}$.$

1) Исходное уравнение: $sin3x \cdot cos4x + cos3x \cdot sin4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 4x$.

Получаем: $sin(3x + 4x) = sin(7x)$.

Уравнение принимает вид: $sin(7x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n \cdot arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 7x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$7x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$x = \frac{(-1)^n \pi}{21} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{21} + \frac{\pi n}{7}, n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $sin5x \cdot cos3x - cos5x \cdot sin3x = -0,5$.

Левая часть уравнения является формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.

Получаем: $sin(5x - 3x) = sin(2x)$.

Уравнение принимает вид: $sin(2x) = -0,5$ или $sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для $sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n \cdot arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Так как $arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $cos8x \cdot cos4x + sin8x \cdot sin4x = -\frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 8x$ и $\beta = 4x$.

Получаем: $cos(8x - 4x) = cos(4x)$.

Уравнение принимает вид: $cos(4x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для $cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 4x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Так как $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $cos3x \cdot cos4x - sin3x \cdot sin4x = \frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения является формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 4x$.

Получаем: $cos(3x + 4x) = cos(7x)$.

Уравнение принимает вид: $cos(7x) = \frac{1}{2}$.

Общее решение для $cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 7x$ и $a = \frac{1}{2}$. Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$7x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}, n \in Z$.

19.10. 1) $\sin x + \sin 3x = 0;$

2) $\sin 7x - \sin 3x = 0;$

3) $\cos 3x + \cos x = 0;$

4) $\cos 3x - \cos x = 0.$

1) Исходное уравнение: $sin(x) + sin(3x) = 0$.

Для решения воспользуемся формулой суммы синусов: $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

Запишем уравнение в виде $sin(3x) + sin(x) = 0$ и применим формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$2sin(\frac{3x + x}{2})cos(\frac{3x - x}{2}) = 0$

$2sin(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

а) $sin(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(x) = 0$

Решение этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравним полученные серии решений. Серия $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ является подмножеством серии $x = \frac{k\pi}{2}$. Действительно, если в первой серии взять нечетные значения $k$, например $k = 2n+1$, то мы получим $x = \frac{(2n+1)\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$, что совпадает со второй серией. Таким образом, все решения можно объединить в одну серию.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(7x) - sin(3x) = 0$.

Применим формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha - \beta}{2})cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 3x$:

$2sin(\frac{7x - 3x}{2})cos(\frac{7x + 3x}{2}) = 0$

$2sin(2x)cos(5x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $sin(2x) = 0$

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(5x) = 0$

$5x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{n\pi}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений представляют собой общее решение уравнения.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{n\pi}{5}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos(3x) + cos(x) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

Здесь $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$2cos(\frac{3x + x}{2})cos(\frac{3x - x}{2}) = 0$

$2cos(2x)cos(x) = 0$

Получаем совокупность уравнений:

а) $cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решения представляют собой объединение этих двух серий.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$; $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos(3x) - cos(x) = 0$.

Применим формулу разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

Здесь $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$-2sin(\frac{3x + x}{2})sin(\frac{3x - x}{2}) = 0$

$-2sin(2x)sin(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $sin(2x) = 0$

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin(x) = 0$

$x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравним полученные серии решений. Серия $x = n\pi$ является подмножеством серии $x = \frac{k\pi}{2}$. Если в первой серии взять четные значения $k$, например $k = 2n$, то мы получим $x = \frac{2n\pi}{2} = n\pi$, что совпадает со второй серией. Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

19.11.1) $ \sin 3x \cdot \cos 3x = 0.5; $

2) $ \cos^2 2x - \sin^2 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \sin 2x \cdot \cos 2x = -\frac{1}{2}; $

4) $ \sin^2 3x - \cos^2 3x = -\frac{1}{2}. $

1) Исходное уравнение: $sin3x \cdot cos3x = 0,5$.

