Номер 19.9, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.9.1) $sin3x \cdot cos4x + cos3x \cdot sin4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;$

2) $sin5x \cdot cos3x - cos5x \cdot sin3x = -0,5$;$

3) $cos8x \cdot cos4x + sin8x \cdot sin4x = -\frac{1}{2}$;$

4) $cos3x \cdot cos4x - sin3x \cdot sin4x = \frac{1}{2}$.$

1) Исходное уравнение: $sin3x \cdot cos4x + cos3x \cdot sin4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 4x$.

Получаем: $sin(3x + 4x) = sin(7x)$.

Уравнение принимает вид: $sin(7x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n \cdot arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 7x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$7x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$x = \frac{(-1)^n \pi}{21} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{21} + \frac{\pi n}{7}, n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $sin5x \cdot cos3x - cos5x \cdot sin3x = -0,5$.

Левая часть уравнения является формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.

Получаем: $sin(5x - 3x) = sin(2x)$.

Уравнение принимает вид: $sin(2x) = -0,5$ или $sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для $sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n \cdot arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Так как $arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $cos8x \cdot cos4x + sin8x \cdot sin4x = -\frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 8x$ и $\beta = 4x$.

Получаем: $cos(8x - 4x) = cos(4x)$.

Уравнение принимает вид: $cos(4x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для $cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 4x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Так как $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $cos3x \cdot cos4x - sin3x \cdot sin4x = \frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения является формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 4x$.

Получаем: $cos(3x + 4x) = cos(7x)$.

Уравнение принимает вид: $cos(7x) = \frac{1}{2}$.

Общее решение для $cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $y = 7x$ и $a = \frac{1}{2}$. Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$7x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}, n \in Z$.