Номер 19.3, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.3. 1) $tgx = 3$;

2) $tgx = -2$;

3) $tgx = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $ctgx = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

5) $ctgx = 0$;

6) $ctgx = -3$.

1) Решение тригонометрического уравнения вида $tg(x) = a$ находится по общей формуле $x = arctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

В данном случае $a = 3$. Поскольку 3 не является стандартным табличным значением для тангенса, ответ выражается через функцию арктангенс.

Подставляя $a=3$ в формулу, получаем решение:

$x = arctg(3) + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = arctg(3) + \pi n, n \in Z$.

2) Используем общую формулу для решения уравнения $tg(x) = a$: $x = arctg(a) + \pi n, n \in Z$.

Здесь $a = -2$. Подставляем это значение в формулу:

$x = arctg(-2) + \pi n, n \in Z$.

Можно также использовать свойство нечетности арктангенса, $arctg(-a) = -arctg(a)$, чтобы представить ответ в виде $x = -arctg(2) + \pi n, n \in Z$. Оба вида записи являются верными.

Ответ: $x = arctg(-2) + \pi n, n \in Z$.

3) Решаем уравнение $tg(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ по общей формуле $x = arctg(a) + \pi n, n \in Z$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение не является табличным для функции тангенса.

Подставляя значение $a$ в формулу, получаем:

$x = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in Z$.

Используя свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$, можно также записать: $x = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in Z$.

4) Решение тригонометрического уравнения вида $ctg(x) = a$ находится по общей формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя это значение в формулу, получаем решение:

$x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in Z$.

Для арккотангенса отрицательного аргумента справедливо соотношение $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$. Таким образом, решение можно также представить в виде $x = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, n \in Z$.

5) Уравнение $ctg(x) = 0$ является частным случаем. Оно означает, что $\frac{cos(x)}{sin(x)} = 0$.

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $cos(x) = 0$ и $sin(x) \neq 0$.

Решением уравнения $cos(x) = 0$ является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

Для этих значений $x$ синус равен либо 1, либо -1, то есть отличен от нуля. Следовательно, эти корни подходят.

Альтернативно, по общей формуле $x = arcctg(0) + \pi n$. Так как $arcctg(0) = \frac{\pi}{2}$, получаем то же самое решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

6) Используем общую формулу для решения уравнения $ctg(x) = a$: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in Z$.

Здесь $a = -3$. Подставляем это значение в формулу:

$x = arcctg(-3) + \pi n, n \in Z$.

Используя свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$, можно также записать: $x = \pi - arcctg(3) + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = arcctg(-3) + \pi n, n \in Z$.