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы привести левую часть к виду формулы:

$2sin3x \cdot cos3x = 2 \cdot 0,5$

Применяя формулу, где $\alpha = 3x$, получаем:

$sin(2 \cdot 3x) = 1$

$sin(6x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $sin(y)=1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Подставляем $y=6x$:

$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $cos^2{2x} - sin^2{2x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = 2x$:

$cos(2 \cdot 2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $cos(y)=a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

$4x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$

Поскольку $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:

$4x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим обе части на 4:

$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $sin2x \cdot cos2x = -\frac{1}{2}$.

Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

Умножим обе части уравнения на 2:

$2sin2x \cdot cos2x = 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

Применяя формулу, где $\alpha = 2x$, получаем:

$sin(2 \cdot 2x) = -1$

$sin(4x) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $sin(y)=-1$ имеет вид $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Подставляем $y=4x$:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим обе части на 4:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $sin^2{3x} - cos^2{3x} = -\frac{1}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Вынесем -1 за скобки в левой части уравнения, чтобы привести ее к виду формулы:

$-(cos^2{3x} - sin^2{3x}) = -\frac{1}{2}$

Применим формулу, где $\alpha = 3x$:

$-cos(2 \cdot 3x) = -\frac{1}{2}$

$-cos(6x) = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos(6x) = \frac{1}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$6x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части на 6:

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

19.12. Найдите решение уравнения на указанном интервале:

1) $\cos4x + \sin2x = 0$, $90^\circ < x < 180^\circ$;

2) $\sin5x + \cos4x = 0$, $270^\circ < x < 360^\circ$.

3) $\sin5x - \cos4x = 0$, $360^\circ < x < 450^\circ$;

4) $\cos6x - \sin3x = 0$, $90^\circ < x < 180^\circ$.

1) Решим уравнение $cos(4x) + sin(2x) = 0$ на интервале $90^\circ < x < 180^\circ$.

Используем формулу двойного угла для косинуса $cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)$. Пусть $a=2x$, тогда $cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)$.

Подставим в уравнение: $1 - 2sin^2(2x) + sin(2x) = 0$.

Перепишем в виде квадратного уравнения относительно $sin(2x)$:

$2sin^2(2x) - sin(2x) - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = sin(2x)$, получим уравнение $2y^2 - y - 1 = 0$.

Находим корни квадратного уравнения: $y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $sin(2x) = 1$.

$2x = 90^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 45^\circ + 180^\circ n$.

При $n=0$, $x = 45^\circ$. При $n=1$, $x=225^\circ$. Ни один из этих корней не попадает в интервал $(90^\circ, 180^\circ)$.

Случай 2: $sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

$2x = -30^\circ + 360^\circ k$ или $2x = 180^\circ - (-30^\circ) + 360^\circ k = 210^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -15^\circ + 180^\circ k$ или $x = 105^\circ + 180^\circ k$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $90^\circ < x < 180^\circ$.

Из серии $x = -15^\circ + 180^\circ k$: при $k=1$ получаем $x = -15^\circ + 180^\circ = 165^\circ$. Этот корень подходит.

Из серии $x = 105^\circ + 180^\circ k$: при $k=0$ получаем $x = 105^\circ$. Этот корень также подходит.

Ответ: $105^\circ, 165^\circ$.

2) Решим уравнение $sin(5x) + cos(4x) = 0$ на интервале $270^\circ < x < 360^\circ$.

Перенесем $cos(4x)$ в правую часть: $sin(5x) = -cos(4x)$.

Используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(90^\circ - \alpha)$ и свойство нечетности синуса $-sin(\beta) = sin(-\beta)$.

$sin(5x) = -sin(90^\circ - 4x) = sin(-(90^\circ - 4x)) = sin(4x - 90^\circ)$.

Общее решение уравнения $sin(A) = sin(B)$ имеет вид $A = B + 360^\circ n$ или $A = 180^\circ - B + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 1: $5x = 4x - 90^\circ + 360^\circ n$.

$x = -90^\circ + 360^\circ n$.

Случай 2: $5x = 180^\circ - (4x - 90^\circ) + 360^\circ n$.

$5x = 180^\circ - 4x + 90^\circ + 360^\circ n$.

$9x = 270^\circ + 360^\circ n$.

$x = 30^\circ + 40^\circ n$.

Найдем решения, лежащие в интервале $270^\circ < x < 360^\circ$.

Из серии $x = -90^\circ + 360^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 270^\circ$, что не входит в строгий интервал.

Из серии $x = 30^\circ + 40^\circ n$: подставим в неравенство $270^\circ < 30^\circ + 40^\circ n < 360^\circ$.

$240^\circ < 40^\circ n < 330^\circ$.

$6 < n < 8.25$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=7$ и $n=8$.

При $n=7$, $x = 30^\circ + 40^\circ \cdot 7 = 310^\circ$.

При $n=8$, $x = 30^\circ + 40^\circ \cdot 8 = 350^\circ$.

Оба корня принадлежат заданному интервалу.

Ответ: $310^\circ, 350^\circ$.

3) Решим уравнение $sin(5x) - cos(4x) = 0$ на интервале $360^\circ < x < 450^\circ$.

Перепишем уравнение как $sin(5x) = cos(4x)$.

Используя формулу приведения $cos(\alpha) = sin(90^\circ - \alpha)$, получим:

$sin(5x) = sin(90^\circ - 4x)$.

Решения этого уравнения: $A = B + 360^\circ n$ или $A = 180^\circ - B + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 1: $5x = 90^\circ - 4x + 360^\circ n$.

$9x = 90^\circ + 360^\circ n$.

$x = 10^\circ + 40^\circ n$.

Случай 2: $5x = 180^\circ - (90^\circ - 4x) + 360^\circ n$.

$5x = 180^\circ - 90^\circ + 4x + 360^\circ n$.

$x = 90^\circ + 360^\circ n$.

Найдем решения, лежащие в интервале $360^\circ < x < 450^\circ$.

Из серии $x = 10^\circ + 40^\circ n$: подставим в неравенство $360^\circ < 10^\circ + 40^\circ n < 450^\circ$.

$350^\circ < 40^\circ n < 440^\circ$.

$8.75 < n < 11$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=9$ и $n=10$.

При $n=9$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 9 = 370^\circ$.

При $n=10$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 10 = 410^\circ$.

Из серии $x = 90^\circ + 360^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 450^\circ$, что не входит в строгий интервал.

Ответ: $370^\circ, 410^\circ$.

4) Решим уравнение $cos(6x) - sin(3x) = 0$ на интервале $90^\circ < x < 180^\circ$.

Перепишем уравнение как $cos(6x) = sin(3x)$.

Используем формулу двойного угла $cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)$. Пусть $a=3x$, тогда $cos(6x) = 1 - 2sin^2(3x)$.

Уравнение принимает вид: $1 - 2sin^2(3x) = sin(3x)$.

$2sin^2(3x) + sin(3x) - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = sin(3x)$, получим $2y^2 + y - 1 = 0$.

Находим корни: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения: $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $sin(3x) = \frac{1}{2}$.

$3x = 30^\circ + 360^\circ n$ или $3x = 150^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 10^\circ + 120^\circ n$ или $x = 50^\circ + 120^\circ n$.

Случай 2: $sin(3x) = -1$.

$3x = -90^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -30^\circ + 120^\circ k$.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $90^\circ < x < 180^\circ$.

Из серии $x = 10^\circ + 120^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 10^\circ + 120^\circ = 130^\circ$. Корень подходит.

Из серии $x = 50^\circ + 120^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 50^\circ + 120^\circ = 170^\circ$. Корень подходит.

Из серии $x = -30^\circ + 120^\circ k$: при $k=1$ получаем $x = -30^\circ + 120^\circ = 90^\circ$, что не входит в строгий интервал. При $k=2$ корень $x=210^\circ$ также не подходит.

Ответ: $130^\circ, 170^\circ$.

*66.

Найдите функцию $f(x)$, если для всех $x \ne 0$, $x \ne 1$ выполняется

$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x.$

67.

Дано функциональное уравнение: $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$. Оно должно выполняться для всех $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановок. Сделаем последовательные замены переменной $x$, чтобы получить систему уравнений, которую затем решим относительно $f(x)$.

Исходное уравнение обозначим как (1):

$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$

Заменим в уравнении (1) переменную $x$ на $\frac{1}{1-x}$. Аргумент второй функции при этом станет $\frac{1}{1 - \frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}$. В результате получим второе уравнение (2):

$f\left(\frac{1}{1-x}\right) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}$

Теперь заменим в уравнении (1) переменную $x$ на $\frac{x-1}{x}$. Аргумент второй функции станет $\frac{1}{1 - \frac{x-1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-(x-1)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$. Таким образом, мы получаем третье уравнение (3):

$f\left(\frac{x-1}{x}\right) + f(x) = \frac{x-1}{x}$

Мы получили систему из трех линейных уравнений относительно $f(x)$, $f\left(\frac{1}{1-x}\right)$ и $f\left(\frac{x-1}{x}\right)$.

(1) $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$

(2) $f\left(\frac{1}{1-x}\right) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}$

(3) $f(x) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{x-1}{x}$

Решим эту систему методом подстановки. Из уравнения (1) выразим $f\left(\frac{1}{1-x}\right)$:

$f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x - f(x)$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$(x - f(x)) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}$

Отсюда выразим $f\left(\frac{x-1}{x}\right)$:

$f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x} - x + f(x)$.

Теперь подставим полученное выражение для $f\left(\frac{x-1}{x}\right)$ в уравнение (3):

$\left(\frac{1}{1-x} - x + f(x)\right) + f(x) = \frac{x-1}{x}$

$\frac{1}{1-x} - x + 2f(x) = \frac{x-1}{x}$

Выразим из последнего уравнения $2f(x)$:

$2f(x) = \frac{x-1}{x} - \frac{1}{1-x} + x$

$2f(x) = x + \frac{x-1}{x} + \frac{1}{x-1}$

Разделив на 2, получим выражение для $f(x)$. Для получения окончательного вида функции, упростим выражение, приведя его к общему знаменателю $x(x-1)$:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{x-1}{x} + \frac{1}{x-1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{x \cdot x(x-1) + (x-1)(x-1) + 1 \cdot x}{x(x-1)}\right)$

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^3 - x^2 + x^2 - 2x + 1 + x}{x(x-1)}\right) = \frac{x^3 - x + 1}{2x(x-1)}$

Ответ: $f(x) = \frac{x^3 - x + 1}{2x(x-1)}$.

67. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 5\left(\frac{x}{3} + \frac{4}{x}\right); $

2) $ \frac{x^2 - 6x - 9}{x} = \frac{x^2 - 4x - 9}{x^2 - 6x - 9}; $

3) $ x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} = 3; $

4) $ x^2 + \frac{9x^2}{(x - 3)^2} = 7. $

1) $\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 5\left(\frac{x}{3} + \frac{4}{x}\right)$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Раскроем скобки в правой части: $\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = \frac{5x}{3} + \frac{20}{x}$.

Это уравнение является симметрическим (возвратным). Заметим, что левая и правая части связаны. Введем замену: $t = \frac{x}{3} + \frac{4}{x}$.

Возведем $t$ в квадрат:

$t^2 = \left(\frac{x}{3} + \frac{4}{x}\right)^2 = \left(\frac{x}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{9} + \frac{8}{3} + \frac{16}{x^2}$.

Выразим из этого равенства выражение, похожее на левую часть исходного уравнения: $\frac{x^2}{9} + \frac{16}{x^2} = t^2 - \frac{8}{3}$.

Левая часть исходного уравнения: $\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 3 \cdot \left(\frac{x^2}{9} + \frac{16}{x^2}\right)$.

Подставим выражение для суммы квадратов: $3 \cdot \left(t^2 - \frac{8}{3}\right) = 3t^2 - 8$.

Теперь исходное уравнение можно переписать через $t$: $3t^2 - 8 = 5t$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 5t - 8 = 0$.

Решаем его через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$; $t_2 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t = \frac{8}{3}$.

$\frac{x}{3} + \frac{4}{x} = \frac{8}{3}$.

Умножим обе части на $3x$ (т.к. $x \ne 0$): $x^2 + 12 = 8x$.

$x^2 - 8x + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 6$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t = -1$.

$\frac{x}{3} + \frac{4}{x} = -1$.

Умножим обе части на $3x$: $x^2 + 12 = -3x$.

$x^2 + 3x + 12 = 0$.

Дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 9 - 48 = -39$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Ответ: $2; 6$.

2) $\frac{x^2 - 6x - 9}{x} = \frac{x^2 - 4x - 9}{x^2 - 6x - 9}$

ОДЗ: $x \ne 0$ и $x^2 - 6x - 9 \ne 0$.

Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x^2 - 6x - 9$.

Заметим, что числитель правой дроби можно выразить через $y$: $x^2 - 4x - 9 = (x^2 - 6x - 9) + 2x = y + 2x$.

Подставим $y$ в исходное уравнение: $\frac{y}{x} = \frac{y + 2x}{y}$.

По свойству пропорции (перекрестное умножение): $y^2 = x(y + 2x)$.

$y^2 = xy + 2x^2$.

$y^2 - xy - 2x^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Разделим его на $x^2$ (мы знаем, что $x \ne 0$):

$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - \frac{y}{x} - 2 = 0$.

Сделаем еще одну замену $u = \frac{y}{x}$. Получим квадратное уравнение: $u^2 - u - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $u_1 = 2$, $u_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $u = 2$.

$\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$.

$x^2 - 6x - 9 = 2x \implies x^2 - 8x - 9 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 9$, $x_2 = -1$. Проверим их по ОДЗ: $x^2 - 6x - 9 \ne 0$.

Для $x=9$: $9^2 - 6(9) - 9 = 81 - 54 - 9 = 18 \ne 0$.

Для $x=-1$: $(-1)^2 - 6(-1) - 9 = 1 + 6 - 9 = -2 \ne 0$. Оба корня подходят.

Случай 2: $u = -1$.

$\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$.

$x^2 - 6x - 9 = -x \implies x^2 - 5x - 9 = 0$.

Решаем через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 25 + 36 = 61$.

Корни $x_3 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$, $x_4 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$. Эти корни не обращают в ноль знаменатель $x^2 - 6x - 9$, так как для этого потребовалось бы, чтобы $y=0$, а у нас $y=-x$. Если $y=0$ и $y=-x$, то $x=0$, что не входит в ОДЗ. Значит, эти корни также являются решениями.

Ответ: $-1; 9; \frac{5 - \sqrt{61}}{2}; \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$.

3) $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = 3$

ОДЗ: $(x+1)^2 \ne 0 \implies x \ne -1$.

Перепишем уравнение в виде $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 3$.

Это выражение вида $a^2+b^2$. Дополним его до полного квадрата разности: $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.

Пусть $a=x$ и $b=\frac{x}{x+1}$.

$a-b = x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)-x}{x+1} = \frac{x^2+x-x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{2x^2}{x+1}$.

Подставим эти выражения в формулу полного квадрата: $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 + \frac{2x^2}{x+1}$.

Исходное уравнение примет вид: $\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\frac{x^2}{x+1} = 3$.

Введем замену $t = \frac{x^2}{x+1}$. Уравнение превращается в квадратное: $t^2 + 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t=1$.

$\frac{x^2}{x+1} = 1 \implies x^2 = x+1 \implies x^2-x-1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.

Корни $x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t=-3$.

$\frac{x^2}{x+1} = -3 \implies x^2 = -3(x+1) \implies x^2+3x+3=0$.

$D = 3^2 - 4(1)(3) = 9-12 = -3$. Так как $D<0$, действительных корней нет.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

4) $x^2 + \frac{9x^2}{(x-3)^2} = 7$

ОДЗ: $(x-3)^2 \ne 0 \implies x \ne 3$.

Перепишем уравнение в виде $x^2 + \left(\frac{3x}{x-3}\right)^2 = 7$.

Это выражение вида $a^2+b^2$. Дополним его до полного квадрата суммы: $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Пусть $a=x$ и $b=\frac{3x}{x-3}$.

$a+b = x + \frac{3x}{x-3} = \frac{x(x-3)+3x}{x-3} = \frac{x^2-3x+3x}{x-3} = \frac{x^2}{x-3}$.

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{3x}{x-3} = \frac{6x^2}{x-3}$.

Подставим эти выражения в формулу полного квадрата: $x^2 + \left(\frac{3x}{x-3}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{x-3}\right)^2 - \frac{6x^2}{x-3}$.

Исходное уравнение примет вид: $\left(\frac{x^2}{x-3}\right)^2 - 6\frac{x^2}{x-3} = 7$.

Введем замену $t = \frac{x^2}{x-3}$. Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 7$, $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t=7$.

$\frac{x^2}{x-3} = 7 \implies x^2 = 7(x-3) \implies x^2-7x+21 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4(1)(21) = 49 - 84 = -35$. Так как $D<0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t=-1$.

$\frac{x^2}{x-3} = -1 \implies x^2 = -(x-3) \implies x^2+x-3=0$.

$D = 1^2 - 4(1)(-3) = 1+12=13$.

Корни $x_1 = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$, $x_2 = \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.

68. Решите уравнение $2\cos^4x - 3\sin^2x = a$, если один из его корней

равен $\frac{\pi}{6}$.

Поскольку $x = \frac{\pi}{6}$ является одним из корней уравнения, мы можем подставить это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

1. Нахождение параметра a

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение $2\cos^4 x - 3\sin^2 x = a$.

Нам известны значения тригонометрических функций для этого угла:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставляем эти значения в уравнение:

$a = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2$

$a = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right)$

$a = \frac{18}{16} - \frac{3}{4} = \frac{9}{8} - \frac{3}{4}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$a = \frac{9}{8} - \frac{6}{8} = \frac{3}{8}$

Итак, мы нашли значение параметра $a = \frac{3}{8}$.

2. Решение уравнения

Теперь решаем уравнение с найденным значением $a$:

$2\cos^4 x - 3\sin^2 x = \frac{3}{8}$

Для решения этого уравнения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Заменим $\sin^2 x$ в уравнении:

$2\cos^4 x - 3(1 - \cos^2 x) = \frac{3}{8}$

$2\cos^4 x - 3 + 3\cos^2 x = \frac{3}{8}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2\cos^4 x + 3\cos^2 x - 3 - \frac{3}{8} = 0$

$2\cos^4 x + 3\cos^2 x - \frac{27}{8} = 0$

Умножим все уравнение на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

$16\cos^4 x + 24\cos^2 x - 27 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos^2 x$. Поскольку $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $0 \le t \le 1$.

$16t^2 + 24t - 27 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-27) = 576 + 1728 = 2304$

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{-24 + 48}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-24 - 48}{2 \cdot 16} = \frac{-72}{32} = -\frac{9}{4}$

Корень $t_2 = -\frac{9}{4}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_1 = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$. Выполняем обратную замену:

$\cos^2 x = \frac{3}{4}$

Отсюда получаем два простейших уравнения:

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения первого уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Эти два множества решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

*69.

1) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a+2)\sin x-3>0$ выполняется при всех значениях $x$?

2) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a-1)\cos x-2<0$ выполняется при всех значениях $x$?

1) Необходимо найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a + 2)\sin x - 3 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Перепишем неравенство в виде $(a + 2)\sin x > 3$.

Для того чтобы неравенство выполнялось при любом значении $x$, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее (минимальное) значение функции $f(x) = (a + 2)\sin x - 3$ было строго больше нуля. То есть, $\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) > 0$.

Значения функции $\sin x$ лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Рассмотрим три возможных случая для коэффициента $k = a + 2$.

Случай 1. Коэффициент $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \sin x - 3 > 0$, что упрощается до $-3 > 0$. Это неверно. Следовательно, $a = -2$ не является решением.

Случай 2. Коэффициент $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$.

Так как $a + 2$ — положительное число, наименьшее значение произведения $(a + 2)\sin x$ достигается при наименьшем значении $\sin x$, то есть при $\sin x = -1$.

$\min f(x) = (a + 2) \cdot (-1) - 3 = -a - 2 - 3 = -a - 5$.

Теперь решим неравенство $\min f(x) > 0$:

$-a - 5 > 0$

$-a > 5$

$a < -5$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > -2 \\ a < -5 \end{cases}$. Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше $-2$ и меньше $-5$.

Случай 3. Коэффициент $a + 2 < 0$, то есть $a < -2$.

Так как $a + 2$ — отрицательное число, наименьшее значение произведения $(a + 2)\sin x$ достигается при наибольшем значении $\sin x$, то есть при $\sin x = 1$.

$\min f(x) = (a + 2) \cdot 1 - 3 = a + 2 - 3 = a - 1$.

Теперь решим неравенство $\min f(x) > 0$:

$a - 1 > 0$

$a > 1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < -2 \\ a > 1 \end{cases}$. Эта система также не имеет решений.

Поскольку ни один из случаев не дал решений, таких значений параметра $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2) Необходимо найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a - 1)\cos x - 2 < 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Перепишем неравенство в виде $(a - 1)\cos x < 2$.

Для того чтобы неравенство выполнялось при любом значении $x$, необходимо и достаточно, чтобы наибольшее (максимальное) значение функции $g(x) = (a - 1)\cos x - 2$ было строго меньше нуля. То есть, $\max_{x \in \mathbb{R}} g(x) < 0$.

Значения функции $\cos x$ лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Рассмотрим три возможных случая для коэффициента $k = a - 1$.

Случай 1. Коэффициент $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \cos x - 2 < 0$, что упрощается до $-2 < 0$. Это верно при любом значении $x$. Следовательно, $a = 1$ является решением.

Случай 2. Коэффициент $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$.

Так как $a - 1$ — положительное число, наибольшее значение произведения $(a - 1)\cos x$ достигается при наибольшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$.

$\max g(x) = (a - 1) \cdot 1 - 2 = a - 1 - 2 = a - 3$.

Теперь решим неравенство $\max g(x) < 0$:

$a - 3 < 0$

$a < 3$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > 1 \\ a < 3 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $a \in (1, 3)$.

Случай 3. Коэффициент $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.

Так как $a - 1$ — отрицательное число, наибольшее значение произведения $(a - 1)\cos x$ достигается при наименьшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = -1$.

$\max g(x) = (a - 1) \cdot (-1) - 2 = -(a - 1) - 2 = -a + 1 - 2 = -a - 1$.

Теперь решим неравенство $\max g(x) < 0$:

$-a - 1 < 0$

$-a < 1$

$a > -1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < 1 \\ a > -1 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $a \in (-1, 1)$.

Объединяя все найденные решения из трех случаев: $a=1$, $a \in (1, 3)$ и $a \in (-1, 1)$, получаем итоговое множество значений для $a$.

$(-1, 1) \cup \{1\} \cup (1, 3) = (-1, 3)$.

Ответ: $a \in (-1, 3)$.

*70. Решите неравенство:

1) $arccos \frac{2-x}{x} < \frac{2\pi}{3};$

2) $arcsin \frac{2-x}{x} \ge \frac{\pi}{6}.$

1) Решим неравенство $\arccos\frac{2-x}{x} < \frac{2\pi}{3}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{2-x}{x} \le 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2-x}{x} \le 1 \\ \frac{2-x}{x} \ge -1 \end{array} \right.$

Решим первое неравенство системы:

$\frac{2-x}{x} - 1 \le 0 \implies \frac{2-x-x}{x} \le 0 \implies \frac{2-2x}{x} \le 0 \implies \frac{1-x}{x} \le 0$.

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$\frac{2-x}{x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2-x+x}{x} \ge 0 \implies \frac{2}{x} \ge 0$.

Отсюда следует, что $x > 0$.

Пересекая решения обоих неравенств, получаем ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Функция $y = \arccos t$ является убывающей на всей области определения, а ее область значений — $[0, \pi]$. Поэтому исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le \arccos\frac{2-x}{x} < \frac{2\pi}{3}$.

Применим ко всем частям этого неравенства функцию косинус. Так как $y = \cos t$ убывает на отрезке $[0, \pi]$, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\cos(0) \ge \cos\left(\arccos\frac{2-x}{x}\right) > \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

$1 \ge \frac{2-x}{x} > -\frac{1}{2}$

Мы получили систему неравенств, которую нужно решить с учетом ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2-x}{x} \le 1 \\ \frac{2-x}{x} > -\frac{1}{2} \end{array} \right.$

Решение первого неравенства мы уже знаем: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2-x}{x} + \frac{1}{2} > 0 \implies \frac{2(2-x)+x}{2x} > 0 \implies \frac{4-2x+x}{2x} > 0 \implies \frac{4-x}{2x} > 0$.

Методом интервалов находим решение: $x \in (0, 4)$.

Находим пересечение решений системы: $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ и $(0, 4)$. Это дает интервал $[1, 4)$.

Данное решение $x \in [1, 4)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \in [1, \infty)$).

Ответ: $x \in [1, 4)$.

2) Решим неравенство $\arcsin\frac{2-x}{x} \ge \frac{\pi}{6}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения такая же, как и в первом пункте, так как аргумент арксинуса также должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{2-x}{x} \le 1$, что дает ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Функция $y = \arcsin t$ является возрастающей на всей области определения, а ее область значений — $[-\pi/2, \pi/2]$. Учитывая это, исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} \le \arcsin\frac{2-x}{x} \le \frac{\pi}{2}$.

Применим ко всем частям этого неравенства функцию синус. Так как $y = \sin t$ возрастает на отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$, знаки неравенства сохраняются:

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \le \sin\left(\arcsin\frac{2-x}{x}\right) \le \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

$\frac{1}{2} \le \frac{2-x}{x} \le 1$

Мы получили систему неравенств, которую нужно решить с учетом ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2-x}{x} \le 1 \\ \frac{2-x}{x} \ge \frac{1}{2} \end{array} \right.$

Решение первого неравенства $\frac{2-x}{x} \le 1$ нам известно: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2-x}{x} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(2-x)-x}{2x} \ge 0 \implies \frac{4-3x}{2x} \ge 0$.

Методом интервалов находим решение: $x \in (0, 4/3]$.

Находим пересечение решений системы: $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ и $(0, 4/3]$. Это дает отрезок $[1, 4/3]$.

Данное решение $x \in [1, 4/3]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \in [1, \infty)$).

Ответ: $x \in [1, 4/3]$.